勿忘“等號(hào)能否取到”

席青云

整體方略制定后，細(xì)節(jié)決定成敗.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)我們對(duì)一些細(xì)節(jié)疏忽大意，造成解題錯(cuò)誤.看上去非?？上В瑢?shí)際反映了我們對(duì)問題的理解不夠深刻.因此，在解題過程中要關(guān)注細(xì)節(jié)，糾錯(cuò)要落實(shí)到每一個(gè)細(xì)節(jié).這里，我們就以一類題中的“等號(hào)能否取到”為例，談?wù)勅绾畏乐钩鲥e(cuò)，如何把握解題過程中的每一個(gè)細(xì)節(jié).

例1已知f（x）＝x2-2ax在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

本題的關(guān)鍵是a能否取到“1”？即a的范圍是（-∞，1）還是（-∞，1]，這怎么區(qū)分呢？老師在課堂上曾經(jīng)做過小調(diào)查，本題做錯(cuò)的人不在少數(shù).其實(shí)，如果大家能把a(bǔ)＝1代入解析式去判斷是否成立，應(yīng)該就可以明白，a＝1也是成立的.代入驗(yàn)證，舉手之勞，但我們要有代入檢驗(yàn)的意識(shí)，養(yǎng)成凡事三思而行的良好品質(zhì).

例2已知集合A＝｛x｜1＜x＜3｝，B＝｛x｜a-1＜x＜2a＋1｝，若A是B的真子集，求a的范圍.

分析本題中，A是B的真子集，所以要考慮A是B的子集，而且A≠B，我們來看兩種做法.

對(duì)于做法二，一些同學(xué)會(huì)反對(duì)：因?yàn)檫@是真子集，故等號(hào)不能成立，你贊同么？如果你把a(bǔ)＝1和a＝2分別代入驗(yàn)證就可以知道a＝1和a＝2都成立，所以做法一錯(cuò)誤，不可取.

但是做法二未考慮到“真”子集，怎么辦？老師的建議是按做法二去做，到最后再考慮等號(hào)能否成立，即代入驗(yàn)證來檢驗(yàn)等號(hào)能否成立.以上兩類題是集合中的“等號(hào)能否取到”的問題.除此之外，我們在做變量分離題時(shí)，也時(shí)常會(huì)遇到此類情況.

例3對(duì)于任意x∈（1，2），都有x2-2x＋a＞0成立，求a的取值范圍.

對(duì)于這一題，老師曾經(jīng)找同學(xué)板書，他的做法如下所示.

由題意，分離變量得到a＞2x-x2，因?yàn)閤∈（1，2）時(shí)，2x-x2∈（0，1），a大于2xx2的最大值，故a＞1.

顯然，本題做法有誤.經(jīng)過驗(yàn)證，容易知道a是可以取到1的.為什么會(huì)取到1呢？因?yàn)?x-x2的值取不到1.

本題也可以改成存在性問題；如下例所示.

例4存在x∈（1，2），使得x2-2x＋a＞0成立，求a的取值范圍.

此題看起來和例3差不多，但也很容易出錯(cuò)，一部分同學(xué)的做法如下.

a＞2x-x2，因?yàn)閤∈（1，2）時(shí)，2x-x2∈（0，1），a大于2x-x2的最小值，因?yàn)?x-x2的最小值取不到0，故a≥0.

對(duì)嗎？a＝0代入驗(yàn)證成立么？現(xiàn)在你應(yīng)該知道，與例3恰恰相反，正是因?yàn)?xx2的最小值取不到0，才使得a更取不到0了.

所以，解題不是盲目地照搬照抄，而是需要我們懂得思考其中的道理.

如果我把例3和例4的“x∈（1，2）”改成x∈[1，2]，答案又該是多少？（希望你能得出正確的答案，例3：a＞1；例4：a＞0.）

以上這兩題告訴我們，對(duì)于“等號(hào)能否取到”的問題，我們在做題時(shí)要多長個(gè)心眼，稍不留意就會(huì)出錯(cuò).

對(duì)字母取值的一些臨界值、區(qū)間的端點(diǎn)要格外小心，這表面上是細(xì)節(jié)問題，在解決數(shù)學(xué)問題上卻是大問題.因?yàn)椋е晾?，謬以千?