初等函數(shù)在高考數(shù)學中的應用

安徽省明光中學 胡 越

一、初等函數(shù)在高考數(shù)學當中所涉及的知識內(nèi)容

高中階段的初等函數(shù)知識內(nèi)容不僅包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的定義、概念及形式，還包含對函數(shù)奇偶性、增減性等初等函數(shù)性質的研究。從近年來高考數(shù)學內(nèi)容當中的題型分布分析可以發(fā)現(xiàn)，初等函數(shù)在高考數(shù)學當中的應用存在一定的綜合性與技巧性，如果學生對初等函數(shù)知識內(nèi)容的理解不夠深刻，便難以靈活運用解題方法巧妙解答高考數(shù)學當中的初等函數(shù)類題目。例如：“已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)，并且f(x)屬于偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f(x)=x2，若x在區(qū)間[-1，3]內(nèi)時，函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k存在4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為多少？”這道典型的高考數(shù)學初等函數(shù)題目涉及的內(nèi)容不僅包括初等函數(shù)知識內(nèi)容中偶函數(shù)的判定與性質，還包括周期函數(shù)的性質與特征以及復合函數(shù)的處理方法，是初等函數(shù)知識內(nèi)容的綜合體現(xiàn)。學生必須要精準理解各類函數(shù)的定義與性質，并且對初等函數(shù)的研究方法掌握透徹，才能結合題目條件理清思緒，在逐步的推理演算之中獲得正確答案。同時，初等函數(shù)在高考數(shù)學當中的應用還會牽扯其他的數(shù)學知識內(nèi)容，如“利用不等式判斷函數(shù)的大小關系”或者“聯(lián)系方程知識進行函數(shù)上點的計算”。由此可見，初等函數(shù)在高考數(shù)學當中的應用幾乎與整個數(shù)學知識體系相互關聯(lián)，而不是獨立的分支。由于在高中階段初等函數(shù)知識內(nèi)容較為多樣與深奧，初等函數(shù)的復雜性與相互關聯(lián)性是高考數(shù)學中的一大特色，只有學生對各類初等函數(shù)的定義與性質進行深入的了解，掌握研究函數(shù)性質的一般方法，才能根據(jù)題目特征清晰解題思路，層層遞進地展開探究活動。

二、初等函數(shù)在高考數(shù)學中的應用考核形式

從近年來的高考數(shù)學題型分析，初等函數(shù)在高考數(shù)學中的應用呈多種方式，既有較為簡單的選擇題題型，也有難度中等的填空題題型，還有難度較大的綜合性分析題型，旨在考查學生的思維能力，判斷學生對于函數(shù)知識的掌握程度。從初等函數(shù)在高考數(shù)學當中的應用考核形式分析，既有函數(shù)與方程的求解問題，也有函數(shù)性質的判斷問題，更有結合函數(shù)圖象識別函數(shù)的特征與性質的問題。相對于填空題與綜合分析類題型來說，選擇題對于學生的威脅較小，一方面，選擇題中有相應的備選答案供學生參考分析；另一方面，選擇題中的分值占比較小，問題也沒有相互關聯(lián)，不易對學生造成過大的心理壓力。而綜合分析類初等函數(shù)題型則是高考數(shù)學的重中之重，旨在考查學生思維的縝密性，學生只有經(jīng)過細心的推斷與思考，才能獲得正確答案。例如：“定義在R上的函數(shù)y=f(x)，已知f(0)≠0，當x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，試證明f(x)在R上屬于遞增函數(shù)?！边@道綜合分析類題目需要學生結合題目中給出的條件，聯(lián)想證明函數(shù)單調性的一般方法，對題目中的關系式進行不同梯度的轉化，得出“f(0)=1”以及當“x∈R時，恒有f(x)＞0”這個結論，才能開展合理有效的論證。

三、初等函數(shù)在高考數(shù)學應用中所蘊含的思想方法

從初等函數(shù)在高考數(shù)學中的應用所涉及的知識內(nèi)容與考查形式分析，旨在檢驗學生思維水準的優(yōu)劣。數(shù)形結合思想以及轉化思想是初等函數(shù)研究中的核心思維方式，大部分高考數(shù)學中的初等函數(shù)題目解答都需要用到這兩種思維方式，一方面，函數(shù)是在平面直角坐標系中衍生出來的產(chǎn)物，正是數(shù)形結合思想在函數(shù)研究中的應用，使函數(shù)與方程建立起一定的聯(lián)系，研究函數(shù)脫離圖形則毫無研究價值，另一方面，借助數(shù)形結合思想在初等函數(shù)研究中的應用，利用圖形可以直觀反映出初等函數(shù)的外在特征及內(nèi)在性質，從而使初等函數(shù)數(shù)學知識更具有生動化與形象性的特點。由于高考數(shù)學中的初等函數(shù)知識內(nèi)容綜合性較強，涉及的內(nèi)容較廣，在解答的過程之中，需要一定的技巧性與靈活性，才能不受思維的局限而順利解答數(shù)學問題。而轉化思想便是研究初等函數(shù)中的重要思想，借助轉化思想在高考數(shù)學初等函數(shù)問題中的應用，學生能夠有效變換思維角度看待問題，從而解決問題?！胺蛛x參數(shù)法”與“構造函數(shù)法”這兩種研究方法便是轉化思想在初等函數(shù)研究中的重要體現(xiàn)。例如：“函數(shù)f(x)的定義域為R，f(-1)＝2，對任意x∈R，f＇(x)＞2，則f(x)＞2x+4的解集為多少？”這道題目表面上看沒有求出f(x)的解析式所需的條件，但是通過聯(lián)想導數(shù)知識，由“對任意x∈R，f＇(x)＞2”想到構造函數(shù)G(x)＝f(x)-2x-4，便能夠將問題轉化為求“G(x)＝f(x)-2x-4＞0”的解集，從而利用G(-1)=0以及G(x)的增減性特征得到題目答案。轉化思想和數(shù)形結合思想正是初等函數(shù)在高考數(shù)學應用中所蘊含的思想方法。

初等函數(shù)是高考數(shù)學中的重點內(nèi)容，且在高考數(shù)學中的應用帶有一定的綜合性與全面性，思想方法的滲透更是其中的主要內(nèi)涵，唯有教師在教學活動中幫助學生加深對初等函數(shù)的理解認識，才能使學生游刃有余地解決函數(shù)問題。

[1]成偉君．高觀點下的基本初等函數(shù)教學研究——以無錫中職學校為例[D]．浙江師范大學，2014

[2]伏有祥，伏文文．基本初等函數(shù)表示高斯函數(shù)的思維過程分析[J]．佳木斯教育學院學報，2010（6）．