函數(shù)最大值與最小值問(wèn)題的研究

牛浩成

摘 要：函數(shù)是數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要組成部分，其中，函數(shù)的最值問(wèn)題，包括函數(shù)的最大值與最小值是學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的重難點(diǎn)。不論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)，我們都會(huì)遇到各種各樣求函數(shù)最大值與最小值的問(wèn)題。本文在概述了函數(shù)最大值與最小值涵義的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)例具體分析了一次函數(shù)、二次函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)的最大值最小值問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；最大值；最小值

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2017）05-090-02

一、函數(shù)最大值與最小值的涵義

一般情況下，函數(shù)最值分為函數(shù)的最大值與最小值。函數(shù)的最大值與最小值指的是函數(shù)在整個(gè)定義區(qū)域內(nèi)函數(shù)值的最大值與最小值。從幾何意義上來(lái)說(shuō)，函數(shù)最大（小）值指的是函數(shù)圖像的最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

假設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域是I，如果存在實(shí)數(shù)A滿足兩點(diǎn)：一是對(duì)于任意實(shí)數(shù)x I，都有f（x）≥A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么實(shí)數(shù)A就是函數(shù)y=f（x）的最小值。假設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域是I，如果存在實(shí)數(shù)A滿足兩點(diǎn)：一是對(duì)于任意實(shí)數(shù)x I，都有f（x）≤A；二是存在x0 I，使得f（x0）=A，那么實(shí)數(shù)A就是函數(shù)y=f（x）的最大值。

二、函數(shù)最大值與最小值的應(yīng)用

1、一次函數(shù)

一次函數(shù)又稱作線性函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中可以用一條直線來(lái)表示。當(dāng)一次函數(shù)其中一個(gè)變量的值確定時(shí)，我們就可以利用一元一次方程來(lái)求解。對(duì)于一次函數(shù)y=ax+b，只要x有范圍，那么該函數(shù)就有最大值或者是最小值，或者是兩個(gè)都有，而且與a的取值范圍有很大的關(guān)系。第一，當(dāng)-0，有最大值ac+b，沒(méi)有最小值；若a<0，有最小值ac+b，沒(méi)有最大值。第二，當(dāng)d≤x< 時(shí)，若a>0，有最小值ad+b，沒(méi)有最大值；若a<0，有最大值ad+b，沒(méi)有最小值。第三，當(dāng)d≤x≤c時(shí)，若a>0，有最大值ac+b，最小值ad+b；若a<0，有最小值ac+b，最大值ad+b。

例1：已知a>0，求函數(shù)y=ax- （1+x），當(dāng)1≤x≤2時(shí)的最大值與最小值。

函數(shù)是一次函數(shù)，通過(guò)已知條件y=ax- （1+x）整理得到y(tǒng)=（a- ）x- ，由于系數(shù)不確定，所以我們要分情況進(jìn)行討論。當(dāng)a- >0時(shí)， >0，又因?yàn)閍>0，可以得到a2-4>0，這個(gè)時(shí)候02時(shí)，函數(shù)y=ax- （1+x）有最大值a- ，最小值2a- ；當(dāng)0

2、二次函數(shù)

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。當(dāng)二次函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)時(shí)，值域要分為兩種情況進(jìn)行討論。第一，當(dāng)a>0時(shí)， ≤y<+ ；第二，當(dāng)a<0時(shí)，-

例2：已知二次函數(shù)y=x2-4x+5，當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，有最小值g（a），求函數(shù)g（a）的表達(dá)式。

根據(jù)已知條件y=x2-4x+5，得到y(tǒng)=（x-2）2+1，那么函數(shù)的對(duì)稱軸就是x=2。接著我們要判斷這一對(duì)稱軸是否在x的取值范圍內(nèi)。第一，當(dāng)對(duì)稱軸在x取值范圍的左邊時(shí)，即a>2時(shí)，函數(shù)在a≤x≤a+1時(shí)是遞增的，所以函數(shù)的最小值是x=t時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，那么g（a）=f（a）=a2-4a+5。第二，當(dāng)對(duì)稱軸在a與a+1之間時(shí)，a≤2≤a+1，即1≤a≤2，這時(shí)函數(shù)的最小值是x=2時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，那么g（a）=22-4·2+5=1。第三，當(dāng)對(duì)稱軸在x取值范圍的右邊時(shí)，即a+1<2，a<1，函數(shù)在a≤x≤a+1時(shí)是遞減的，所以函數(shù)的最小值是x=a+1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，那么g（a）=（a+1）2-4（a+1）+5=a2-2a+2。

3、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)

對(duì)于簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，形如f（x）= 最大值與最小值的求解，最常用的方法是去分母將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，之后利用判別式 ≥0求出f（x）的取值范圍。

例3：求函數(shù)y= 的最大值與最小值。

首先因?yàn)?x2+2x+1=2（x+ ）2+ >0，所以函數(shù)的定義域是R，之后將已知函數(shù)y= 變成關(guān)于x的一元二次方程，（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=0。第一，當(dāng)y= 時(shí)，求得x=- ；第二，當(dāng)y≠ 時(shí)，根據(jù)判別式 ≥0，即（2y-1）x2+（2y+2）x+y+3=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0，得到-4≤y≤1。因此，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)y= 取得最大值，最大值是1；當(dāng)x=- 時(shí)，函數(shù)y= 取得最小值，最小值是-4。

4、無(wú)理函數(shù)

對(duì)于一般的無(wú)理函數(shù)，我們要將其轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)或者是整式函數(shù)，然后再進(jìn)行最大值與最小值的求解。但是要注意的是，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中有可能會(huì)擴(kuò)大函數(shù)的定義域，所以在求解結(jié)束后，一定要將所求結(jié)果代入原來(lái)的定義域進(jìn)行檢查，以確保答案的正確性。

例4：求函數(shù)y= 的最小值。

首先先將函數(shù)有理化，函數(shù)y= = ，再利用不等式的性質(zhì)，由于（x-3）+ ≥2 =8，所以y≥ = ，當(dāng)且僅當(dāng)x-3= ，即x=7。最后將x=7帶入檢驗(yàn)，滿足定義域x≥3這個(gè)條件，所以函數(shù)y= 的最小值是 。

一、總結(jié)

函數(shù)的最大值與最小值是學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的重難點(diǎn)。我們要根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)的特點(diǎn)利用不同的方法對(duì)函數(shù)的最大值與最小值進(jìn)行求解，這樣才能提高我們解決問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

參考文獻(xiàn)

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