解析函數(shù)的柯西定理在安培環(huán)路定理證明中的應(yīng)用

雍永亮

摘 要 大學(xué)物理中的安培環(huán)路定理是學(xué)生重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一，其證明也是必須要講解的內(nèi)容?，F(xiàn)有的教材在證明過程中多涉及復(fù)雜的矢量和積分運(yùn)算，從而給學(xué)生的理解以及講解帶來一定的困難。本文利用解析函數(shù)的柯西定理，給出了一種簡單明了、直觀易懂的證明方法，適合在普通物理和電磁學(xué)教學(xué)與研究中使用。

關(guān)鍵詞 解析函數(shù) 柯西定理 安培環(huán)路定理 證明

中圖分類號(hào)：O441 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.12.026

Abstract The Ampere Circulation Theorem in general physics is one important content should be grasped， and its proof also be explained. In current textbooks， the proof basically involves complex vector and integral operation， which makes it difficult to understand for students and explain for teachers. In this essay， using the Cauchy theorem of analytic function， one of methods that are directly-viewed and easy to understand is given， which is suitable for use in teaching and investigation of general physics and electromagnetism.

Keywords Analytic function， Cauchy theorem， Ampere circuital theorem， proof

對(duì)于大學(xué)的物理課程，靜電場和穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理是非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一。對(duì)于電場而言，安培環(huán)路定理反映了電場是保守場，可以引入電勢(shì)能的概念。而對(duì)于磁場而言則反映了磁場和產(chǎn)生磁場的電流之間的關(guān)系，說明磁場是有旋場，學(xué)習(xí)中則可以利用該定理非常方便地求出具有高度對(duì)稱的電流所激發(fā)的磁場分布。因此，它們的證明過程對(duì)于學(xué)生理解和掌握該定理具有重要的作用，事實(shí)上，教學(xué)中安培環(huán)路定理的證明也是必講內(nèi)容。目前，不同的普通物理教材對(duì)此定理的證明過程各不相同，但基本上都包含了抵消法、矢量分析法和圓心角的方法等。[1-3]證明過程中出現(xiàn)的復(fù)雜的矢量分析運(yùn)算，積分運(yùn)算等使得學(xué)生很難簡單明了的理解安培環(huán)路定理的證明，從而影響對(duì)其物理意義的掌握和運(yùn)用。本文利用解析函數(shù)的柯西定理來證明安培環(huán)路定理，基本上不涉及復(fù)雜的矢量分析和運(yùn)算、積分運(yùn)算，過程簡單明了，思路清晰，在國內(nèi)廣泛使用的教材中未見出現(xiàn)此證明方法。

柯西定理在一般的數(shù)學(xué)物理方法的教材中均會(huì)提及，是解析函數(shù)積分理論的基本定理，它給出了解析函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)-解析函數(shù)在其區(qū)域取值的關(guān)聯(lián)性。[4]它分為單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域的柯西定理。為了敘述清楚，先簡單給出柯西定理。

單連通區(qū)域的柯西定理：若復(fù)變函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析，則在內(nèi)沿任意閉曲線的積分為零，即。此定理說明單連通區(qū)域上的解析函數(shù)在此區(qū)域上的積分值與路徑無關(guān)。復(fù)連通區(qū)域的柯西定理：設(shè)是由C0， C1， C2， … ， Cn圍成的復(fù)連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有。

1靜電場的安培環(huán)路定理的證明

靜電場的安培環(huán)路定理表明：在靜電場中，電場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分恒為零，即。

先討論點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電場。設(shè)靜止的點(diǎn)電荷（帶電量）位于點(diǎn)（如圖1所示），其在周圍激發(fā)電場，距點(diǎn)的任意距離r處的電場強(qiáng)度（為點(diǎn)指向場點(diǎn)的單位方向矢量），現(xiàn)求 沿任一回路的積分值。

回路分為兩種情況，包含點(diǎn)的圍線和不包含點(diǎn)的圍線，其任意一回路如圖1中A和B所示。

電場強(qiáng)度 沿任意閉合路徑的線積分

其中 為位移和間的夾角。從上面的式子可以看出，沿的被積函數(shù)可以看作是以為自變量的函數(shù)，即?？梢钥闯鯡（r）在除了點(diǎn)r=0的整個(gè)空間都處處解析。故。

若所選回路l為圍線A時(shí)，E（r）在圍線A所圍的區(qū)域上為解析函數(shù)，且A所圍的區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域，由單連通區(qū)域的柯西定理可知：。

若所選回路為圍線B時(shí)， 即圍線包圍點(diǎn)電荷Q，此時(shí)在圍線B內(nèi)，以點(diǎn)O為圓心，任意小的正實(shí)數(shù) 為半徑做一圓周C（如圖1所示），由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可知，，

此時(shí)，圓周C上的方向沿圓周的切線方向，與的方向垂直，故二者之間的夾角 為90€?，cos =0。即。

則

綜上考慮，即，證畢。

對(duì)于帶電體而言，按照一般教材所講的，由電場的疊加原理即可推出上述結(jié)果。

2穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理的證明

現(xiàn)有的教材一般都采用無限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場進(jìn)行討論，歸納出恒定磁場的安培環(huán)路定理，在證明環(huán)路包圍電流的情況時(shí)，一般先求出以導(dǎo)線為圓心，半徑為r的圓周為積分路徑的值，之后考慮包圍導(dǎo)線的任意圍線的值，其中往往涉及復(fù)雜的矢量運(yùn)算和積分，在證明環(huán)路不包圍電流的情況時(shí)多采用圓心角的方法證明，整個(gè)過程復(fù)雜，難懂。我們?nèi)砸詿o限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場為例來研究 的值。

第一步，在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)任意作一包圍電流的閉合曲線（如圖2a），其中L是以導(dǎo)線為圓心，r為半徑的圓。取環(huán)路積分方向與電流流動(dòng)方向成右旋關(guān)系。此時(shí)，我們保留一般教材上的證明方法，我們可以得到

。

第二步，在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)任意作一包圍電流的閉合曲線A（如圖2b），此時(shí)，

，令，可以看出B（r），除了r=0處以外，其他整個(gè)空間都處處解析的。由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可知，B（r）沿著A圍線的積分值應(yīng)該等于沿圍線C（如圖2b）的積分值，其中圍線C為在圍線A內(nèi)以導(dǎo)線為圓心， 為半徑的圓。即，由第一步可知，。

故。此思路可以擴(kuò)展到包圍電流的閉合曲線不在一個(gè)平面內(nèi)的情形。

第三步，任意作一不包圍電流的閉合曲線M，如圖2c所示，，此時(shí)的B（r）在圍線M所圍的區(qū)域內(nèi)處處解析，由單連通區(qū)域的柯西定理可知：，即不包圍電流時(shí)，積分值為零。

第四步，取環(huán)路積分方向與電流流動(dòng)方向成左旋關(guān)系時(shí)，由復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)可知，以上的討論中必多負(fù)號(hào)，即。

第五步，推廣到一般情況，整個(gè)空間有多個(gè)電流，對(duì)任意一個(gè)圍線而言，則可根據(jù)一般教材上的思路講解。

3小結(jié)

不論是靜電場還是穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理的證明，我們可以看出來，整個(gè)過程沒有涉及復(fù)雜的矢量運(yùn)算和積分運(yùn)算，只是利用了解析函數(shù)的柯西定理，過程簡單明了，便于掌握。解析函數(shù)的柯西定理，不失為證明安培環(huán)路定理的一種簡單有效的好辦法，同時(shí)，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題具有幫助意義。

基金資助： 國家自然科學(xué)基金（61774056和11304080）、河南科技大學(xué)博士啟動(dòng)基金資助

參考文獻(xiàn)

[1] 王剛.安培環(huán)路定理的一種證明[J].長春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（8）：31-32.

[2] 張慧琨，張俊玲.安培環(huán)路定理的表述及其證明方法[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（3）：69-71.

[3] 馮小娟，強(qiáng)穩(wěn)朝，張頻，張建國.磁場安培環(huán)路定理證明的新方法[J].物理與工程，2010（20）：13-14.

[4] 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法（第3版）[M].北京：高等教育出社，1998.endprint