數(shù)學(xué)教育中的銜接—ICME-13的第二個小組報告及啟示

澳門特別行政區(qū)澳門大學(xué)教育學(xué)院(999078) 江春蓮 劉付茵

2016年7月24-31日第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME-13)在德國漢堡召開,章勤瓊和譚莉(2016)對整個會議議程作了介紹,而本文則主要介紹第二個小組報告《數(shù)學(xué)教育中的銜接**英文為Transition,字面直譯可以是轉(zhuǎn)換,但在本文中,結(jié)合上下文的情境,有時我們將其翻譯為銜接,有時又翻譯為過渡和關(guān)聯(lián).使用“過渡”主要是凸顯從低級到高級的思維發(fā)展.》的主要內(nèi)容并結(jié)合我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革與教學(xué)實際情況作些反思.該報告由法國吉萊納·格艾特(Ghislaine Gueudet)教授主領(lǐng),成員有西班牙的瑪莉安娜·波什(Marrianna Bosch)教授、美國的安杰拉·帝塞薩(Andrea A diSessa)教授、韓國的匡歐南(Oh Nam Kwon)教授和比利時的列文·福斯查菲爾(Lieven Verschaffel)教授.

格艾特教授首先做總陳述,她指出關(guān)于銜接的研究非常多,其于2016年7月30號在Springer網(wǎng)站上輸入關(guān)鍵字Transition(s)搜索數(shù)學(xué)教育中的書籍、書中的章節(jié)和文章(article),得到2680個結(jié)果,其中包括4本書,1180個書的章節(jié)和1496篇文章.其中包括:算術(shù)結(jié)構(gòu)在算術(shù)到代數(shù)的過渡中的作用(Warren,2003)、實現(xiàn)到形式化證明的過渡(Moore,1994)、從中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接中的電子學(xué)習(xí):為了什么目的(Bardelle&Di Martino,2012)、《數(shù)學(xué)實踐情境間的銜接》(de Abreu,Bishop&Presmeg,2002)、《處于過渡階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者》(De Abreu,Bishop&Presmeg,2002)、《處于過渡階段的數(shù)學(xué)教師》(Fennema&Nelson,1997).

在眾多關(guān)于數(shù)學(xué)銜接的研究中,該小組主要討論了兩個,一是作為過渡過程的概念性轉(zhuǎn)換和學(xué)習(xí);二是人們在不同的社群中遷移時或在不同的數(shù)學(xué)實踐情境轉(zhuǎn)換時所伴隨的銜接.研究主要有三個視角:從發(fā)生認(rèn)識論的視角研究數(shù)學(xué)內(nèi)容內(nèi)在的改變;從認(rèn)知的視角研究學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的變化,特別是思考模式的變化;從社會文化的視角研究不同數(shù)學(xué)實踐間的變化(Gueudet,Bosch,diSessa,Kwon&Verschaffel,2016).接下來是個人報告,下面我們對其依次介紹.

一、較難的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的連續(xù)性和不連續(xù)性—帝塞薩教授

帝塞薩教授關(guān)注的是較難數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí),即對這些概念理解的變化.如對有理數(shù),在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前,乘以一個數(shù)會得到一個更大的結(jié)果;但在有理數(shù)范圍內(nèi),這個規(guī)律將不再成立.他認(rèn)為學(xué)生對有些概念的學(xué)習(xí)存在著頑固的、主要的障礙,學(xué)生可以在某個特殊情境下突然領(lǐng)悟,還是一個延伸的、漸進(jìn)的累積過程?這是非連續(xù)派和連續(xù)派的主要區(qū)別.

帝塞薩教授先從科學(xué)教育史的角度介紹非連續(xù)派和連續(xù)派.托馬斯·庫恩(Thomas Kuhn)是非連續(xù)派的代表,他在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》一書中認(rèn)為所有的變化是瞬間完成的,是一種格式塔式的頓悟.該理論的追隨者有蘇珊·凱里(Susan Carey)、馬里亞納·外瑟爾(Marianne Wiser)和斯特拉·瓦斯尼雅度(Stella Vosniadou)等.斯蒂芬·托爾敏(Stephen Toulmin)則是連續(xù)派的代表,他提出概念生態(tài)圈(Conceptual Ecology)理論,認(rèn)為概念是一個移動的意象,概念的轉(zhuǎn)換是一種漸進(jìn)的演變過程.其追隨者有吉姆·米斯特雷爾(Jim Minstrell).連續(xù)派中也有人主張知識是由一些小的碎片組成的,它們組成了一個共同體(Knowledge in Pieces Community),代表人物有:帝塞薩教授本人,布魯斯·雪琳(Bruce Sherin),大衛(wèi)·哈默(David Hammer)和安德魯·埃爾比(Andrew Elby).

在數(shù)學(xué)教育中,與庫恩相對應(yīng),蓋斯頓·巴什拉(Gaston Bachelard)提出了發(fā)生認(rèn)識論障礙(Epistemological Obstacles)理論.他認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到的困難是認(rèn)識過程中核心的、持久的、不可回避的問題,學(xué)生要完成概念的轉(zhuǎn)換必須要跨越這些認(rèn)識論障礙,才能從錯誤走向正確.該理論的追隨者有安娜·雪冰斯嘎(Anna Sierpinska),大衛(wèi)·托爾(David Tall)等.與此相反,另一派則認(rèn)為概念間的轉(zhuǎn)化是一種漸進(jìn)的過程.其中一部分人認(rèn)為知識是零碎的,代表人物有約瑟夫·瓦格納(Joseph Wagner),馬里亞納·列文(Mariana Levin)和安德魯·艾薩克(Andrew Izsak),另一部分人則認(rèn)為知識是附屬的(Affiliates),代表人物有理查德·諾斯(Richard Noss),西莉亞·霍伊爾斯(CeliaHoyles)和戴夫·普拉特(DavePratt).

對復(fù)雜概念的學(xué)習(xí),連續(xù)派提出的解決方案是研究從單一意象到動態(tài)意象的微觀演變的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行分析,即用現(xiàn)有的實證數(shù)據(jù),詳細(xì)地檢查學(xué)習(xí)過程中一個又一個片刻發(fā)生的事情.所以約瑟夫·瓦格納(Joseph Wagner)提出,要在多種不同的情境中積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗.如學(xué)習(xí)大數(shù)定律,瓦格納首先讓學(xué)生做拋硬幣的實驗,計算正面朝上的頻率,學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著試驗次數(shù)的增多,頻率越來越接近于50%.接著瓦格納將拋硬幣實驗改為輪盤實驗(灰:白=7:3),學(xué)生比較難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,于是瓦格納讓學(xué)生用計算機模擬重復(fù)實驗并計算轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)到某種顏色區(qū)域的頻率,通過改變實驗的重復(fù)次數(shù)來統(tǒng)計頻率分布圖.在這種新的情境下,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了與擲硬幣實驗相似的結(jié)果,也就是隨著實驗次數(shù)的增多,頻率越來越接近概率的理論值,即大數(shù)定律.瓦格納也常常提出一些同構(gòu)的問題引導(dǎo)學(xué)生思考,如若想得到遠(yuǎn)離期望值(如轉(zhuǎn)盤中的80%)的結(jié)果,那么應(yīng)該做多少次實驗?答案是選擇次數(shù)較少的實驗.瓦格納反問學(xué)生,如果要調(diào)查大學(xué)學(xué)生的平均身高,但卻不能保證所有的人都會參與調(diào)查,那么應(yīng)該選大樣本還是小樣本呢?瓦格納通過多種同構(gòu)的情境說明如何將從一個情境中形成的概念遷移到另外一個情境中,幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

最后,帝塞薩教授總結(jié)說,他是支持連續(xù)派的,他還預(yù)言“連續(xù)主義一定會取得勝利”.對連續(xù)派來說,可以利用多種資源幫助學(xué)生的概念學(xué)習(xí),這些資源甚至包括學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙和錯誤理解;學(xué)習(xí)是一個積累的、多情境的體驗過程;要處理好學(xué)生的多樣性,沒有一種方法是適合所有學(xué)生的,所以需要為不同的學(xué)生,選擇不同的資源作為學(xué)習(xí)路徑.

二、中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的雙重不連續(xù)性—匡歐南教授

匡歐南教授以克萊因在《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》里講的雙重不連續(xù)性開始她的報告:“大學(xué)新生一入學(xué)就發(fā)現(xiàn)面對的數(shù)學(xué)問題好像跟中學(xué)里學(xué)過的東西一點聯(lián)系也沒有,自然地,他們很快便完全忘記了中學(xué)里學(xué)過的東西.畢業(yè)后當(dāng)上了教師,突然發(fā)覺要依循老套的方法講授傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué).由于缺乏指導(dǎo),他難以辨明當(dāng)前的數(shù)學(xué)內(nèi)容和曾經(jīng)在大學(xué)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)有什么聯(lián)系,于是很快便接受了老套的教學(xué)方式.大學(xué)數(shù)學(xué)教育頂多成為一種愉快的回憶,但對中學(xué)教學(xué)毫無影響.”

匡歐南教授用數(shù)列的極限定義來說明這種雙重不連續(xù)性.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,其定義為:隨著n的增大,xn越來越接近于x.而在大學(xué)數(shù)學(xué)中,其定義為:??＞0,?N ∈N,使得?n＞N,都有|xn?x|＜?.準(zhǔn)教師學(xué)習(xí)了大學(xué)數(shù)學(xué)之后,由于二者的不連續(xù)性,很難將其運用到中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中.教師究竟需要什么知識才能更好地從事教學(xué)?研究者從不同的角度研究教師需具備的知識,如:(1)舒爾曼(Shulman,1986)的學(xué)科教學(xué)知識(Pedagogical Content Knowledge,簡寫為PCK);(2)波爾及其合作者(Ball,Thames&Phelps,2005;Ball et al.,2009)提出的發(fā)生在教學(xué)情境中特定的數(shù)學(xué)知識,即用于教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(Mathematical Knowledge for Teaching,簡寫為MKT);(3)德雷爾,林德梅耶爾和海因策(Dreher,Lindmeier&Heinz,2015)提出的與學(xué)校相關(guān)的內(nèi)容知識(School Related Content Knowledge,簡寫為SRCK),指的是應(yīng)用于學(xué)校情境的以教學(xué)為目的的一種內(nèi)容知識;(4)湯普森(Thompson,2015a)提出的教授中學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)意義(Mathematical Meaning for Teaching secondary mathematics,簡寫為MMTsm),他強調(diào)教師應(yīng)該知道如何做以及為什么要這么做的知識.美國和韓國參加了湯普森的研究(Thompson,2015b),希望2020年將有新的研究成果可以匯報.

也有一些大型的研究數(shù)學(xué)教師知識的研究,如:(1)21世紀(jì)的數(shù)學(xué)教學(xué).該研究比較了六個國家(即保加利亞、德國、韓國、墨西哥、臺灣和美國)的預(yù)備教師關(guān)于教學(xué)和學(xué)習(xí)的知識和信念,研究發(fā)現(xiàn)這些國家在教師準(zhǔn)備方面確實存在著差距;(2)IEA的關(guān)于教師教育和發(fā)展的研究:學(xué)習(xí)如何教數(shù)學(xué)(The Teacher Education and Development Study:Learning to Teach Mathematics,即TEDS-M),該研究從教師知識和信念兩方面考查了17個國家教師教育的成果;(3)激發(fā)認(rèn)知的教學(xué)和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展(Cognitive Activating Instruction,and the Development of Students’Mathematical Literacy,即COACTIV),研究貫徹理解的教學(xué)所需的數(shù)學(xué)知識,發(fā)現(xiàn)課程內(nèi)容知識和教學(xué)內(nèi)容知識可以從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行區(qū)分.

上述研究發(fā)現(xiàn),教師準(zhǔn)備方面的發(fā)展有如下不足:(1)與教師自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和之后的專業(yè)社會化相比,教師培訓(xùn)是一項很弱的干預(yù);(2)未來的數(shù)學(xué)教師并沒有獲得較深的數(shù)學(xué)知識,特別是那些可以用來幫助學(xué)生消除錯誤理解和有能力地解決初等數(shù)學(xué)問題所需的數(shù)學(xué)知識;(3)數(shù)學(xué)教育專業(yè)學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生所學(xué)習(xí)的課程沒有本質(zhì)的區(qū)別;(3)未能為準(zhǔn)教師提供足夠的機會深度學(xué)習(xí)學(xué)科內(nèi)容知識和學(xué)科教學(xué)知識;(4)教師教育課程與教學(xué)實踐之間缺乏聯(lián)系.針對這些不足,我們可以從如下幾個方面努力:(1)幫助預(yù)備教師建立大學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)(通常在第1-2學(xué)期進(jìn)行)的聯(lián)系,重點放在直接明確地建立在不同環(huán)境中經(jīng)歷的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系;(2)針對克萊因提出的雙重不連續(xù)性,進(jìn)行大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué);(3)開發(fā)一些數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)法課程,明確地將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)教學(xué)知識整合起來;(4)開發(fā)“核心課程”,幫助準(zhǔn)教師學(xué)習(xí)以一種更深入、更敏銳和更自覺的方式看待學(xué)校數(shù)學(xué).

總的來說,如何解決這種雙重不連續(xù)性問題,匡歐南教授認(rèn)為可以研究如下四個問題:(1)在某些特定的專題中,如何促進(jìn)從中學(xué)到高等教育的過渡?(2)在中學(xué)可以做些什么幫助學(xué)生能夠更容易地學(xué)習(xí)大學(xué)里抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)?(3)如何在不改變內(nèi)容本質(zhì)的前提下將大學(xué)的高等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換成學(xué)生能夠理解的中學(xué)數(shù)學(xué)?(4)如何平衡教師教育中數(shù)學(xué)教師所需的不同種類的知識?

三、教學(xué)組織之間的銜接—波什教授

波什教授首先指出個體的學(xué)習(xí)路徑(包括潛力、能力和困難)由其所參與組織的活動和情境所塑造.這里的“組織”涉及的范圍很廣,包括小學(xué)教育、班級、學(xué)生群體、家庭、社會、研究共同體、教師協(xié)會等.因此,關(guān)于教學(xué)組織的銜接可以從七個不同的層面進(jìn)行分析,分別是社會(如公民教育、優(yōu)錄擇校問題和職業(yè)教育等)、學(xué)校(如教室、大大小小的群體和室外活動)、教學(xué)(講授式、探究式等)、學(xué)科(大眾數(shù)學(xué)和為少數(shù)上大學(xué)的人做準(zhǔn)備的數(shù)學(xué))、不同的學(xué)科領(lǐng)域(早期代數(shù)、初等代數(shù)和抽象代數(shù)等)、內(nèi)容模塊(函數(shù)、微積分和分析)和主題.

波什教授關(guān)注的是從小學(xué)到中學(xué)和從中學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的銜接.從小學(xué)到中學(xué)的主要區(qū)別體現(xiàn)在教學(xué)法和學(xué)科兩個方面.在教學(xué)法方面,中學(xué)的師生互動比小學(xué)的少,學(xué)生的自主性提高,教學(xué)法從較主動變?yōu)楦嗟乇粍咏邮?而在學(xué)科方面,小學(xué)的學(xué)科界限不是很明顯,而中學(xué)則劃分出許多不同的學(xué)科,所以小學(xué)老師通常是全科,而中學(xué)則是?？茖＝?為促進(jìn)小學(xué)到初中的銜接,我們可以:加強教師間的聯(lián)系,在初中階段開展更多的公開活動,減少學(xué)科間的隔離;在課程內(nèi)容方面,需要加強早期代數(shù)的滲透.這些建議主要集中在教學(xué)法和學(xué)校的氛圍層面,主要目的是通過調(diào)整中學(xué)教育,讓其更貼近小學(xué)教育.

奇怪的是,中學(xué)與大學(xué)的區(qū)別和小學(xué)與中學(xué)的區(qū)別很相似.在教學(xué)法方面,大學(xué)里的師生互動又比中學(xué)的少,學(xué)生的自主性進(jìn)一步提高,學(xué)生被動地接受學(xué)習(xí)的情況更甚.在學(xué)科方面,學(xué)科劃分更細(xì),大學(xué)教授更多地采用講授式教學(xué).在中學(xué)到大學(xué)的銜接的研究中,有些是關(guān)于特定的主題的,如從中學(xué)的微積分到大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》課程的銜接、從中學(xué)代數(shù)和幾何到大學(xué)線性代數(shù)的銜接、教學(xué)重點從程序化的知識到形式化的知識過渡.為促進(jìn)中學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的過渡,我們可以從兩個方面努力,一是促進(jìn)中學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展;二是提供一些銜接課程,幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識并向?qū)W生介紹一些數(shù)學(xué)的理論化方法,以幫助學(xué)生順利過渡到大學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí).波什教授指出,這些建議強調(diào)改變中學(xué)數(shù)學(xué)教育以便學(xué)生適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)教育,而沒有質(zhì)疑或討論大學(xué)數(shù)學(xué)課程.這樣一來,中學(xué)數(shù)學(xué)教育就處于一個十分尷尬的位置,既要貼近小學(xué)數(shù)學(xué),符合“大眾數(shù)學(xué)”的精神;又要承接大學(xué),為中學(xué)后的教育做準(zhǔn)備.

波什教授提出如下四個可繼續(xù)研究的問題:(1)我們是從哪個組織的角度進(jìn)行假設(shè)或質(zhì)疑的?(2)如何對高級別的組織進(jìn)行批判性分析?要注意理論框架和研究共同體的作用.(3)如何根據(jù)特定的數(shù)學(xué)水平和教學(xué)生態(tài)圈提出切合實際的建議?(4)從大學(xué)的角度來看似乎是最合理的,但我們要謹(jǐn)慎,如何做才能避免強化中學(xué)教育的入門功能,而又不削弱它的公民教育功能呢?

四、校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)—福斯查菲爾教授

福斯查菲爾教授指出關(guān)于校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)很多,但他的報告只關(guān)注其中的兩個方面,一是從先前的生活經(jīng)驗到學(xué)校數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián),如佩里,麥克唐納和杰爾瓦索尼(Perry,MacDonald&Gervasoni,2015)主編的《從先前的生活經(jīng)驗到學(xué)校數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)》;二是校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián),如努涅斯,迪亞斯謝里曼和喀拉欸(Nunes,Schliemann&Carraher,1993)共同編寫的《校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系》.福斯查菲爾教授介紹了第二本書的內(nèi)容,包括如下三個部分:(1)與學(xué)校數(shù)學(xué)相比,校外數(shù)學(xué)有什么不同;(2)描述如何建立校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系;(3)對促進(jìn)和建立關(guān)聯(lián)嘗試的總結(jié).同時,他也指出了這本書的兩個缺點:一是沒有充分注意到形式的多樣性,如不同的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容;二是沒有注意到信息技術(shù)的影響.

4.1 校外數(shù)學(xué)的特點

上世紀(jì)80年代以來民族數(shù)學(xué)的研究表明,學(xué)生在校外(如炒菜、打籃球等日常活動)可以實踐、獲得許多數(shù)學(xué)知識并能靈活遷移到新的情境中.開始時這些研究將校內(nèi)外數(shù)學(xué)描述成兩種對立的東西.從思維、學(xué)習(xí)和教學(xué)的角度來說,與校內(nèi)數(shù)學(xué)相比,校外學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)更真實、更有意義,也更有效率.福斯查菲爾教授指出,這種描述有將校外數(shù)學(xué)美化的嫌疑.取而代之,該書則能對不同的數(shù)學(xué)實踐情境進(jìn)行客觀的描述,超出上述的二元思考更多地關(guān)注在各種“中間狀態(tài)”(如職業(yè)教育)下如何建立校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系.

4.2 校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的雙向聯(lián)系

福斯查菲爾教授用如下的例子進(jìn)行說明:一個人想要用一根足夠長的繩子連接兩個相距12米的電線桿,但他只有一些長度為1.5米的繩子.那么他需要將多少條這樣的繩子綁在一起才能連接兩根電線桿?對這一問題,很多學(xué)生會用算式12÷1.5=8得到需要8根繩子,而不考慮兩個繩子之間打一個結(jié)所需的長度,在一個對五年級學(xué)生的測試中,沒有一個人能給出符合實際情境的解答.在福斯查菲爾,格里爾和哥特(Verschaffel,Greer&de Corte,2000)的那本書中有很多這樣的例子.這些例子說明學(xué)生在使用數(shù)學(xué)知識解決實際問題時完全不考慮實際情境的限制.

盡管在古典心理學(xué)中沒有“transfer”一詞,但實際上在古典心理學(xué)中卻有用一些名詞來表示銜接的,如跨界(boundary crossing)、特定情境中的抽象化(situated abstraction)、主體化(subjectification).對人們?nèi)绾谓⑿?nèi)外數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系進(jìn)行分析,不難發(fā)現(xiàn)人是以建設(shè)性的、積極的方式不斷將其在各種情境中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗進(jìn)行聯(lián)結(jié)和整合.

4.3 促進(jìn)和建立關(guān)聯(lián)的嘗試

如何促進(jìn)和建立校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián),福斯查菲爾教授介紹了如下的三種方法:(1)將校外的現(xiàn)實引入數(shù)學(xué)課程,以鼓勵更有意義的、有目的的活動;(2)通過加強家校之間多渠道的交流與合作,促進(jìn)學(xué)生的家庭數(shù)學(xué)和學(xué)校文化之間的關(guān)聯(lián);(3)尋找改變學(xué)校數(shù)學(xué)的方式,使其與學(xué)生未來的工作和其他日?；顒拥年P(guān)系更密切.

五、集體討論和總結(jié)

最后的大會討論集中在如下四個問題:(1)從算術(shù)到代數(shù)的過渡;(2)有哪些適當(dāng)?shù)摹⒂邢Ｍ摹斑吔鐚ο蟆蹦苡脕韼椭鷮W(xué)生完成過渡?(3)在概念學(xué)習(xí)過程中,學(xué)習(xí)機械性的、程序性的運算有什么作用?它對學(xué)習(xí)過程的連續(xù)性/不連續(xù)性有何影響?(4)如果要順利完成過渡,學(xué)生可能扮演什么樣的角色?

5.1 從算術(shù)到代數(shù)的過渡

波什教授從教學(xué)組織之間銜接的角度回答了這個問題.她首先談了為什么要提這個問題,為什么不是從代數(shù)到函數(shù),幾何到線性代數(shù)等其它數(shù)學(xué).這主要是因為在現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程改革之前,代數(shù)是中學(xué)后教育的門檻.大眾數(shù)學(xué)運動之后,學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)算術(shù)和少量的代數(shù),但只有少部分人修讀代數(shù).接著波什教授談到了解決方案,從組織的角度來看,重點應(yīng)放在課程設(shè)計方面,什么是算術(shù),什么是代數(shù),我們希望學(xué)生學(xué)習(xí)什么樣的代數(shù)?是代數(shù)運算(如因式分解)?還是代數(shù)結(jié)構(gòu)(如交換律)?還是表征現(xiàn)實世界模型的函數(shù)?這些問題各個國家的處理方式之間有很大的不同.

帝塞薩教授認(rèn)為這個問題問得非常好,可以從認(rèn)知的角度來回答,算術(shù)和代數(shù)是兩個大的、完全不同的概念范疇,數(shù)學(xué)教育研究者更多地關(guān)注算術(shù)和代數(shù)的差異,即轉(zhuǎn)換過程中的不連續(xù)性,而實際上我們可以從多種角度促進(jìn)孩子的代數(shù)思維發(fā)展,如從表征的角度,他們發(fā)現(xiàn)六年級的孩子就能學(xué)習(xí)各種不同的表征方法.帝塞薩教授的學(xué)生對前代數(shù)(pre-algebra)的研究表明,學(xué)生同時發(fā)展了過程性和概念性的理解,很多小的情境化學(xué)習(xí)貫穿整個學(xué)習(xí)過程.

5.2 適當(dāng)?shù)摹斑吔鐚ο蟆?/h3>

關(guān)于“邊界對象”,福斯查菲爾教授認(rèn)為首先應(yīng)該是文字題.早在1000多年前,文字題就被用來幫助學(xué)生建立學(xué)校數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系.雖然許多研究表明文字題并沒有起到“邊界對象”的作用,解文字題時學(xué)生常常使用一些不成熟的策略,而不是通過數(shù)學(xué)建模來解決.如前所述,學(xué)生完全忽視現(xiàn)實世界問題需要考慮的條件,將其與現(xiàn)實世界完全割裂開來.為使學(xué)校數(shù)學(xué)更真實和有意義,可以考慮使用現(xiàn)代資訊科技,也可以使用學(xué)生讀物、日歷等其他的資源,幫助學(xué)生認(rèn)識到校內(nèi)數(shù)學(xué)和校外現(xiàn)實世界中問題解決之間的聯(lián)系與區(qū)別.

波什教授認(rèn)為文字題扮演了數(shù)學(xué)模型的角色,如除法可以是生活中的等分問題.她也談到了為大一新生設(shè)置的銜接課程沒有考慮到中學(xué)學(xué)了什么,而只是從學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的需要出發(fā)(這意味著不改變大學(xué)課程),從學(xué)生知識準(zhǔn)備的角度將需要補充的內(nèi)容補充進(jìn)來,而較少涉及中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系,所以她強調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)教師和大學(xué)數(shù)學(xué)教授之間也應(yīng)當(dāng)加強交流和聯(lián)系.

5.3 程序性知識和概念性理解

對第三個問題,帝塞薩教授首先分享了一件讓他十分震驚的事情.在他開始做大學(xué)教授的前三年,他需要教授大一的物理入門課程,于是他得以訪談很多學(xué)生,問他們在高中的物理課程中學(xué)到了什么?學(xué)生的回答出奇地一致,什么都沒有學(xué)到!考試時只需要選擇正確的公式,并代入數(shù)值進(jìn)行計算便能得到正確的答案.盡管中學(xué)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)了物理,甚至多數(shù)的拿到了A.與物理一樣,數(shù)學(xué)中的概念性理解比過程性的計算更重要,如果能在教學(xué)中將重點放在概念性理解上,學(xué)生將會更投入.

匡歐南教授分享了她在15年前的一項改革大學(xué)《微分方程》課程的研究.他們基于學(xué)習(xí)理論和教學(xué)設(shè)計理論設(shè)計了《探究導(dǎo)向的微分方程》課程,實驗組的學(xué)生不僅在后測中的表現(xiàn)優(yōu)于對比組的學(xué)生,而且在一年后的重測中,其表現(xiàn)也比對比組好,得到的結(jié)果非常鼓舞人心.在探究的過程中,學(xué)生積極參與討論,所以她認(rèn)為學(xué)生之間的對話可以幫助學(xué)生完成從機械性的操作運算到概念性理解的過渡.

5.4 師生的角色

對第四個問題,匡歐南教授認(rèn)為應(yīng)該改成“要順利完成過渡,教師可以扮演什么樣的角色?”因為她認(rèn)為教師比學(xué)生的作用更重要,或至少同樣大.接著她談到了中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)之間的關(guān)系.她認(rèn)為數(shù)學(xué)不能簡單地分割為中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué),從某種程度上來說,中學(xué)數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的一部份.大學(xué)數(shù)學(xué)教授需要站在一個更高的觀點看待中學(xué)數(shù)學(xué),幫助學(xué)生認(rèn)識到中學(xué)數(shù)學(xué)概念拓展、延伸到大學(xué)水平的必要,而且要懂得中學(xué)數(shù)學(xué)是如何與大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)聯(lián)的,為什么要不相同,從而幫助學(xué)生更好地從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

福斯查菲爾教授認(rèn)為學(xué)生對促進(jìn)過渡的幫助很大,因為學(xué)生能夠?qū)⑽幕?、學(xué)校數(shù)學(xué)與家庭生活等生動地聯(lián)系起來.他們不僅能將課外的東西帶到課內(nèi)來,也能將課內(nèi)的延伸到課外.當(dāng)然,教師和教材也應(yīng)該扮演這種鏈接的作用,老師需要理解學(xué)生的家庭生活,而家庭也應(yīng)對學(xué)校和教師保持一定的開放性.

帝塞薩教授認(rèn)為學(xué)生的作用可以是正面的,也可以負(fù)面的.他以一個物理系的研究生為例進(jìn)行說明.該學(xué)生組建了一個學(xué)生組織,旨在幫助中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、科學(xué)和技術(shù),特別是中學(xué)女生.學(xué)生碰到新的、綜合性比較強的任務(wù)時會比較消極,但面對機械的、脫離現(xiàn)實的學(xué)習(xí)時,他們又變得無法忍受,表現(xiàn)出比較正面的作用.

5.5 總結(jié)

最后,格艾特教授進(jìn)行總結(jié),提出未來在這方面研究所面臨的三個挑戰(zhàn):(1)超出初始狀態(tài)/終止?fàn)顟B(tài)的分析,建構(gòu)各種方法來理解復(fù)雜的銜接過程本身;(2)識別不同情境之間的共性,確定其給銜接創(chuàng)造的機遇;(3)開發(fā)可以促進(jìn)銜接的資源,交流研究成果,設(shè)計教師教育課程,促進(jìn)不同來自背景的人之間的溝通.

六、啟示

在此小組報告中,幾位教授分別介紹了核心概念的學(xué)習(xí)、跨越不同情境的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),不同學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的銜接、以及校內(nèi)外數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系,涵蓋的內(nèi)容比較廣泛.作為中小學(xué)教師,為提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量,我們應(yīng)當(dāng):(1)了解學(xué)生的校外生活,將課堂建立在學(xué)生的日常生活之上,讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模,學(xué)會數(shù)學(xué)地處理問題的方法;(2)注重數(shù)學(xué)前后知識之間的聯(lián)系,如從整數(shù)到分?jǐn)?shù),整數(shù)到小數(shù),分?jǐn)?shù)和小數(shù)等,它們之間都有怎樣的聯(lián)系,各自又有哪些獨特的應(yīng)用,在教學(xué)中幫助學(xué)生順利完成從簡單到復(fù)雜的過渡.(3)數(shù)學(xué)是描述現(xiàn)實世界的模型,有著很廣泛的應(yīng)用,同一個模型可以應(yīng)用到多種情境之中,所以教學(xué)中我們要有意識地給學(xué)生提供多樣化的建模和應(yīng)用情境,幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界的聯(lián)系,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力;(4)教師在教學(xué)的同時,也研究一些數(shù)學(xué)問題,提高自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng),站在更高的觀點才能更深刻地理解抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和方法.

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