農(nóng)村學校中考復習課上如何進行網(wǎng)格問題的教學
——《網(wǎng)格問題初探》教學設計

■天津市咸水沽第四中學 劉志華

一、專題教學目標

1.了解網(wǎng)格的基本功能，學會借助網(wǎng)格作垂線、作平行線、等分線段等。2.會利用網(wǎng)格解決較基礎的作圖。

二、教學重難點

網(wǎng)格問題囊括很多方法，密切結合初中數(shù)學知識。在新課標對作圖要求統(tǒng)領下，既考查了學生借助網(wǎng)格綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力，又提高了學生運用數(shù)學語言精準表述的能力。確定本課的教學重點是：學會利用網(wǎng)格作平行線、作垂線、等分線段等基本操作，并在此基礎上進行中考題的思考和探究。教學難點是：知道作圖的道理，讓學生借助網(wǎng)格綜合運用數(shù)學知識解決問題。

三、教學支持條件分析

借助信息技術工具，以幾何畫板為平臺，更形象直觀地體現(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)等動態(tài)過程，繪制網(wǎng)格圖。

四、教學過程設計（建議兩課時）

（一）認識網(wǎng)格

1.網(wǎng)格具備什么？位置特征：平行線、垂線；數(shù)量特征：等長線段；圖形特征：口、日、田，等等（特別強調(diào)：這些特征能賦予圖形一些特殊關系，進而使圖形的幾何性質(zhì)得以特殊化、數(shù)量化）。

2.我們能用網(wǎng)格做什么？(1)做平行（利用平移）；(2)做垂直（利用旋轉(zhuǎn)）；(3)等分線段（利用A字型或X字型）；(4)做等角（利用三角函數(shù)）；(5)做部分長度為無理數(shù)的線段……師生活動：課前預留作業(yè)。教師提前錄制微視頻，把網(wǎng)格的位置特征、數(shù)量特征、圖形特征形象化。

設計意圖：學生快速進入網(wǎng)格情境，為后續(xù)學習做鋪墊，明確網(wǎng)格的工具性特征，增加了神秘感，激發(fā)了學生學習興趣。

（二）基本作圖

1.如圖1：(1)選格點A，B，C，過C點作線段AB的平行線；(2)選格點A，B，過B作線段AB的垂線；(3)選格點A，B，作線段AB的中垂線。

圖1

2.如圖2，（1）將線段AB平分，（2）在線段AB上有一點P，使AP∶BP=3∶4，畫出點P。

圖2

法一：（構造X字型）取格點C，使AC=3，取格點D，使BD=4。連CD交AB于點P。

法二：（構造A字型）取格點C，使AC=7，取格點D，使AD=3，連接BC，過D作DE∥BC，交AB于點P。

法三：如果格不夠，可以縮小比例，不要增加格點，如圖構造X字型，相似比為1.5∶2。

師生活動：學生慢慢熟悉借助網(wǎng)格進行作圖，并理解其中蘊含的數(shù)學道理。

設計意圖：通過以上基本作圖練習，讓學生體會將全等、相似等數(shù)學知識運用到網(wǎng)格中的必要性，求解這類問題的關鍵，還是要抓住圖形變換的要素，找準位置關系。

（三）案例分析

2017年天津市中考第（18）題：

如圖3，在每個邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上。

（Ⅰ）AB的長等于______；

（Ⅱ）在△ABC的內(nèi)部有一點P，滿足SΔPAB∶SΔPBC∶SΔPCA=1∶2∶3

請在以下網(wǎng)格中，用無刻度的尺，畫出點P，并要說明點P的位置是如何找到的（不證明）

師生活動：學生進一步分析、體會。教師引導學生回憶數(shù)學知識(共邊三角形的性質(zhì)、圖形面積割補法等)總結兩種思路：

圖3

思路1：運用共邊三角形的性質(zhì)。

如圖4，假設所求點P已作出，那么它需要同時滿 足 兩 個 條 件：①SΔPAB∶SΔPBC=1∶2，②SΔPBC∶SΔPCA=2∶3，不妨先放棄條件②，如圖5，延長BP交AC于點D，由具有相同底的兩個三角形面積比等于對應高之比，結合相似三角形性質(zhì)可得SΔPAB∶SΔPBC=AD∶CD=1∶2。只要在AC作出點D，使AD:CD=1∶2，則滿足條件①的點P都在BD上；同理，如圖6，在AB上取點E，當BE∶AE=2∶3時，滿足條件②的點P都在CE上。綜上，BD和CE的交點即為所求。

在這里利用平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)把線段按指定的比值分割，如圖7作出點D、E，連接AE和BD，如圖8，交點P即為所求。

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

思路2：等積變形

由SΔPAB∶SΔPBC∶SΔPCA=1∶2∶3，易 知，取AB中點E，如圖9，則SΔEAC∶SΔABC=1∶2。過點E做EF//AC交BC于F，如圖10，易知當點P在EF運動時，有。所以在△ABC內(nèi)部，所求的點P一定在EF上；同理，如圖11、12，分別作出AB和AC三等分點G，H，則所求點P一定在GH上。綜上，如圖13，EF和GH的交點即為所求。

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

思路1結合共邊的兩三角形高的比是兩相似三角形的相似比，先找到符合使S△PAB∶S△PBC=1∶2和S△PBC∶S△PCA=2∶3所在的直線，兩線相交即為所求。學生熟知三角形中線，能將三角形分成面積相等的兩部分，以此延伸三角形面積3等分，甚至n等分的方法。思路2和思路1相似，區(qū)別在于運用同底等高的三角形面積相等的知識，得到三角形面積的二分之一、三分之一，再找到交點。設計意圖：此題有利于提高學生借助網(wǎng)格綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。題目以網(wǎng)格為載體，以學生熟悉的等分面積為問題，增強了解決問題的信心。

（四）學以致用

如圖14，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、B、C均在格點上。

（1）AB=_____。（2）請你借助網(wǎng)格和無刻度的直尺，作出一個以AB為邊的矩形，使矩形的面積等于△ABC的面積，并簡要說明你的作圖方法(不證明)。

圖14

師生活動：教師布置習題，根據(jù)課上的實際情況讓學生選作。設計意圖：鞏固基本作法，引導學生聯(lián)系相關數(shù)學知識，總結解題策略?？梢韵热サ艟W(wǎng)格背景，算出矩形邊長，還原數(shù)學本質(zhì)，研究通法（先算后畫）；也可以利用網(wǎng)格特征，猜測或拼湊，然后再論證（先畫后證）。

（五）課堂小結

1.這節(jié)課學到了哪些網(wǎng)格基本作圖？2.網(wǎng)格問題的解題策略是什么？師生活動：從學習內(nèi)容、基本方法、解題策略幾個方面進行概括總結。設計意圖：借助小結，引導學生復習基本作圖、基本策略。

五、幾點思考

（一）從學生實際出發(fā)，低起點緩步推進

網(wǎng)格作圖問題立意新穎、綜合性強，對于農(nóng)村校的學生普遍感到困難。首先應引導學生從位置、數(shù)量、圖形等方面領會網(wǎng)格自身的特征賦予了圖形的特殊關系，進而使圖形得以特殊化、數(shù)量化。接著以基本作圖為載體，讓學生體會網(wǎng)格可以作為作圖工具替代傳統(tǒng)刻度尺和圓規(guī)，這樣增加了數(shù)學味道，更注重挖掘其蘊含的數(shù)學道理，激發(fā)學生的探究興趣。

（二）從中考真題入手，落實綜合實踐課程內(nèi)容

新課標指出：綜合與實踐的內(nèi)容，設置的目的在于培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識，積累活動經(jīng)驗，提高解決問題的能力。師生一起探究中考題這道綜合實踐類問題，讓學生運用教材原題提煉基本圖形，再解決問題。這樣預測結果，利用基本圖形分析問題，有助于探索解決問題的思路，提升學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學素養(yǎng)。

（三）從總結通法著力，期待能拋磚引玉

筆者精選和例題有聯(lián)系兩道題，鼓勵學生多角度探究，在實踐的過程中注意引導學生明確作圖的道理，把握幾何圖形的特征和性質(zhì)，找到各元素之間的關系，抓住本質(zhì)、總結通法，從而鞏固基礎知識、基本技能，形成網(wǎng)格問題的基本活動經(jīng)驗，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。

（四）從網(wǎng)格功能審視，今后要繼續(xù)完善

考慮本節(jié)內(nèi)容較難，筆者將本課設為兩課時，盡管如此，還是有很多遺憾。比如進行了作平行線、作垂直、等分線段這三個基本作圖的教學，對于其他基本作圖還沒有涉及，在以后的教學工作中，筆者會繼續(xù)完善，繼續(xù)研究，期待網(wǎng)格問題被更多的師生悅納，讓這么富有魅力的小小網(wǎng)格發(fā)揮最大的育人功效！