“導(dǎo)數(shù)”等同于“導(dǎo)函數(shù)”？

何名慰

蘇教版教材指出：在不引起混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′（x）也簡(jiǎn)稱為f（x）的導(dǎo)數(shù)；人教版也有類似的說(shuō)法：本書中，如果不特別指明求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，那么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù).

言外之意，“導(dǎo)函數(shù)”跟“導(dǎo)數(shù)”可能被混淆.“導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”，你們到底是幾個(gè)意思？

欲知答案，且聽我慢慢道來(lái).

先請(qǐng)各位觀賞一下我的一個(gè)小伙伴完成的一道練習(xí)題：

已知函數(shù)f（x）＝x3，則該函數(shù)圖象在x＝1處的切線方程為y＝3x3-3x2+1.

此解一出，全班的小伙伴們都驚呆了！這個(gè)方程表示的圖形顯然連直線都不是，太不合理了.

后來(lái)我才知道，他解題的真相是這樣的：

“先求切點(diǎn)f（1）＝1，所以切點(diǎn)為（1，1），再求導(dǎo)數(shù)f′（x）＝3x2，由導(dǎo)數(shù)就是切線斜率和直線的點(diǎn)斜式得切線方程為y-1＝3x2（x-1），化簡(jiǎn)得y＝3x3-3x2+1”.

其實(shí)這就是混淆了導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的結(jié)果.當(dāng)我們講“導(dǎo)數(shù)就是切線斜率”這句話時(shí)，真實(shí)的含義是“函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)圖象在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線斜率”.而這里“導(dǎo)數(shù)”肯定是一個(gè)數(shù)值，不是函數(shù)，當(dāng)然就不是“導(dǎo)函數(shù)”的簡(jiǎn)稱了.

這么說(shuō)來(lái)“導(dǎo)數(shù)”跟“導(dǎo)函數(shù)”確實(shí)不是一個(gè)意思，但它們也不是相互獨(dú)立的兩個(gè)意思.

實(shí)際上我們可以像“求某個(gè)數(shù)的平方”、“求某個(gè)數(shù)的倒數(shù)”一樣把“求函數(shù)f（x）在某處的導(dǎo)數(shù)”也看成一種對(duì)應(yīng)法則.在函數(shù)f（x）是可導(dǎo)函數(shù)的前提下，定義域中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x都會(huì)對(duì)應(yīng)唯一的切線斜率，即導(dǎo)數(shù)，這時(shí)“求函數(shù)f（x）在某處的導(dǎo)數(shù)”這個(gè)對(duì)應(yīng)就是一個(gè)名副其實(shí)的函數(shù)了，也就是我們所講的“導(dǎo)函數(shù)f′（x）”.

也許可以這樣理解導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系.比如一個(gè)服裝生產(chǎn)商的兩個(gè)部門，一個(gè)負(fù)責(zé)給客戶定制服裝，另一個(gè)負(fù)責(zé)流水線生產(chǎn)不同型號(hào)、不同款式的服裝.“函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)”就是定制，“導(dǎo)函數(shù)f′（x）”就是流水線生產(chǎn).

但是從數(shù)學(xué)上講，“定制”函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與“流水線生產(chǎn)”函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）并沒(méi)有什么質(zhì)量上的差別，唯一的差別就是“定制”效率低，只能求一處的導(dǎo)數(shù)；“流水線”效率高，求出了導(dǎo)函數(shù)f′（x），更方便于求各處的導(dǎo)數(shù).事實(shí)上，“函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)”就是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的一個(gè)函數(shù)值f′（x0）.

回到開始處，那名可愛(ài)的小伙伴犯錯(cuò)誤的地方，顯然切線的斜率應(yīng)該為“k＝f′（1）＝3”，所以切線方程為“y-1＝3（x-1）”，化簡(jiǎn)得“y＝3x-2”.

其實(shí)，從導(dǎo)數(shù)概念發(fā)展的歷史來(lái)看，求曲線的切線問(wèn)題和求即時(shí)速度的問(wèn)題在公元17世紀(jì)廣泛地被人們研究，研究者當(dāng)中有許多著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家甚至天文學(xué)家.經(jīng)過(guò)了幾代人的努力，終于有人發(fā)現(xiàn)，這兩種問(wèn)題本質(zhì)是相同的，并且運(yùn)用函數(shù)、極限的思想給出了一般性的解決方法.接下來(lái)不斷有人研究這個(gè)問(wèn)題，一晃200多年過(guò)去了，直到公元19世紀(jì)60年代，“導(dǎo)數(shù)”或者說(shuō)“導(dǎo)函數(shù)”才有了現(xiàn)在的嚴(yán)格定義（我們的課本中還不是定義的“最高版本”）.從這個(gè)角度來(lái)看，“導(dǎo)數(shù)”也好，“導(dǎo)函數(shù)”也罷，它們其實(shí)都是函數(shù)思想、極限思想的成功運(yùn)用.如果從廣義上把“導(dǎo)數(shù)”就理解為這樣的研究方法，“導(dǎo)函數(shù)”簡(jiǎn)稱為“導(dǎo)數(shù)”恐怕也就好理解了.

課堂上我會(huì)問(wèn)那些小伙伴們“這道求切線的問(wèn)題用什么方法做呀？”，通常會(huì)得到這樣的齊聲回答“導(dǎo)數(shù)”.同樣的兩個(gè)字，有的同學(xué)可能是“有口無(wú)心”，有的則以為求了“導(dǎo)函數(shù)”就完事了，更多的同學(xué)則明確地知道求了“導(dǎo)函數(shù)”還要代入具體的橫坐標(biāo)，得到的函數(shù)值才是切線斜率，這是正確的做法.當(dāng)然可能也有同學(xué)會(huì)深刻體會(huì)到，“導(dǎo)數(shù)”，這是多少研究者積淀下來(lái)的思想精華，其核心就是逼近再逼近，然后顯現(xiàn)出極限，切線是這種極限，瞬時(shí)變化率是這種極限，導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)都是這種極限.

導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)到底是幾個(gè)意思？可以說(shuō)它們是一個(gè)意思，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱；可以說(shuō)它們是兩個(gè)不同的意思，因?yàn)樵谇笄芯€方程時(shí)，某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是個(gè)數(shù)值，而導(dǎo)函數(shù)是個(gè)函數(shù)；當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)還可以就是一個(gè)意思，那是同一種數(shù)學(xué)思想，同一種文化的味道.