樹立問題意識 掌握研究方法

蔡明艷

【摘 要】信息技術應用于初中幾何課堂教學，與課堂教學有機地融合，使數(shù)學課堂充滿激情和樂趣；簡化復雜抽象的知識，讓數(shù)學課堂成為學生樂學的樂園。本文簡述幾何畫板在初中幾何教學中的應用、對幾何課堂教學帶來的變化，目的在于更好地實現(xiàn)課堂教學現(xiàn)代化。數(shù)學知識本身非常重要，但數(shù)學知識所承載的思維方法更重要，讓學生從內心喜歡思考、學會思考，讓學生的思維具有邏輯性。通過信息技術使我們教師更好的引導學生通過知識的學習，去感受、體驗知識所承載的本質的東西，體會教與學活動過程中的思維。

【關鍵詞】動態(tài)研究幾何；信息技術教學；數(shù)學教學的本質；幾何畫板輔助教學

【中圖分類號】G434 【文獻標識碼】A

【論文編號】1671-7384（2018）01-0060-04

信息技術與初中數(shù)學教學的融合，就是利用現(xiàn)代信息技術的優(yōu)勢特點，作為教師的教學輔助工具、情感激勵工具和學生的認知工具，對圖形、數(shù)字、動畫乃至聲音、背景等教學需要進行綜合處理，使得學生易于理解和掌握，更好地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力。數(shù)學知識本身非常重要，但數(shù)學知識所承載的思維方法更重要，我們應該讓學生從內心喜歡思考、學會思考。首先我們教師對課程的思維特點、整體的知識脈絡及結構要有自己的思考和理解，然后在課堂上教給學生一種思考、研究數(shù)學問題的方法。

幾何畫板輔助教學進入初中數(shù)學幾何課堂，可使抽象的概念具體化、形象化。尤其是能進行動態(tài)的演示，彌補了傳統(tǒng)教學方式在直觀感、立體感和動態(tài)感等方面的不足。利用這個特點可處理其他教學手段難以處理的問題，并能引起學生的興趣，增強他們的直觀印象。幾何畫板為教師化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率和教學效果提供了一種現(xiàn)代化的教學手段。

幾何習題課、復習課是我們教師經(jīng)常會遇到的課型。我們怎樣避免操作層面的習題課，而通過習題教學引導學生理解數(shù)學知識的本質，形成思維能力呢？通過數(shù)學學習不僅得到一些基本數(shù)學知識和方法，更主要的是培養(yǎng)一種思維方式，一種能運用已有的知識解決新問題的能力。培養(yǎng)具有這樣思維習慣的人，這才是數(shù)學學習的本質。

筆者以一道中考幾何題為切入點，借助幾何畫板通過對正方形為背景的幾何圖形的分析，把握其圖形關系，利用多種方法實現(xiàn)對相等線段及其位置關系的證明。培養(yǎng)學生多角度思考問題的思維習慣。通過將點P在邊BC所在直線上移動，讓學生進行猜想、論證，從運動的角度再次理解問題的本質，進而由正方形轉化為菱形，探究結論成立的條件。在圖形變化的過程中，通過類比方式，進一步理解問題形成的原因，體會合情推理與演繹推理在幾何問題研究過程中的重要意義。

問題1：如圖1，在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在邊BC上（與點C，B不重合），連接AP，平移△ABP，使點B移動到點C，得到△DCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH、PH。 探究：AH與PH的數(shù)量關系與位置關系并加以證明。

展示多種方法，培養(yǎng)發(fā)散思維能力

這個題目有很多種證明方法，為了引導學生多角度的認識圖形以及圖形關系，本節(jié)課借助幾何畫板輔助教學。一方面可以對全等的三角形進行填充，更好地尋找條件；另一方面利用幾何畫板的動畫演示進行翻折或旋轉等圖形變化，讓圖形動起來，體驗圖形所蘊含的內在的關系。

題目條件中有這樣一個條件：“在正方形ABCD中，BD是一條對角線”，同時隱含了BD是一條角平分線的條件，那么我們可以借助角平分線進行軸對稱變換構造全等三角形。我們可以考慮構造與△BPH全等的三角形如圖2，利用正方形的軸對稱性，將△BHQ沿BD翻折，得到△BHE，我們只需證明△AHE≌△PHB即可；又由于EH⊥BH，很容易證明AH⊥PH。

要證明AH=PH，且AH⊥PH，由于我們不好直接證明△AHP是等腰直角三角形，因此，我們可以考慮將AH或PH作為等腰直角三角形斜邊上的中線來證明。此種想法可以有以下兩種方案來實現(xiàn)，如圖3，過點Q作BQ的垂線交AH的延長線于M，連接PM。也可以從結論出發(fā)，借助等腰直角三角形的相關知識進行分析，利用幾何畫板作線段的延長線（動態(tài)演示延長線的形成過程），以及過定點作已知直線的垂線的功能，構造所需要的全等三角形，如圖4。在證明垂直的時候，還可以借助四點共圓的知識，利用幾何畫板作圓的顯示隱藏按鈕，如圖5，從而使問題和圖形關系更簡潔明了。

以上的引導借助幾何畫板動態(tài)的演示，進行翻折、旋轉等功能，引導學生更好的分析和理解圖形關系，認識圖形的生成過程，幫助學生更好的認識圖形。

剛才通過構造不同的全等三角形，培養(yǎng)學生的抽象思維能力。構造全等三角形需要對圖形認真分析，充分挖掘圖形信息，才能構造可能的全等三角形，由于原圖中缺失某些全等三角形的元素，需要進行圖形還原，而借助幾何畫板能夠動態(tài)演示還原的過程，在此過程中培養(yǎng)學生的空間觀念，進行抽象思維能力的培養(yǎng)。通過對圖形關系的分析，引導學生多角度的對題目完成證明，從而進一步的認識了圖形關系。

解決動點問題，進行深入探究

利用幾何畫板中的動畫功能可以生動、連續(xù)地表現(xiàn)運動效果，形象地描畫出運動對象的運動軌跡。而且軌跡的生成是動態(tài)的、逐步的，充分表現(xiàn)出軌跡產(chǎn)生的全過程，學生在觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動中，形成自己對數(shù)學知識的理解，這就為學生積極主動建構知識體系提供了學習的平臺。另外，學生研究幾何圖形時經(jīng)常采用從特殊圖形推廣到一般圖形的方法。在幾何畫板中，只要做一些按鈕和動畫，比如，我們把點P拖動退回到點B，在這種特殊位置關系下更利于發(fā)現(xiàn)結論，也可以將點P拖動到BC的延長線上，或者將點P拖動到CB的延長線，不斷進行圖形變式，滲透由特殊到一般的研究方法。借助幾何畫板的動態(tài)演示，可以提高課堂實效性，同時更直觀的看到圖形所蘊含的本質特征。

隨時改變題設條件，進行變式教學endprint

利用幾何畫板進行習題課教學時，要盡量做到可以隨時改變題設的條件，進行變式教學，提供多種情形多種解法，以滿足學生對知識的渴求和需要。比較而言，用PPT、Flash制作的課件就很難做到這一點，而幾何畫板就可以輕松搞定。

當學生對點P在正方形的邊BC上（與點C、B不重合），有了深入的理解后，我們可以再引導學生對問題進行拓展思考：如果點P在直線BC上呢？當正方形變?yōu)榱庑?、矩形、平行四邊形呢？又會有怎樣的結論呢？所以制作了正方形、菱形可以切換的按鈕，進行動態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)圖形關系。

問題2： 將正方形換為菱形時，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH，AH=PH這個結論仍然成立嗎？請畫圖說明。

當正方形變?yōu)榱庑稳匀粷M足題目條件時，同學們會發(fā)現(xiàn)AH=PH這個結論不成立了。

緊接著給學生提出思考：要使結論成立，那么∠QHB應該需要滿足什么條件呢？

這個問題對于學生來說有一定難度，但是借助幾何畫板動態(tài)演示，在運動的過程中引導學生發(fā)現(xiàn)結論成立的條件，學生對問題的認識更直觀清晰。教師在教學時若能利用幾何畫板隨時變換圖形的運動狀態(tài)，創(chuàng)造有利于學生的猜想、驗證、證明的環(huán)境，必能激發(fā)學生強烈的求知欲望，從而提高課堂效率。

動態(tài)分解圖形，展示問題本質

當學生對上述問題進行了探究后，為了引導學生發(fā)現(xiàn)問題的本質，給出了問題3，從而在這個探究過程中不斷激發(fā)學生思考，樹立問題意識。這個環(huán)節(jié)是借助幾何畫板將原圖形進行分解，把蘊含的基本圖形單獨展示出來。通過這個動態(tài)展示，學生發(fā)現(xiàn)圖形的組合和生成過程，進一步認識圖形關系。

問題3：揭示本質——是不是所有具有軸對稱的圖形都具有類似的情況呢？

學生通過探究發(fā)現(xiàn)，問題的本質是兩個軸對稱圖形的組合問題，觀察到使問題成立的點P就是這兩個軸對稱圖形的交點，如圖6所示。

本節(jié)課通過度量、猜測，發(fā)現(xiàn)AH與PH之間的數(shù)量關系及位置關系，培養(yǎng)學生的合情推理；并借助幾何畫板輔助教學，進而將點P在邊BC的延長線上運動、若將正方形變?yōu)榱庑巍⒕匦?、平行四邊形，探究還有無類似的結論？若存在，條件還需做哪些改變？以及到最后引導學生思考是不是所有具有軸對稱的圖形都具有類似的情況呢？進行這樣的推廣、類比等一系列思維培養(yǎng)，始終滲透著從特殊到一般的研究方法。

利用幾何畫板在剖析問題的實質時，可以使學生清楚了解要解決問題的關鍵所在。與傳統(tǒng)教學相比較，它能形象直觀地反映問題，更進一步地引導學生進行數(shù)學的實驗和探究，把學習的主動權真正交給了學生，充分調動了學生的學習興趣，樹立了學生的問題意識，實現(xiàn)了學生真正意義的建構。

將現(xiàn)代信息技術運用于初中數(shù)學教學是信息化時代的必然趨勢，是推動教學改革、提高教學效益的重要手段。因此我們重視現(xiàn)代信息技術的運用，將新課改所提出的先進教學理念運用于教學實踐中，將理論研究與實踐探討結合起來。這樣才能改變以往低效的課堂教學，推動數(shù)學教學的現(xiàn)代化進程，實現(xiàn)有效教學。

作為教師，我們教什么？若干年后，知識會被學生遺忘了，留給孩子們的應該是一種思考問題的方法，一種研究問題的方法，一種認識客觀事物的觀點。我們上課之前，是不是應該問問自己：我為什么要講這節(jié)課？通過這節(jié)課我要教給學生什么知識？我要教給學生什么思維方法呢？作為教師，我們應該思考通過這節(jié)課的知識教學，怎樣培養(yǎng)學生的思維能力。而幾何畫板輔助教學使原來的幾何教學從靜態(tài)發(fā)展為動態(tài)，給學生清晰的呈現(xiàn)了圖形的生成過程，問題的來龍去脈，教會學生如何思考問題，分析問題，樹立了學生的問題意識。

信息技術應用于初中幾何課堂教學，與課堂教學有機地融合，使數(shù)學課堂充滿激情和樂趣；簡化復雜抽象的知識，讓數(shù)學課堂成為學生樂學的樂園。信息技術在初中幾何教學中的應用，給幾何課堂教學帶來了變化，更好地實現(xiàn)了課堂教學現(xiàn)代化。

作者單位：中國農(nóng)業(yè)大學附屬中學endprint