高考題怎么改編（四）
——三角函數(shù)篇

蘇 玖

真題展現(xiàn)

（2018年江蘇卷第16題）已知α，β為銳角，

（1）求cos2α的值；（2）求tan（α-β）的值.

思維延伸

本題是給值求值類型問(wèn)題，常用的策略就是拆角變換.若改變角α，β的范圍，于是有：

（改編1）若β為銳角，α為第三象限角，

（1）求cos2α；（2）tan（α-β）.

本題只是改編一個(gè)角的范圍，所得到的結(jié)果與原題截然不同.如果知道兩個(gè)角的和與差的范圍，又會(huì)有什么樣的題目呢？

本題的求解過(guò)程很容易將待求的式子的角化為已知的角，如果這些角之間的關(guān)系比較隱蔽，不容易轉(zhuǎn)化，又會(huì)有什么樣的題目呢？

有的題目條件需要先化簡(jiǎn)已知條件，再求有關(guān)三角函數(shù)式子的值，可以改編為：

前幾道改編題都是求值題，也可以改編為證明題：

（改編6）已知sinβ＝2 sin（2α＋β），其中求證：tan（α＋β）＝-3 tanα.

點(diǎn)撥解析

原題解析：（1）因?yàn)棣翞殇J角，于是sinα＝因?yàn)棣粒聻殇J角，因此0＜α＋β＜π.又于是α＋β＜π，所以tan（α＋β）＝ -2.又因?yàn)樗?tan（α-β）＝

改編1解析：第（1）小題也可以弦化切求解.第（2）小題就要討論角的范圍了，由于β為銳角，α為第三象限角，因此2kπ＋π＜α＋β＜2kπ＋2π，其中k∈Z.又因?yàn)橛谑铅粒隆仕詔an（α＋β）＝2，.而α-β＝2α-（α＋β），所以，

改編2解析：由已知條件可以判斷α-β∈因此 sin（α＋

所以sin2α＝sin[（α＋β）＋（α-β）]＝sin（α＋β）cos（α-β）＋cos（α＋β）sin（α-β）＝同理可得：本題是兩個(gè)變化的角，而“2α”角與條件中出現(xiàn)的“兩個(gè)整體角”“α＋β”“α-β”之間恰有關(guān)系2α＝（α＋β）＋（αβ），2β＝（α＋β）-（α-β），使問(wèn)題迎刃而解.諸如此類的整體角還有α＝（α＋β）-β，等等.

改編3解析：

解法一：因?yàn)樗杂忠?為所以.這樣原式＝代入數(shù)據(jù)得

解法二：因此原式

改編4解析：條件中有兩種角，α和α-而結(jié)論中只有一種角因此應(yīng)將α和盡量用表示.為此，可以設(shè)于是和所以，已知等式可以表示為展開(kāi)化簡(jiǎn)得即所以，tanθ＝

改編5解析：本題條件中的單角的正切的式子，先要解出tanα值，而待求的函數(shù)式中有單角也有半角，故要先將所求的式子化半角為單角，將弦化切后再代入求解.由已知得3 tan2α＋10 tanα＋3＝0，因此tanα＝ -3或又因?yàn)樗?所以原式＝

改編6解析：條件角為β，2α＋β，而目標(biāo)角為α＋β和α，為了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，我們可將條件角用目標(biāo)角表示.

由sinβ＝2 sin（2α＋β）得sin[（α＋β）-α]＝2 sin[（α＋β）＋α]，

所以sin（α＋β）cosα-cos（α＋β）sinα＝2[sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα]，

即sin（α＋β）cosα＝-3 cos（α＋β）sinα.因?yàn)樗詂osα≠0，cos（α＋β）≠0，所以tan（α＋β）＝-3 tanα.

回顧悟道

給值求值，即由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于將“目標(biāo)角”變換成已知角.若角所在的象限沒(méi)有限定，則應(yīng)分情況討論.應(yīng)注意公式的運(yùn)用、逆用、變形運(yùn)用，掌握拆角、拼角、配角變換的技巧.

小試牛刀

（2018年浙江理科卷第18題）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)

（1）求 sin（α＋π）的值；

（2）若角β滿足求cosβ的值.

提示1：改變題目條件，但仍然考查拆角變換，可以有：

（改編1）_____________________________

提示2：如果已知條件角中含有半角，而目標(biāo)角中是整角，可以有：

（改編2）_____________________________

參考答案與提示

原題解析：（1）由角α的終邊過(guò)點(diǎn)得所以

（2）由角α的終邊過(guò)點(diǎn)得

由β＝ （α＋β）-α得cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα，

（改編1）設(shè)α為銳角，求tan（2α-β）的值.

解析：因?yàn)棣翞殇J角因此tanα＝所以tan（2α-β）＝ tan [α＋（α-β）]＝