高中數(shù)學函數(shù)分類討論解題探析

張翰至

摘要：函數(shù)作為高中數(shù)學的重要內容，也是高中數(shù)學的一大難點。高中生普遍反映函數(shù)學習比較困難，因此探討函數(shù)解題策略就顯得至關重要。本文從函數(shù)概念出發(fā)，對分類討論思想在高中數(shù)學函數(shù)解題中的應用進行探討。

關鍵詞：函數(shù)；分類討論；高中數(shù)學

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線，是描述客觀世界變化的重要數(shù)學模型，它所蘊含的思想與方法有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、問題解決能力、數(shù)學聯(lián)結能力。高中生為了掌握函數(shù)這部分的知識，往往通過盲目的題海戰(zhàn)術來提高解題技能。分類討論思想符合高中生接受知識的一般過程，容易被學生接受，因此在數(shù)學學習中具有重要作用。隨著數(shù)學體系的快速發(fā)展，學生在數(shù)學學習過程中應用分類討論思想，不僅可以在解題的過程中快速找到函數(shù)習題的具體類型，還可以提高學生的解題效率。

一、函數(shù)在高中數(shù)學中的地位與作用

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學的一條主線，內容被安排在高中教材必修1中，在數(shù)集的基礎上利用映射的思想闡釋函數(shù)的概念，緊接著是函數(shù)的表示方法、性質等。數(shù)學的學習是一個逐漸加深的過程，必修1中函數(shù)的學習可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，必修2可以培養(yǎng)學生的空間想象能力，必修3可以培養(yǎng)學生的運算能力，從而為必修4三角函數(shù)的學習奠定堅實的基礎。

函數(shù)是高中數(shù)學的關鍵，函數(shù)思想方法貫穿于高中數(shù)學課程的始末。同時，函數(shù)也是高中到大學進一步學習數(shù)學分析、實變函數(shù)、復變函數(shù)、微積分、泛函分析、拓撲學等高等院校開設的數(shù)學課程的基礎，是從不同的角度研究函數(shù)而形成的課程[1]。同時，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，它廣泛地滲透到其他學科中，比如：物理、化學、計算機等，這些學科常用函數(shù)知識作為研究問題和解決問題的工具，比如：可以利用三角函數(shù)測量山高、樹高、調整電網(wǎng)等問題。此外，函數(shù)思想方法也廣泛地滲透到其他學科中，也是進一步學習數(shù)學及其它學科的基礎。

二、數(shù)學中分類討論的常見類型

在進行分類討論中應遵循以下原則：明確分類討論的動因與方法，條理不明，不重不漏，分清主次，不越級討論。若由于參數(shù)的不同取值造成原問題有不同的結論，作答時只能按類分述而不能合并。分類討論的常見類型主要包括以下幾個方面：

1、由數(shù)學概念引起的分類討論。含絕對值的式子，去掉絕對值符號，需分正、負2種情況討論；直線的斜率，當傾斜角為π/2時，斜率不存在；指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，要分01進行分類討論等。

2、由性質、定理、公式的限制引起的分類討論。差別式法的應用中對二次項系數(shù)是否為0要進行分類討論等。

3、由數(shù)學運算引起的分類討論。對數(shù)真數(shù)的要求，商的運算中分母不為0，利用導數(shù)法判斷函數(shù)單調性，三角函數(shù)的定義域，導數(shù)的正、負不確定性或導函數(shù)的零點大小不確定等，需要進行分類討論。

4、由圖形的不確定性引起的分類討論。當二次函數(shù)最值問題的求解中圖像的開口方向、對稱軸與所給區(qū)間的位置關系等時，需要進行分類討論。

5、由參數(shù)的變化引起的分類討論。某些含有參數(shù)的問題，比如含參數(shù)的方程、不等式等，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法時，必須進行分類討論。

三、分類討論解題在高中數(shù)學函數(shù)中的應用

分類討論思想是一種重要的數(shù)學解題思想，在數(shù)學解題過程中應用分類討論思想，不僅可以簡化解題思路，還能培養(yǎng)發(fā)展學生的數(shù)學思維。在高中數(shù)學函數(shù)解題過程中，分類討論思想的應用主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

1、根據(jù)函數(shù)概念進行分類討論。由于高中數(shù)學函數(shù)問題相對來說難度較大，在進行解題時，要將每一道數(shù)學函數(shù)問題進行深度的剖析。而每個函數(shù)都有自身的定義和限制條件，在利用分類討論解題的過程中，我們要善于根據(jù)函數(shù)的定義以及限制條件，對問題進行討論并解決。只有在明確函數(shù)的概念和使用范圍的基礎上才能使得分類討論解題真正地發(fā)揮其作用。比如：假設00且不為1時，比較│loga（1-x）│和│loga（1+x）│的大小。在解決該問題時，首先必須明確指數(shù)和對數(shù)的概念，以及兩者之間的聯(lián)系。在比較大小的過程中，需要學會將指數(shù)化為對數(shù)，通過對數(shù)直觀地進行二者的比較。將二者變?yōu)閷?shù)之后，再對x的范圍進行分類討論，自然能夠得到想要的答案。

2、根據(jù)函數(shù)圖形位置進行分類討論。在高中函數(shù)問題中，有一種類型的函數(shù)問題和函數(shù)圖像對稱軸的位置相關。在解決該類問題時，需要把握住對稱軸這一關鍵信息。通過對稱軸的位置，對圖像的形狀、交點等進行分類討論，從而得出最終的答案。由于這類題型的特征比較明顯，因而可以通過圖像特征看出題目的意圖，從而進行分類討論。比如：在xoy平面內有一條曲線，y2=2x，點Q（b，0）是一個動點，曲線上的點到Q思維最短距離為？（b），求它的函數(shù)解析式。在解決該問題時，我們應該首先畫圖，通過畫圖找出Q點和函數(shù)上的點之間的關系，從而能夠借助對稱軸找出最短路徑[2]。找到最短路徑后，根據(jù)這個函數(shù)是關于x軸對稱，進而對a是否大于1進行討論就能夠得到最終的答案。

3、根據(jù)二次函數(shù)的類型進行分類討論解題。與二次函數(shù)相關的問題主要有兩大類，定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間。兩種類型的函數(shù)解題方法天差地別，一旦將其混淆，就會降低解題效率和正確率。在解題時，首先需要將二者的區(qū)別進行甄別。定軸動區(qū)間的典型特征在于題目會提供一個完整的函數(shù)表達式，但區(qū)間是未知的[3]。在解決該問題時，應該首先判斷對稱軸的位置，在此基礎上依據(jù)對稱軸的位置進行區(qū)間范圍的劃分，從而分類解出答案。對于動軸定區(qū)間，該類題型的典型特性在于給出的函數(shù)關系式是不確定的，但區(qū)間確定從而進行系數(shù)的求解。在解決動軸動軸定區(qū)間這類二次函數(shù)時，我們需要分類討論函數(shù)關系式的多種情況，結合區(qū)間進行求解。

四、結語

總之，高中數(shù)學中的函數(shù)問題是一個極為復雜的問題。分類討論思想適用范圍廣，可以強化學生的理解能力，提高其解題效率。

參考文獻

[1] 劉見樂，羅敏娜.用函數(shù)思想指導高中數(shù)學解題[J].中國數(shù)學教育，2011，（10）：45-46.

[2] 蔡友君.高中數(shù)學函數(shù)分類討論思想解題探析[J].高考（綜合版），2015，（06）：124-125.

[3] 史曉偉.高中數(shù)學函數(shù)分類討論解題探析[J].數(shù)理化學習，2016，（02）：3-4.