合理放縮超越函數(shù) 巧取零點(diǎn)所在區(qū)間

安徽省岳西中學(xué)(246600)儲(chǔ)百六

1 引言

在近年高考中零點(diǎn)問(wèn)題已悄然成為了一個(gè)熱點(diǎn),這類問(wèn)題一般利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)定理來(lái)解決,其理論依據(jù)是：

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的單調(diào)函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上至多一個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)函數(shù),且f(a)f(b)＜0,則f(x)在(a,b)上至少存在一個(gè)零點(diǎn).

所以在解決此類問(wèn)題時(shí),往往先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再由零點(diǎn)定理取點(diǎn)找出零點(diǎn)所在的區(qū)間.判斷函數(shù)單調(diào)性對(duì)多數(shù)學(xué)生而言并非難事,取點(diǎn)找零點(diǎn)所在區(qū)間總感覺(jué)無(wú)從下手,很多答案的解答也是有如神助,從天而降.下面筆者針對(duì)此類問(wèn)題結(jié)合實(shí)例談?wù)劷鉀Q該問(wèn)題的思路,以期讀者從中得到啟發(fā).

2 問(wèn)題思路分析

要確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間,就是尋找數(shù)x0使f(x0)＞0(或f(x0)＜0),從而確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的端點(diǎn).但是對(duì)于一些復(fù)雜函數(shù)依直覺(jué)取點(diǎn),往往行不通,為了找到符合條件的x0可將f(x)適當(dāng)?shù)姆趴s到一新函數(shù)g(x),使f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x)),再求出g(x)的零點(diǎn)x0,從而找到符合條件的區(qū)間端點(diǎn).

從上述分析可看出解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)g(x),函數(shù)g(x)需滿足兩個(gè)條件：(1)零點(diǎn)存在且易求;(2)不等式f(x)≥g(x)(或f(x)≤g(x))已知或易于證明.那如何找g(x)呢?下面以指對(duì)數(shù)函數(shù)為例,探討其放縮的方法：

1、利用常見不等式ex≥x+1及其變形

變形1ex＞x(去掉1).

變形2e-x≥-x+1(-x換掉x),特別的當(dāng)x＜1時(shí)有

變形3當(dāng)x＞0時(shí),

證明由ex≥x可得

變形4ln(x+1)≤x或lnx≤x-1.

變形5

變形6可根據(jù)需要調(diào)整對(duì)a取值如：lnx＜x,lnx等.

變形7或xlnx≥x-1.

利用上述式子可將指對(duì)數(shù)函數(shù)放縮到簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),而多項(xiàng)式函數(shù)的零點(diǎn)較容易找到或確定位置,從而容易構(gòu)造出合適的函數(shù)g(x).

2、切線法,以直代曲

(1)對(duì)?x,x0∈R有ex≥ex0(x-x0)+ex0.

注因函數(shù)y=ex為下凸函數(shù),所以函數(shù)y=ex的圖像在x=x0處切線的上方.其他函數(shù)也可依照其凹凸性得出類似的不等式,這是不等式證明的常用的“切線法”.

證明令F(x)=ex-ex0(x-x0)-ex0,F′(x)=ex-ex0,所以F(x)在(-∞,x0)為減函數(shù),在(x0,+∞)為增函數(shù),F(x)≥F(x0)=0,所以(1)式成立.

類似有：

(2)?x,x0∈R有l(wèi)nx≤證明與上式類似,此處從略.

容易看出(1)和(2)是上述不等式的一般推廣,不過(guò)用(1)和(2)可將切點(diǎn)選在更合適的位置.下面通過(guò)一些例子介紹具體的操作方法.

3 例題選講

例1求證：當(dāng)a＞e時(shí),函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn).

分析(1)先判斷函數(shù)的單調(diào)性.因?yàn)閒′(x)=ex-a,由f′(x)＞0得x＞lna,f′(x)＜0得x＜lna,所以f(x)在(lna,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù),在(-∞,lna)上為單調(diào)遞減函數(shù).

(2)再來(lái)取函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.因?yàn)閍＞e,所以fmin(x)=f(lna)=a(1-lna)＜0,下面要確定零點(diǎn)所在區(qū)間,只需在區(qū)間(-∞,lna)和(lna,+∞)上分別取兩個(gè)點(diǎn)x1,x2,使得f(x1),f(x2)都大于0.在區(qū)間(-∞,lna)上容易看出0符合題意,f(0)=1＞0,于是f(0)f(lna)＜0,所以f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(0,lna)上.再在(lna,+∞)取點(diǎn).

方法一：利用變形3,為了得到足夠大的x2,可讓放縮后的指數(shù)n＞1,不妨取n=2得：于是所以f(4a)＞0,所以f(lna)f(4a)＜0,這樣就找到了f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(lna,4a).

法二：用切線法.為了得到足夠大的x2,在切點(diǎn)選擇時(shí)要使切線的斜率比a大,比如：2a,3a等.在(1)式中取x0=ln(2a)得：ex≥2a(x-ln(2a))+2a,所以f(x)=ex-ax≥2a(x-ln(2a))+2a-ax=ax-2aln2a+2a,由ax-2aln2a+2a＞0得：x＞2ln2a-2,取x2=2ln2a-1,顯然x2＞2ln2a-2＞lna,則f(x2)＞0于是f(lna)f(x2)＜0,這樣就找到了f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(lna,x2).

例2求證：當(dāng)0＜a時(shí),函數(shù)f(x)=lnx-ax有兩個(gè)零點(diǎn).

分析(1)先判斷函數(shù)的單調(diào)性.因?yàn)樗詅(x)在為單調(diào)遞增函數(shù),在上為單調(diào)遞減函數(shù).

法一：利用變形6,為了得到足夠大的x2,可讓放縮后的指數(shù)a＜1,不妨取所得這樣就找到了f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為

法二：用切線法.為了得到足夠大的x2,在切點(diǎn)選擇時(shí)要使切線的斜率比a小,比如：等.在(2)式中取所以f(x)=由取顯然則f(x2)＜0,于是這樣就找到了f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為

例3求證：當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)=ex-ax2有三個(gè)零點(diǎn).

分析本題若直接討論單調(diào)性比較麻煩,可分離參數(shù)后調(diào)整為：“當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)”

(2)再來(lái)取函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間.在區(qū)間(-∞,0)上,因?yàn)閑x＜e0=1,所以得于是又由ex≥x+1(x/=0),所以g(x)=得是有g(shù)(x1)＞0,這樣就找到了零點(diǎn)區(qū)間在區(qū)間(0,2]上,因?yàn)間(x2)＞0,可得零點(diǎn)區(qū)間(x2,2);在區(qū)間[2,+∞)上,為了找到足夠大的數(shù)x0,使g(x0)＞0,可用變形3將ex放縮到比x2的次數(shù)更高的式子,取n=3得所以-a=0得x=27a＞2,所以g(27a)＞0,于是g(2)g(27a)＜0,這樣就找到了零點(diǎn)區(qū)間(2,27a).

注從例3看出采用分離參數(shù)的方法,有時(shí)可減小判斷單調(diào)性的難度,也更容易有圖像找出所求參數(shù)的范圍,但取零點(diǎn)所在區(qū)間的方法和不分離時(shí)實(shí)際是一樣的.例1、例2都可用分離參數(shù)的方法,讀者可自行探究.

例4已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

分析(1)由題設(shè)知：

f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)＜0,此時(shí)f(x)在R上為減函數(shù).當(dāng)a＞0時(shí),在區(qū)間上f′(x)＞0,所以此時(shí)f(x)的減區(qū)間為增區(qū)間為

(2)由(1)知：當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上為減函數(shù),f(x)至多一個(gè)零點(diǎn),不合題意.當(dāng)a=1時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

當(dāng)a＞1時(shí),令h(x)=1-x-lnx,顯然h(x)為(0,+∞)的減函數(shù).fmin(x)=f(x)無(wú)零點(diǎn).當(dāng)0＜a＜1時(shí),若x＜0,則ex＜1,于是f(x)=ae2x+(a-2)ex-x＞-2ex-x＞-2-x,所以f(-2)＞0,則f(x)在上有零點(diǎn),再考慮的零點(diǎn),由ex＞x得：f(x)=ae2x+(a-2)ex-x1＞ae2x+(a-2)ex-ex=ex(aex+a-3).由aex+a-3=0得x1=則f(x1)＞0,又所以f(x)在上有零點(diǎn).綜上,若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是(0,1).

4 總結(jié)

從上述例題的求解過(guò)程可看出,找零點(diǎn)所在區(qū)間問(wèn)題一般過(guò)程是：先觀察看能否直接選到合適的點(diǎn);若不行,就對(duì)f(x)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.放縮時(shí)先可通過(guò)圖像觀察放縮的方向及其大致的位置,再選用合適的變形放縮,放縮時(shí)一定要控制好放縮所得到的多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)及其不等式的方向,以便找到合適的點(diǎn).