如何利用基本不等式求函數(shù)的最值和值域

湖南省寧鄉(xiāng)縣第一中學(xué) 劉備源

對于高中數(shù)學(xué)而言，基本不等式雖然看起來比較簡單，但是我們在考試中卻很難得到高分，究其原因，是不會靈活運用相關(guān)的性質(zhì)。本文從我自身的學(xué)習(xí)經(jīng)歷出發(fā)，淺談利用基本不等式求函數(shù)的最值和值域需要重視的方面，希望對廣大同學(xué)有所幫助。

一、夯實基礎(chǔ)

眾所周知，數(shù)學(xué)題對我們的數(shù)學(xué)思維要求越來越高，題目的本身也具有較強的新穎性和靈活性，許多同學(xué)將精力都放在難度較大的綜合性試題上，從而忽視了夯實自己的基礎(chǔ)。俗話說：“基礎(chǔ)不牢，地動山搖?！币肴〉酶叻?，在平時的訓(xùn)練中就必須重視基礎(chǔ)知識。在學(xué)習(xí)的過程中，我們要注重公式和定理中隱藏的解題規(guī)律，通過發(fā)掘規(guī)律去“悟”出解題的思路和方法，從而提升自身的數(shù)學(xué)思維，達到靈活運用知識的效果。解題過程中，我們不能生搬硬套、照葫蘆畫瓢，要通過思考來避免機械地模仿，提升試題的得分率。

例如在求基本不等式函數(shù)的最值時，需要有三個條件，即一正二定三取等：一正指“函數(shù)中的各項都為正數(shù)”；二定指“函數(shù)中含變項的和或積必須要有一個是定值”；三取等指“函數(shù)含變數(shù)的各項相等時，取最值。當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，積有最大值。兩個正數(shù)的積為定值時，和有最小值”。在審題時，一定要明確在基本不等式函數(shù)的應(yīng)用條件后，方能作答。以下面兩道題為例：（1）已知a，b為正數(shù)，則的大小關(guān)系為_____；（2）已知x＞3，求的最小值。變式：x＜3，求的最大值。我通過這三道題，可以知道基本不等式函數(shù)的應(yīng)用條件，尤其是第（2）題，通過簡單的變形，我可以認(rèn)識到基本不等式使用時是有條件的。

二、巧避陷阱

在高中數(shù)學(xué)中，中等難度的試題是區(qū)分度較大的一類試題，一般都會有陷阱，我們也很容易掉進陷阱。因此，在學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)當(dāng)在夯實基礎(chǔ)概念之上，通過一定強度的練習(xí)開闊自己的視野，熟悉解題思路。在數(shù)學(xué)試卷中，題干信息也非常重要，命題人很容易針對我們思維的定式和誤區(qū)來設(shè)置陷阱，在做題過程中，一個不小心，就很容易掉進所設(shè)置的陷阱。在審題中，在讀懂、讀清題干的基礎(chǔ)上，我們應(yīng)當(dāng)抓住題干表面材料背后隱藏的關(guān)鍵點，避免思維定式，精準(zhǔn)把握題干材料，尤其要注意題干信息中的限定條件。

例如，在考試中，我遇到過這樣中等難度的試題，很容易做錯：已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值。有同學(xué)這樣做：2①，即所以所以即最小值為12。這里①成立的條件為②成立的條件為x=y，兩個不等式成立的條件是不相同的，從而導(dǎo)致產(chǎn)生錯誤，本題的正確解法是利用“1”的代換。通過上面的例題，我們尤其要注意到方程中不等式的相等條件，不能看到基本函數(shù)不等式就利用其性質(zhì)，要注意題干所隱藏的信息，準(zhǔn)確找到內(nèi)在的信息，從而做到正確解題。

三、注重應(yīng)用

應(yīng)用題歷來是學(xué)習(xí)和考試中的難點，加之老師在教學(xué)中專注于概念、定理的講解，就導(dǎo)致我們在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)用題的訓(xùn)練強度不大，很容易在考試中出現(xiàn)失分的現(xiàn)象。由于缺乏系統(tǒng)性的練習(xí)，加之基礎(chǔ)知識不扎實，好些人都會在考場上放棄應(yīng)用題，這種做法是不對的。因此，我們必須走出學(xué)習(xí)應(yīng)用題的誤區(qū)，突破數(shù)學(xué)應(yīng)用題的難點，要加強訓(xùn)練的強度，從而提升考試的分?jǐn)?shù)。在學(xué)習(xí)方法上面，我們要采用對比、聯(lián)想的方式，在練習(xí)完一道習(xí)題后通過變化題干的方式來拓展解題的思路，取得舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

例如，我在期末復(fù)習(xí)中遇到這樣一道習(xí)題：某種儀器在購買時花費了10萬元，它的年均管理費為9000元，在使用過程中還會有維修費用，費用為每年兩千元遞增，第一年為兩千元，第二年四千元……那么這個儀器使用多少年后報廢最劃算（即使用多少年的平均費用最低）？設(shè)使用x年最劃算，年均費用為[x（x+1）+100]/x，然后再使用基本不等式求最值就可以了。這道題其實不難，在解答本題過程中，我們需要緊緊抓住題干重點，即每年的費用是變化的，先列出相應(yīng)的求和方程式，再運用基本不等式函數(shù)進行求解，最終得到相應(yīng)的答案。因此，在日常應(yīng)用題訓(xùn)練過程中，我們應(yīng)當(dāng)積極開展訓(xùn)練，通過題干去找到內(nèi)部的主要信息，然后列方程，最后求解。

總之，在日常學(xué)習(xí)過程中，我們應(yīng)當(dāng)通過重視基本概念，學(xué)會靈活運用數(shù)學(xué)概念，提升解決問題的能力，運用嚴(yán)密的思維來重視審題過程，從而獲得解題的成就感和快樂感，最終取得較好的考試成績。

[1]胡進．基本不等式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2014（08）．

[2]莊德明．淺析高中數(shù)學(xué)“基本不等式”常見題型[J]．新課程（中），2014（12）．