最值問題解題方法的探討

許云飛

摘 要：數(shù)學(xué)中的最值問題覆蓋面是非常廣泛的，解法也是靈活多樣的，而且最值問題是人們在日常生產(chǎn)和生活中最常見的一種數(shù)學(xué)問題，比如“最好”、“最優(yōu)”和“最少”，然而這些問題最終都會轉(zhuǎn)化為最值問題來進(jìn)行求解。因此，研究最值問題的解題方法是具有實(shí)用性的。本文在闡述了最值問題的概念基礎(chǔ)上，通過實(shí)例對最值問題的解題方法進(jìn)行了探討，以幫助人們更好的解答最值問題。

關(guān)鍵詞：最值問題；解題方法

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）05-092-02

一、最值問題的概述

最值問題是數(shù)學(xué)和物理中常見的類型題目?！白畲笞钚　?、“最長最短”等問題都是最值問題，它主要是用來解決有“最”字描述的問題。

二、最值問題的解題方法

最值問題是一個(gè)綜合能力的考察，所以要求我們一定要有分析的能力，并且牢固掌握最值問題的解題方法，這樣才能有效靈活地運(yùn)用最值問題。函數(shù)在我們做題的過程中出現(xiàn)較為頻繁，所以接下來我們通過實(shí)例主要來討論下函數(shù)最值問題的解題方法，以幫助我們更好地理解和解決問題。

1、定義法求解最值問題

通常情況下，函數(shù)的最值分為函數(shù)最大值和函數(shù)最小值。而函數(shù)最值的幾何意義指的是在坐標(biāo)系下函數(shù)圖像的最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大（小）值。即有函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)a滿足以下兩種條件：一是對于任意實(shí)數(shù)x I，都有f（x）≥a；二是存在x0 I，使f（x0）=a，那么實(shí)數(shù)a就是函數(shù)y=f（x）的最小值。相反，如果實(shí)數(shù)a滿足對于任意實(shí)數(shù)x I，都有f（x）

2、配方法求解最值問題

如果函數(shù)通過變量代換能夠變成關(guān)于T（x）的二次函數(shù)形式，我們就可以先把這類函數(shù)配成f（x）=a[T（x）-m]2+n，然后按照函數(shù)T（x）的取值來判斷函數(shù)f（x）的取值范圍。配方法可以直觀地表達(dá)出當(dāng)前式子的最值信息，所以在解題中使用較多。

例1：設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，代數(shù)式5a2+4b2-8ab+2a+4能不能取得最小值？代數(shù)式

5a2+4b2-8ab+2a+4=4（a2-2ab+b2）+a2+2a+4=4（a-b）2+（a+1）2+3，由配方法的結(jié)果我們可以得到在點(diǎn)a=-1，b=-1處，代數(shù)式有最小值3，因此原代數(shù)式可以取到最小值。

3、均值不等式法求解最值問題

均值不等式在不等式理論中占有重要的作用，在日常生產(chǎn)和生活中也普遍被運(yùn)用，所以我們要掌握均值不等式的方法來對問題進(jìn)行求解。當(dāng)最值問題滿足“一正二定三相等”這三個(gè)條件時(shí)，我們就可以考慮使用均值不等式來求最值問題。其中兩個(gè)個(gè)重要的均值不等式有：

① a2+b2≥2ab ab≤ （a，b R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立。

② a+b≥2 ab≤ （a，b R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立。

例2：當(dāng)0

函數(shù)y=a2 = = ，因?yàn)?≤ = ，當(dāng)且僅當(dāng) = ，即a= 時(shí)，等號成立。所以函數(shù)y=a2 的最大值是 。

4、換元法求解最值問題

換元法就是將代數(shù)中的某些項(xiàng)用代數(shù)式中沒有的變量來代替去解決問題的方法。利用換元法可以將復(fù)雜的函數(shù)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為易于分解的代數(shù)式，具有有效簡單的特點(diǎn)。

例3：求函數(shù)y= -x的最值。

設(shè) =t，由函數(shù)的定義域可以知道t≥0，帶入原函數(shù)y= -x=-t2+t-2，配方可以得到y(tǒng)=-（t- ）2- ，當(dāng)t= 即x= 時(shí)，函數(shù)y= -x的最大值是 。

例4：求y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5的最值。

由y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5可以得到y(tǒng)=（x2-5x+4）（x2-5x+6）+5，設(shè)x2-5x+5=t，那么原函數(shù)y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5變?yōu)閥=（t-1）（t+1）+5=t2+4≥4，所以當(dāng)t=0即x= 時(shí)，y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）+5有最小值，最小值是4。

5、三角函數(shù)法求解最值問題

三角函數(shù)法是求最值問題中重要的內(nèi)容。它的內(nèi)容的是多種多樣的，有時(shí)候與其他知識點(diǎn)相結(jié)合進(jìn)行考查，比如曲線、不等式等。所以要熟練掌握三角函數(shù)的恒等變形、基本的正弦定理和余弦定理等相關(guān)知識點(diǎn)，就可以將最值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答。

例5：求函數(shù)y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

由原函數(shù)y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x可以得到y(tǒng)=（1-2sin2x）2+6，由于函數(shù)z=（u-1）2+6在[-1，1]中的最大值是10，最小值是6得出，當(dāng)sin2x=-1時(shí)，函數(shù)y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最大值是10；當(dāng)sin2x=1時(shí)，函數(shù)y=7-4sin x cos x+4cos2x-4cos4x的最小值是6。

6、數(shù)形結(jié)合法求解最值問題

（1）利用數(shù)形結(jié)合法解關(guān)于函數(shù)及其圖像的最值

例6：求函數(shù)y=x2-6x-7在（2，7]上的最值。

我們可以看到所求的函數(shù)是二次函數(shù)，而且函數(shù)不是單調(diào)的，所以不能直接將兩個(gè)定義域的端點(diǎn)帶入進(jìn)行直接求解，這個(gè)時(shí)候借助圖像并且結(jié)合函數(shù)的定義，我們就可以直觀地解答出最值問題。

如圖1所示，函數(shù)在坐標(biāo)系上，通過圖像可以直觀地知道，定義域范圍內(nèi)的函數(shù)是圖像的部分，我們就可以從對稱軸處獲得函數(shù)的最小值，即x=3時(shí)，函數(shù)的最小值是-16；當(dāng)x=7時(shí)，函數(shù)的最大值是0。

（2）利用數(shù)形結(jié)合法解二次方程和方程曲線的最值

例7：如果有兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，而且有（x-2）2+y2=3，那么 的最大值是多少？

通過分析我們知道這道題是讓求數(shù)值的比例問題，把（x-2）2+y2=3當(dāng)成一個(gè)圓，如圖2所示， = 表示圓上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)中心（0，0）兩點(diǎn)連線的斜率值。由圖形得出，A在移動的過程中，直線的斜率也在變化著，變化的過程中直線的斜率是先增后減的，連接AM，那么AM OA，OA=OM2-AM2=22- =1，這個(gè)時(shí)候就可以得到 的最大值就是tan AOM=3。

求函數(shù)最值的方法很多，但是當(dāng)函數(shù)具有幾何意義時(shí)，求解最值問題最好是采用數(shù)形結(jié)合的方法，這樣更直觀靈活，也相應(yīng)地把函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成為幾何中的直線斜率、兩點(diǎn)間直線距離等問題。而用數(shù)形結(jié)合法也有相應(yīng)的步驟：首先是要把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形；其次是觀察轉(zhuǎn)化后的圖形，分析圖形，用幾何問題來進(jìn)行解答；最后是再次回到代數(shù)問題，尋找出正確答案。

三、實(shí)際生活中的最值問題

最值問題在日常生活中的應(yīng)用也是較廣泛的，比如貸款買房買車問題、出去旅行什么樣的出行方式才最劃算等。由此可以看出，最值問題也是具有現(xiàn)實(shí)意義的。

四、總結(jié)

數(shù)學(xué)是一門生活性的學(xué)科，它來源于生活又服務(wù)于生活。我們在學(xué)習(xí)或者是生活中碰到的一些難題都可以與數(shù)學(xué)中的知識相結(jié)合來進(jìn)行解答。其中，最值問題是與我們緊密聯(lián)系也是最常見的一類問題。它貫穿了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的始終，所以掌握最值問題中的解題方法，才能真正幫助我們解答難題，讓所學(xué)的知識服務(wù)于我們的生活。

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