淺析高考解析幾何中的最值問題

廣東省佛山市第一中學(xué) 陳超倫

一、高考解析幾何中的最值問題所涉及的知識(shí)內(nèi)容分析

高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容較為完整化與系統(tǒng)化，而高考解析幾何中的最值問題，不僅涉及基本的“解析幾何”知識(shí)內(nèi)容，更與“函數(shù)方程”、“不等式”等數(shù)學(xué)內(nèi)容互有聯(lián)系，是數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合化體現(xiàn)。在對(duì)解析幾何中的最值問題進(jìn)行思考的過程中，要結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行綜合分析，才能得出正確答案，否則思維缺少正確的方向與方法，將不利于正確結(jié)論的得出。例如：“已知點(diǎn)A，B，C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，而且AB垂直于BC，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，則的最大值為多少？（2015年湖南高考數(shù)學(xué)題目）學(xué)生在思考問題的過程之中，不僅要結(jié)合解析幾何的知識(shí)內(nèi)容考慮到圓的特點(diǎn)，還要根據(jù)“向量”知識(shí)對(duì)題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，才能順利結(jié)合題目條件理清思緒，通過層層剖析得出答案。高考解析幾何中的最值問題絕不會(huì)以獨(dú)立的考查形式出現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題的綜合性與推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)性是這類題目的一大特點(diǎn)，只有學(xué)生能夠擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，懂得結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)解析幾何中的最值問題進(jìn)行綜合分析，才能把握解題命脈，從而抓住解題的線索，在明確解題方向的基礎(chǔ)之上經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)推理得出答案。

二、高考解析幾何中的最值問題存在的形式分析

雖然高考中解析幾何的最值問題是困擾學(xué)生的一大難點(diǎn)，但是只要抓住這類題型的主要特征，解決這類問題也并非無章可循。從近年來高考解析幾何中最值問題的存在形式分析，這些問題往往都是以解析幾何知識(shí)作為考查載體的，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)互為關(guān)聯(lián)，旨在考查學(xué)生綜合分析問題的能力。這類問題大致可分為兩類，一類是求有關(guān)夾角、面積、距離等最值或與之相關(guān)的問題，另一類是求直線與圓錐曲線中幾何元素的最值問題或與之相關(guān)的問題，而從考查形式上，這些問題根據(jù)難度的不同及綜合性的不一，既包括選擇題，又包括填空題，更有邏輯要求較高、綜合性更強(qiáng)的推理難題。只有學(xué)生抓住解決距離、面積類解析幾何最值問題的一般特征，才能邏輯清晰地解決此類問題。例如：“已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左上一點(diǎn)，當(dāng)△APF周長最小時(shí)，該三角形的面積為多少？”在解題的過程之中，需要綜合考慮題目條件，聯(lián)想到如何用題目條件表達(dá)三角形面積關(guān)系，才能在推理論證之下解決此類問題。根據(jù)所求最值類型的不同，考慮合理的推理方式是解決高考解析幾何中最值問題的關(guān)鍵，高考解析幾何中最值問題存在的形式包括距離、面積、夾角大小等，只要學(xué)生對(duì)于解析幾何知識(shí)擁有深入的研究，能夠理清解析幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，解決此類問題便能游刃有余。

三、解決高考解析幾何中最值問題的思路探究

因高考解析幾何中的最值問題帶有一定的綜合性與難度，能否掌握合理的推敲方法與解題思路是能否解決這類問題的關(guān)鍵。從高考解析幾何中最值問題的一般特點(diǎn)分析，清晰了解各類解析幾何的定義是解決這類問題的前提條件，又由“解析幾何”的定義可知，解析幾何知識(shí)包括代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)，因此數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的一般思路。例如：“已知P點(diǎn)是位于拋物線y2=4x上的點(diǎn)，那么P點(diǎn)到Q點(diǎn)(2，-1)的距離與P點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值為多少？”解題者必須清晰了解有關(guān)“拋物線”解析幾何知識(shí)的基本定義，適當(dāng)?shù)匕裀點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖象綜合分析問題，才能解決問題。而數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想在解題過程中出現(xiàn)的形式又有所不同，有時(shí)需要結(jié)合題目條件把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，而有時(shí)則需要利用代數(shù)關(guān)系推算其在圖象中的具體形象，在解題過程中究竟需要采用何種思路解決問題，需要結(jié)合具體問題具體分析。例如：“已知M(x0，y0)是雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1.MF2＜0，則y0的取值范圍為多少？”這道題中，把題中所給的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系，是解決這類題目的一般思路。只有清晰解題思路，才能邏輯清晰地處理高考解析幾何中最值問題的相關(guān)條件，在經(jīng)過合理推敲之后得出正確答案。

高考解析幾何中的最值問題是高考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重要內(nèi)容，只有學(xué)生清晰掌握有關(guān)解析幾何的基本概念，了解其在高考當(dāng)中出現(xiàn)的形式，并掌握解決此類問題的思維方法，才能在條理清晰的情況之下游刃有余地解決此類問題。

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