用“形”揭結(jié)構(gòu)，以“數(shù)”輔思考

符秀麗

[摘 要] 函數(shù)動點(diǎn)最值問題的求解思路：利用幾何性質(zhì)揭示問題結(jié)構(gòu)，參數(shù)化幾何元素，結(jié)合函數(shù)方程深入分析. 本文結(jié)合近年中考真題具體闡釋該方法.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)幾何；動點(diǎn)；最值；參數(shù)化；方程思想

函數(shù)幾何問題常作為中考壓軸題出現(xiàn)，對學(xué)生具有區(qū)分選拔的作用，因此題型一般綜合性強(qiáng)、問題形式多樣，解法較為抽象，給學(xué)生的理解作答造成極大困難，其中涉及的動點(diǎn)最值問題尤為特殊，更為強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思維能力的考查.

真題解析，試題點(diǎn)評

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年江蘇鹽城卷第27題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=■x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-■x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，連接BC，CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S■，△BCE的面積為S■，求■的最大值.

2. 試題解析

分析 （1）略；（2）結(jié)合圖像，令y=0，可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，求■的最大值，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化為邊長的比值問題，結(jié)合坐標(biāo)參數(shù)可求邊長，最后利用函數(shù)方程分析即可求解.

■

簡答 （1）y=-■x2-■x+2；（2）如圖2，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交AN于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸，交AC于N，可知DM∥BN，因?yàn)椤螪EM=∠BEN，∠EDM=∠EBN， 所以△DME∽△BNE. 令y=0，0=-■x2-■x+2，解得x■=-4，x■=1，所以點(diǎn)B（1，0），■=■=■. 設(shè)Da，-■a2-■a+2，可推知Ma，■a+2，由點(diǎn)B（1，0），可知N1，■，則DM=-■a2-2a，BN=■，整理后可得■=-■（a+2）2+■，所以當(dāng)a=-2時，■可取得最大值，最大值為■.

3. 試題點(diǎn)評

本題目為典型的函數(shù)求最值問題，主要考查學(xué)生對函數(shù)圖像的理解以及幾何性質(zhì)運(yùn)用能力. 求解面積的比值，利用三角形相似的邊長特性，將問題轉(zhuǎn)化為線段比值問題，然后通過假設(shè)坐標(biāo)參數(shù)使線段長度參數(shù)化，最后借助函數(shù)方程分析最值問題. 整體思路可概括為線段長度參數(shù)化，方程函數(shù)輔助分析，其中滲透的參數(shù)化思想和方程思想對于求解結(jié)合了幾何性質(zhì)的函數(shù)問題有著指導(dǎo)作用，可對其進(jìn)行推廣.

考題銜接，解法透析

參數(shù)化思想和函數(shù)方程思想的結(jié)合使用對于函數(shù)最值問題有著良好的解題效果，其基本思路是：從幾何角度出發(fā)，充分利用幾何性質(zhì)思考問題結(jié)構(gòu)；從代數(shù)角度深入，使幾何元素參數(shù)具體化，利用函數(shù)方程分析問題的便利性來求最值.

試題1 （2015年江蘇連云港卷第27題）如圖3所示，已知一條直線過點(diǎn)（0，4），且與拋物線y=14x2相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2.

（1）求該直線的函數(shù)關(guān)系式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）略；

（3）過線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，與拋物線相交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3MP的長度取得最大值？并求最大值.

分析 （1）只需確定兩點(diǎn)坐標(biāo)即可，已知點(diǎn)（0，4），利用拋物線的解析式確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求解. （3）動點(diǎn)P在線段AB上，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)有范圍限制，求MN+3MP的最大值，可以嘗試用坐標(biāo)參數(shù)分別表示線段MN和MP的長，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程式來分析求解.

簡答 （1）y=■x+4，點(diǎn)B（8，16）；（3）作MP延長后與y軸的交點(diǎn)，令其為點(diǎn)Q，如圖4，則△MQN為直角三角形. 設(shè)Ma，■a2，在Rt△MQN內(nèi)，MQ=a2，PN=■a2-1，利用勾股定理可得MN=■a2+1，MP=a-■，所以整理后可得MN+3MP=-■（a-6）2+18（2≤a≤8），所以當(dāng)a=6時，MN+3MP的長度取得最大值18.

試題2 （2017年重慶市B卷第26題）如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一拋物線y=■x2-■x-■，并與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)E（4，n）在拋物線上.

（1）略；

（2）已知點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE. 當(dāng)△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值.

分析 （2）設(shè)出直線CE的解析式，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE于點(diǎn)F，可用參數(shù)表示點(diǎn)P和點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而知FP的長，△PCE的面積為S■=■FP·x■，根據(jù)面積最大可得點(diǎn)P的具體坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)之間線段最短原理可求KM+MN+NK的最小值.

解答 （2）設(shè)直線CE：y=mx-■，代入點(diǎn)E，可求CE：y=■x-■. 過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE于點(diǎn)F，如圖6，設(shè)Px，■x2-■x-■，則點(diǎn)Fx，■x-■，可求FP= -■x2+■x，S■=■FP·x■=-■x2+■x，當(dāng)x=2時，面積最大，得P（2，-■）. 過點(diǎn)K作關(guān)于CD和CP的對稱點(diǎn)G，H，連接GH交CD和CP于N，M，如圖7. 則KM+MN+NK=MH+MN+GN，當(dāng)點(diǎn)O，N，M，H在同一直線上時有最小值，最小值為GH，GH=3，所以KM+MN+NK的最小值為3.

上述兩道題的解題過程都充分體現(xiàn)了參數(shù)化思想和方程思想，試題1利用幾何性質(zhì)參數(shù)化線段長度，利用方程分析最值；試題2則是參數(shù)化幾何面積，利用方程定位點(diǎn)，最后結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短求解. 其解題思路都是基于“形”思考幾何結(jié)構(gòu)，借助“數(shù)”分析幾何問題，數(shù)形結(jié)合的思想方法使得問題更為直觀具體，分析過程思路清晰.

解后反思，教學(xué)思考

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)，完善體系

中考試題的出題依據(jù)為考試大綱，其試題均是對教材習(xí)題的引申、變式和重組. 雖然中考題的考查形式千變?nèi)f化，壓軸題知識面廣、綜合性強(qiáng)，但其中的知識點(diǎn)均來自課本教材，解題方法也為教材講授的基本通法. 因此在教學(xué)中教師要注重基礎(chǔ)知識的強(qiáng)化鞏固，合理編排教學(xué)內(nèi)容，對知識點(diǎn)進(jìn)行有效融合，建立完整的知識體系，對于知識的交叉融合點(diǎn)要開展綜合訓(xùn)練. 例如幾何與函數(shù)問題，要充分結(jié)合習(xí)題進(jìn)行系統(tǒng)講解，提煉、歸類、總結(jié)知識點(diǎn)，形成完整的知識體系.

2. 關(guān)注考題，形成思路

中考的考題設(shè)計可還原到教材習(xí)題，一道好的考題必然是核心知識突出、滲透思想方法的變式習(xí)題. 數(shù)學(xué)的核心知識是基礎(chǔ)知識、方法技能、思想方法融合的內(nèi)容，它們形成了完整、系統(tǒng)的知識體系. 因此教師要引導(dǎo)學(xué)生透析考題，找準(zhǔn)題目引申的知識點(diǎn)，分析其中的解題方法，總結(jié)概括解題思路. 另外，還要圍繞核心知識開展教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷問題發(fā)現(xiàn)提出、探究論證、總結(jié)概括的過程，從而強(qiáng)化問題意識，形成自身獨(dú)特的解題思路，提升解題能力.

3. 變式問題，拓展思維

從問題中提煉的解題思路，還需要經(jīng)過問題的變式教學(xué)來拓展學(xué)生的思維. 開展一題多解、多題一解的專項(xiàng)訓(xùn)練具有良好的學(xué)習(xí)效果，在變式訓(xùn)練中要關(guān)注學(xué)生的思維過程，及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的局限點(diǎn)和受困處，然后引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行針對性思考辨析，從而消除思維壁壘. 通過試題變式、探尋不同思路方法的方式，可以有效擴(kuò)展學(xué)生思維的寬度和維度，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性，進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生思維品質(zhì).

寫在最后

自然嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路對于問題的精準(zhǔn)作答有著重要的意義，初中的函數(shù)圖像和幾何知識有著不可分割的聯(lián)系. 對于函數(shù)的幾何問題也應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合思想，將參數(shù)化思想和方程思想有效結(jié)合，利用“形”對問題的直觀揭示，輔以“數(shù)”的深度分析，兩者的完美融合方可實(shí)現(xiàn)問題的高效解答. 教學(xué)中教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生透析考題，還原知識點(diǎn)；夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握通性通法；探究問題，形成解題思路；變式問題，拓展數(shù)學(xué)思維.endprint