基于輸入時(shí)延的線性連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)量化分析與控制*

陳 俊，陳海飛，高金鳳

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是一種將空間分布的多個(gè)系統(tǒng)元件如：傳感器、執(zhí)行器、控制器等控制節(jié)點(diǎn)通過(guò)數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)連接的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)[1]。由于控制系統(tǒng)回路中通信網(wǎng)絡(luò)的介入，不可避免地將網(wǎng)絡(luò)其本身帶寬有限等特性引入到控制系統(tǒng)中，必須設(shè)計(jì)出先進(jìn)的控制策略。

針對(duì)時(shí)延和丟包控制問(wèn)題，LI等[2]提出了一種改進(jìn)的依賴時(shí)延上界和丟包上界的穩(wěn)定性判據(jù)；XIE等[3]將通信受限的NCSs建模成具有輸入時(shí)延的離散時(shí)間切換系統(tǒng)，通過(guò)求解一組線性矩陣不等式(LMIs)獲得了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件；ZHANG等[4]基于Markov建模方法，將傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器的兩段傳輸時(shí)延分別建模成兩個(gè)Markov鏈，并分析了閉環(huán)系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性。與此同時(shí)，Zhang等[5]考慮了一類時(shí)變時(shí)延小于一個(gè)采樣周期的NCSs，進(jìn)而將系統(tǒng)描述成離散時(shí)間切換系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的H∞控制器使系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)均方穩(wěn)定和指定的H∞性能，并建立了時(shí)延長(zhǎng)度，時(shí)延變化頻率和閉環(huán)系統(tǒng)性能的關(guān)系。

另一方面，在接收端恢復(fù)出信號(hào)與原信號(hào)有一定的誤差。早期ELIA等[6]指出在單輸入單輸出的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)中，對(duì)數(shù)量化器是最粗糙的量化器，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的最小量化密度跟系統(tǒng)自身的不穩(wěn)定極點(diǎn)有關(guān)、QU等[7]研究了離散線性無(wú)線網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，基于Markov跳變系統(tǒng)，將系統(tǒng)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題；JIANG等[8]同時(shí)考慮了網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延，數(shù)據(jù)包任意丟失，量化的影響，基于已知的丟包概率，時(shí)延的上下界和量化密度，設(shè)計(jì)了統(tǒng)一的控制率。以上文獻(xiàn)都是考慮了傳感器對(duì)被控對(duì)象采樣的狀態(tài)信息傳輸?shù)娇刂破鞫说牧炕闆r，而在實(shí)際系統(tǒng)中，控制器的輸出信號(hào)在送到執(zhí)行器端前也同樣需要量化。

本研究將對(duì)系統(tǒng)建模、穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計(jì)3個(gè)方面進(jìn)行研究。

1 系統(tǒng)建模

考慮被控對(duì)象為線性時(shí)不變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程如下：

(1)

式中：x(t)—被控系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(t)∈Rn；u(t)—控制輸入，u(t)∈Rp；y(t)—被控輸出，y(t)∈Rr；A,B,C—具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

具有時(shí)延和量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 具有時(shí)延和量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

為了不失一般性，對(duì)NCSs作如下假設(shè)：

假設(shè)1：網(wǎng)絡(luò)時(shí)延在兩個(gè)通道中都存在，用u(t+)=Κx(t-τsc(k))表示傳感器到控制器時(shí)延，用u(t+)=Κx(t-τsc(k))表示控制器到執(zhí)行器時(shí)延，兩部分的總時(shí)延用u(t+)=Κx(t-τsc(k))表示，即u(t+)=Κx(t-τsc(k))。u(t+)=Κx(t-τsc(k))是有界的，即ηm≤τ(k)≤ηM,u(t+)=Κx(t-τsc(k))。

假設(shè)2：數(shù)據(jù)在每個(gè)采樣周期內(nèi)以單包的形式傳輸。傳感器是時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)，而控制器和執(zhí)行器都是事件驅(qū)動(dòng)。

假定被控系統(tǒng)的狀態(tài)都是可觀測(cè)的，則可以使用閉環(huán)狀態(tài)反饋控制器:

u(t+)=Κx(t-τsc(k))，k=1,2,…

(2)

式中：Κ—狀態(tài)反饋增益。

由于通信網(wǎng)絡(luò)中存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的問(wèn)題，將式(2)代入式(1)中得到：

(3)

式中：t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]；h—采樣周期；x(ikh)—系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在采樣時(shí)刻ikh經(jīng)傳感器檢測(cè)出的信號(hào)。

由于零階保持器(ZOH)的工作機(jī)制[9]，u(ikh)在采樣時(shí)刻ikh總是接收最新的控制信號(hào)以保證系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性，又因?yàn)閤(ikh)=x(t-(t-ikh))，令η(t)=t-ikh，其中，t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]，根據(jù)假設(shè)1可知，ηm≤(ik+1h-ikh)+τ(k+1)≤ηM，所以η(t)也是有界的，即ηm≤η(t)≤ηM。結(jié)合式(1～3)，并用t-η(t)代替ikh，于是式(3)可以表示為：

(4)

其中：t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]，ηm≤η(t)≤ηM。

考慮到前饋通道和反饋通道分別加入量化器后，量化器g(·)和f(·)分別量化狀態(tài)信號(hào)和控制信號(hào)，量化器與其兩端的輸入輸出關(guān)系描述如下：

v(t)=Κg(x(ikh))

(5)

u(t)=f(v(t))

(6)

量化器f(·)和g(·)定義為：

f(v)=[f1(v1),f2(v2),…,fp(vp)]T

(7)

g(x)=[g1(x1),g2(x2),…,gn(xn)]T

(8)

其中：fi(·)和gj(·)(i=1,2,…,p;j=1,2,…,n)是對(duì)稱的，即fi(-vi)=-fi(vi)和gj(-xj)=-gj(xj)，本文選取fi(·)和gj(·)為對(duì)數(shù)量化器。

定義1[10]：一個(gè)量化器被稱為對(duì)數(shù)量化器，它的量化級(jí)數(shù)的集合為：

U={±ui：ui=ρiu0,i=±1,±2,…}∪
{±u0}∪{0},0<ρ<1,u0>0

(9)

定義為：

(10)

其中：

(11)

(12)

利用扇形界方法可將fi(·)和gj(·)表示為[11]：

fi(vi)=(1+Δfi(vi))vi，|Δfi(vi)|≤δfi

(13)

gj(xj)=(1+Δgj(xj))xj，|Δgj(xj)|≤δgj

(14)

于是量化器fi(·)和gj(·)可以表示為：

f(v)=(Ι+Δf)v

(15)

g(x)=(Ι+Δg)x

(16)

其中：令Δf=Δfi，Δg=Δgj，Ι為適當(dāng)維數(shù)的單位陣。根據(jù)式(1～4，15-16)得到系統(tǒng)的控制輸入為：

u(t)=(Ι+Δf)Κ(Ι+Δg)x(ikh)=
(Κ+Δ(Κ))x(ikh)

(17)

其中，Δ(Κ)=ΔfΚ+ΚΔg+ΔfΚΔg。結(jié)合式(4)和式(17)得到：

(18)

其中：t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]。

(19)

引理2[12]：對(duì)于給定的具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Ω1，Ω2和Ψ，σ(t)是關(guān)于t的函數(shù)，且滿足0≤σm≤σ(t)≤σM，則：(σ(t)-σm)Ω1+(σM-σ(t))Ω2+Ψ<0成立當(dāng)且僅當(dāng)：(σM-σm)Ω1+Ψ<0，(σM-σm)Ω2+Ψ<0。

引理3[13]：對(duì)于給定的適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣D，E和F且滿足‖F(xiàn)‖≤1，則對(duì)任意給定的變量ε>0，有下面的不等式成立：

DEF+ETFTDT≤ε-1DDT+εETE

(20)

2 穩(wěn)定性分析

定理1給出了其漸近穩(wěn)定的一個(gè)判據(jù)，為接下來(lái)的控制器設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

定理1：給定狀態(tài)反饋增益矩陣Κ和標(biāo)量常數(shù)ηm，ηM，如果存在適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣P>0，Ti>0，Mi>0(i=1,2)和普通矩陣S，N滿足式(21～22)，則閉環(huán)控制系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的。

(21)

(22)

其中：

證明：選取的Lyapunov-Krasovskii泛函形式：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

其中：

V1(t)=xT(t)Px(t)

xT(t)T2x(t)-xT(t-ηM)T2x(t-ηM)

2φT(t)S[x(t-ηm)-x(t-η(t))-

(23)

另外，其中兩項(xiàng)：

(24)

(25)

結(jié)合式(23～25)可得：

xT(t-ηm)T1x(t-ηm)-

(x(t)-x(t-ηm))TM1(x(t)-x(t-ηm))-

2φT(t)S(x(t-ηm)-x(t-η(t)))+

2φT(t)N(x(t-η(t))-x(t-ηM))+

(26)

由于Δ(Κ)=ΔfΚ+ΚΔg+ΔfΚΔg是以非線性的形式存在的，其中的Δf和Δg為兩個(gè)不確定項(xiàng)，Δ(K)也是不確定的，無(wú)法直接用Matlab中的LMI工具箱求解，所以本研究應(yīng)用常見處理不確定項(xiàng)的方法，將其轉(zhuǎn)化成如下形式。定理2給出了處理不確定項(xiàng)Δ(K)的具體過(guò)程。

定理2：給定反饋增益矩陣Κ和標(biāo)量常數(shù)ηm，ηM，如果存在適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣P>0，Ti>0，Mi>0(i=1,2)和普通矩陣S，N以及變量εk(k=1,2,3)滿足式(27～28)則閉環(huán)控制系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的。

(27)

(28)

其中：

證明：將定理1中的Ω作如下形式改寫：

(29)

應(yīng)用引理3可知，存在εk(k=1,2,3)使得下列不等式成立：

(30)

3 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)定理1和定理2，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(18)漸近穩(wěn)定。下面給出量化反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。

(29)

(30)

其中：

證畢。

注釋2：從定理3中可以看出線性矩陣不等式(29～30)的可行性解不僅與網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的上下界ηM，ηm有關(guān)，還與兩個(gè)量化器的量化參數(shù)δf，δg有關(guān)，根據(jù)式(11)可知，兩個(gè)量化器的量化密度ρf，ρg的大小直接影響線性矩陣不等式(31～32)的求解。

4 數(shù)值仿真示例

例1：考慮如下線性系統(tǒng)：

同時(shí)選取兩個(gè)量化器為對(duì)數(shù)量化器，并選擇適當(dāng)?shù)牧炕芏?，根?jù)定理3，取常數(shù)α1=9.6，α2=8.0，對(duì)應(yīng)有不同的量化密度ρf和ρg。

在不同的量化密度下，系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 不同量化密度下系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)比較

3種量化密度下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖3所示。

圖3 3種量化密度下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

從圖3可以看出：(1)通過(guò)量化反饋控制器可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；(2)隨著量化器的量化密度增大，量化器對(duì)信號(hào)的采樣和量化越精細(xì)，對(duì)系統(tǒng)的信息了解越多，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間變短，則系統(tǒng)的控制性能變好。

5 結(jié)束語(yǔ)

本研究運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論提出了一種基于時(shí)變時(shí)延依賴的Lyapunov-Krasovskii泛函，并得到了以兩個(gè)線性矩陣不等式(LMIs)表示的穩(wěn)定性判據(jù)；在不考慮外部干擾的情況下，設(shè)計(jì)了量化狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且得到系統(tǒng)的控制性能與量化器的量化密度ρf和ρg密切相關(guān)；最后給出的數(shù)值仿真示例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

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