縱彎模態(tài)復(fù)合型直線超聲電機定子質(zhì)心振動研究

付前衛(wèi)， 姚志遠

(南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016)

直線超聲電機是利用壓電單元的逆壓電效應(yīng)激發(fā)彈性體的超聲振動，通過定子和動子間的摩擦作用，把定子驅(qū)動足的微幅振動轉(zhuǎn)化為動子的直線運動[1-4]。由于其具有直接產(chǎn)生直線運動和輸出力、定位精度高、結(jié)構(gòu)設(shè)計靈活、成本低等優(yōu)點[5-7]，近年來直線超聲電機發(fā)展十分迅速，在醫(yī)療器械[8]、機器人[9]等領(lǐng)域作為驅(qū)動器發(fā)揮重要作用。通過建立超聲電機數(shù)學(xué)模型，分析電機微幅振動以及動力學(xué)特性來優(yōu)化電機結(jié)構(gòu)，提高超聲電機的機械輸出特性是研究的重點，而速度穩(wěn)定性等機械特征與定子的質(zhì)心振動有關(guān)，本文重點對此進行理論建模分析和實驗驗證。

超聲電機的輸出特性與電機定子的振動模態(tài)、接觸界面的摩擦特性、預(yù)壓力大小等有關(guān)，很難建立一個普適的模型。因此通常引入特定假設(shè)，建立一個針對研究對象的適用模型[10]。其中建模的難點之一在于驅(qū)動足和摩擦界面之間的接觸模型的建立。文獻[11]沒有考慮定、轉(zhuǎn)子接觸界面徑向摩擦和黏滯現(xiàn)象，使得模型無法對大力矩超聲電機進行合理分析。文獻[12]較為完整地分析了陶瓷片逆壓電效應(yīng)激振以及定、轉(zhuǎn)子摩擦傳動過程，但模型過于復(fù)雜，缺乏實用性。陳超等[13]通過闡釋行波型旋轉(zhuǎn)電機三維接觸驅(qū)動機理，建立整機動力學(xué)模型，證明了定、轉(zhuǎn)子在界面徑向滑移所導(dǎo)致的能量損耗對電機輸出性能的影響。王金鵬等[14]通過行波型旋轉(zhuǎn)電機結(jié)構(gòu)改進，改善了電機接觸界面周向壓力不均現(xiàn)象，降低了空載速度波動率。羅辭勇等[15]利用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)對行波型旋轉(zhuǎn)電機驅(qū)動區(qū)間和制動區(qū)間進行了分析并討論了其對電機輸出速度、轉(zhuǎn)矩等的影響?，F(xiàn)有文獻主要關(guān)注旋轉(zhuǎn)電機接觸問題，缺乏對于直線超聲電機相關(guān)模型研究的報道。許海等[16]假設(shè)直線超聲電機定、動子接觸為彈性體接觸，并將接觸層等效為線性彈簧層，分析了摩擦等對電機輸出特性的影響。而目前研究表明，定子驅(qū)動足振幅和接觸層變形量并不相等，接觸層起非線性彈簧作用[17]。以非線性彈簧接觸模型為基礎(chǔ)，對直線超聲電機進行動力學(xué)建模、輸出穩(wěn)定性的研究相對較少。文獻[18]進一步研究了驅(qū)動足質(zhì)點的橢圓運動對電機動子運動的影響規(guī)律以及定子質(zhì)心振動對驅(qū)動足橢圓軌跡的影響，解釋了電機的輸出特性與預(yù)壓力、摩擦材料剛度等之間的關(guān)系。但是文章較多的分析的是定子質(zhì)心振動對電機輸出特性的影響，而缺少質(zhì)心振動規(guī)律的深入研究，且在對定子質(zhì)心振動分析時，仍將摩擦材料層等效為線性彈簧層，這與實際接觸情況稍有差別。Li等[19]對直線超聲電機定、動子碰撞振動模型進行黏滯運動分析時，也對定子質(zhì)心運動進行相應(yīng)討論，但缺乏實驗驗證。

本文以典型的縱彎模態(tài)復(fù)合直線超聲電機為研究對象[20-21]，假設(shè)定、動子間的定子表面存在彈性層，該彈性層簡化為剛度較大的非線性彈簧層。將縱、彎模態(tài)解耦，以一階縱振為例，建立定子法向運動的動力學(xué)模型，根據(jù)定子質(zhì)心振動方程解出質(zhì)心振動穩(wěn)態(tài)解，通過仿真分析得出不同預(yù)壓力彈簧剛度、不同預(yù)壓力等對質(zhì)心振動響應(yīng)的影響以及質(zhì)心振動對電機性能的影響。最后通過實驗驗證了本文模型的有效性。

1 定、動子接觸模型

本文主要分析定、動子間的接觸，研究定子質(zhì)心振動的規(guī)律，因此，建立電機在接觸面法向的動力學(xué)模型。圖1所示的是縱彎復(fù)合模態(tài)型直線超聲電機的定子，在一階縱振模態(tài)下的驅(qū)動足法向運動結(jié)構(gòu)原理圖。該結(jié)構(gòu)為夾心式超聲電機，其中壓電陶瓷片安裝在定子中心，夾持位于振動的節(jié)點上。

對于旋轉(zhuǎn)超聲電機而言，由于摩擦材料材質(zhì)較軟，相關(guān)研究的普遍做法是將摩擦材料等效成分布式線彈簧。但直線電機常用的摩擦材料的剛度和硬度都比金屬材質(zhì)的驅(qū)動足大，其粗糙度比驅(qū)動足小很多，實際接觸時動足的變形量比摩擦界面的變形量大，且驅(qū)動足的變形主要來自于其表面的變形。因此對于直線超聲電機，等效線性彈簧的接觸模型不成立，本文將摩擦材料的摩擦界面看成是一個光滑的剛性面，將驅(qū)動足與它的接觸等效成一個帶有彈性層(用分布的非線性彈簧表示)的剛性柱體與一個剛性平面的接觸模型，如圖2所示。

圖1 電機定、動子法向接觸物理模型Fig.1 Stator and rotor normal contact physical model

圖2 電機定、動子等效接觸模型Fig.2 Equivalent contact model of motor stator and rotor

圖2(a)表示的是驅(qū)動足未受力時的情形，圖2(b)表示的是驅(qū)動足在下端受到一個分布力f的作用，彈性層在x方向上產(chǎn)生的變形量記為x，它們之間的關(guān)系由一個三次多項式函數(shù)[22]表示

f(x)=a3x3+a2x2+a1x

(1)

式中：a1=42.3;a2=-0.123;a3=44.2。

2 定子動力學(xué)建模

本文進一步將接觸模型中的彈性層部分簡化為一個非線性彈簧，如圖3所示為整個定子的法向振動過程。

圖3 定子法向運動模型Fig.3 Normal motion model of stator

圖3(a)表示未施加預(yù)壓力和電場時的定子的情況，圖3(b)表示通過給預(yù)壓彈簧一個壓縮量為定子施加一個預(yù)壓力，此時驅(qū)動足的位移為δs，整個定子受力平衡。圖3(c)表示在圖3(b)的基礎(chǔ)上再給定子施加一個激勵電場，激發(fā)出定子的縱振模態(tài)(定子的變形量為Δl)。由于定子頂端的等效非線性彈簧的剛度要比預(yù)壓彈簧的剛度大得多，致使定子在伸縮的過程中，定子的質(zhì)心也產(chǎn)生振動，即定子的法向運動由定子縱振運動和質(zhì)心的運動疊加而成。則點P(驅(qū)動足表面以下部分的質(zhì)心)的位移可由定子在l處的縱振位移和質(zhì)心的位移疊加而成

u(t)=u1(l,t)+uc(t)

(2)

式中：u1(l,t)為定子在處的一階縱振的位移，參考系為定子本身，坐標原點為O′， 時間t=0時，驅(qū)動足質(zhì)點P的一階縱振位移ul(l,0)定義為點P的位置0點；uc(t)為質(zhì)心C的位移，參考系為地面，時間t=0時，為位移0點，質(zhì)心位于坐標原點O處；u(t)為點P的位移。摩擦界面受到的法向壓力可由以下分段函數(shù)表示

(3)

式中， 當u(t)+δs>0時，驅(qū)動足與摩擦界面接觸，而當u(t)+δs≤0時，驅(qū)動足與摩擦界面脫離，顯然，此時摩擦界面所受的法向壓力變?yōu)?。

為了研究定子質(zhì)心的振動，將其簡化為一個單自由度系統(tǒng)，振動過程分析如圖4表示。

圖4(a)表示未施加預(yù)壓力和電場時的定子的情況，圖4(b)表示通過給預(yù)壓彈簧一個壓縮量δc為定子施加一個預(yù)壓力fp(即kδc=fp)，此時，質(zhì)量塊受力平衡。圖4(c)表示給定子施加一個電場后，質(zhì)量塊上端受到來自于摩擦界面產(chǎn)生的時變法向壓力，造成質(zhì)量塊受力不平衡，從而使質(zhì)量塊產(chǎn)生運動，記質(zhì)量塊的位移為uc(t)。

圖4 定子質(zhì)心振動簡化模型Fig.4 Vibration model of center of stator mass

下面分別建立定子一階縱振模態(tài)和定子質(zhì)心振動的動力學(xué)方程。首先，由圖3可知定子的一階縱振運動可以等效成一個兩端自由桿在x=l處受到集中力FN(t)作用后的受迫振動，利用能量原理和杜哈梅積分(將集中力化成分布力)可得到定子一階縱振模態(tài)的動力學(xué)方程

(4)

式中，M1,K1,C1,F1(T),φ1(l)分別為定子在兩端自由狀態(tài)下的一階縱振的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼、模態(tài)力和x=l處的振型。由圖4不難得到定子質(zhì)心振動的動力學(xué)方程

(5)

圖5 不考慮質(zhì)心振動的點P位移Fig.5 Displacement of P without considering the center of mass vibration

圖6 考慮質(zhì)心振動的點P位移Fig.6 Displacement of P considering the center of mass vibration

圖7 摩擦界面所受的法向壓力Fig.7 Normal pressure of friction interface

圖8 法向壓力的頻域分析(FFT)Fig.8 FFT analysis of normal pressure

圖5和6所示的分別是不考慮質(zhì)心振動時質(zhì)點P的位移響應(yīng)和考慮質(zhì)心振動時的位移響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)情況下兩種位移振幅基本相當，但穩(wěn)態(tài)時的平衡位置卻有較大差異，不考慮質(zhì)心振動時，點P的穩(wěn)態(tài)的平衡位置位于坐標的原點處，當考慮質(zhì)心振動時其平衡位置就偏離了坐標原點。這說明質(zhì)心振動的穩(wěn)態(tài)振幅相對于定子一階縱振模態(tài)的穩(wěn)態(tài)振幅小。造成其平衡位置就偏離了坐標原點則假設(shè)質(zhì)心振動可能存在一個靜位移。圖7所示為點P穩(wěn)態(tài)振動下，摩擦界面受到的法向壓力，從圖中可知法向壓力基本上是一個隨時間變化周期函數(shù)。圖8所示的是利用FFT對穩(wěn)態(tài)振動下法向壓力信號進行頻域分析。由圖8可知這個信號中主要包含兩個頻率成分，一個是超聲頻率(大約28 kHz)，這個頻率主要和定子的一階縱振模態(tài)有關(guān)，而另一個相對低一些的頻率成分(大約16 kHz)和質(zhì)心的振動有關(guān)。

3 定子質(zhì)心振動穩(wěn)態(tài)解

由于FN(t)可以近似看成是周期函數(shù)， 令FN(t+T0)=FN(t)， 將FN(t)展開成Fourier級數(shù)

(6)

將式(6)代入式(5)得

(7)

則不難得到質(zhì)心的穩(wěn)態(tài)解

(8)

其中，

(9)

(10)

圖9 不同預(yù)壓彈簧剛度下質(zhì)心的位移響應(yīng)Fig.9 Displacement response of the center of mass under different spring stiffness

圖10所示的是不同預(yù)壓力下定子質(zhì)心的位移響應(yīng)，圖11是對應(yīng)的質(zhì)點P的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從這兩幅圖中可以看出當預(yù)壓力比較小時，定子質(zhì)心穩(wěn)態(tài)振動的平衡位置向下偏離其坐標原點的距離比較大，從而造成質(zhì)點P的穩(wěn)態(tài)振動的平衡位置向下偏離其坐標原點的距離比較大，因此會造成驅(qū)動足與滑塊的脫離時間比較長，不利于電機的動力輸出。而增大預(yù)壓力后，會使質(zhì)心穩(wěn)態(tài)振動的平衡位置向下偏離其坐標原點的距離變小。圖12所示的是不同預(yù)壓力摩擦界面所受的法向壓力的情況，從圖中可以看出，當預(yù)壓力比較小時(fp=10 N)，驅(qū)動足在一個周期內(nèi)的很大一部分時間內(nèi)都是與滑塊脫離的，可能會造成驅(qū)動足的有效驅(qū)動力較小。而當預(yù)壓力比較大時(fp=40 N)，驅(qū)動足在一個周期內(nèi)的很大一部分時間內(nèi)都與滑塊接觸，造成驅(qū)動足對動子(滑塊)的制動作用時間增長，不利于電機的動力輸出，而且當預(yù)壓力繼續(xù)增大時(fp=60 N)，驅(qū)動足將不與滑塊脫離，這會大大降低電機的動力輸出，甚至造成不能驅(qū)動的情況。

圖10 不同預(yù)壓力下質(zhì)心的位移響應(yīng)Fig.10 Displacement response of center of mass under different pre-pressure

圖11 不同預(yù)壓力下質(zhì)點P的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.11 Displacement response of P under different pre-pressure

圖12 不同預(yù)壓力下摩擦界面所受的法向壓力Fig.12 Normal pressure of friction interface under different pre-pressure

4 實驗驗證

為驗證模型的有效性，利用KEYENCE LK-H150型號高速激光位移傳感器對樣機進行振動測試，采樣頻率為100 kHz。如圖13所示為實驗裝置。定子質(zhì)心是一個物理概念，無法測量，因此實驗將傳感器激光點照射在定子中部的夾持中點(和定子質(zhì)心在同一鉛垂面)，該點的位移響應(yīng)能夠反映出質(zhì)心振動情況，如圖14所示。

圖13 位移響應(yīng)測試Fig.13 Displacement response test

圖14 定子質(zhì)心位移響應(yīng)測試示意圖Fig.14 Displacement testing schematic of center of stator mass

選用剛度分別為63 750 N/m和9 750 N/m的SWOSC-V材質(zhì)矩形截面模具彈簧來施加預(yù)壓力，在預(yù)壓力大小為30 N時，測試點穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖15所示。由圖可知，兩種情況下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的平衡位置偏離坐標原點；兩條曲線采樣點的位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)平均值的差值僅為0.25 μm，預(yù)壓力彈簧剛度對于靜位移B0影響不大。與理論分析結(jié)果以及圖9所示位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線走勢較為吻合。

圖15 不同彈簧剛度下質(zhì)點穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.15 Center of mass displacement response under different spring stiffness

選用剛度為9 750 N/m的同種彈簧，根據(jù)形變量調(diào)節(jié)預(yù)壓力大小分別為10 N，40 N，60 N進行實驗。測試點穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖16所示。表1為不同預(yù)壓力下位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)平均值對比，其中理論值選取圖10曲線0.005～0.01 s穩(wěn)態(tài)響應(yīng)區(qū)間對應(yīng)的平均值。

圖16 不同預(yù)壓力下質(zhì)點穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.16 Center of mass displacement response under different pre-pressure

表1 位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)平均值

由表1可知，理論值與實驗值均表明不同預(yù)壓力對于質(zhì)心位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)具有明顯影響。其中，在預(yù)壓力較小的情況下，測試點穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離坐標原點較大，將對電機的輸出特性具有不利影響，與仿真結(jié)果吻合。

5 結(jié) 論

本文根據(jù)建立的定、動子剛性平面接觸模型和定子法向運動的動力學(xué)模型，得出定子質(zhì)心振動的動力學(xué)方程穩(wěn)態(tài)解，發(fā)現(xiàn)質(zhì)心穩(wěn)態(tài)位移中的靜位移使得質(zhì)心的穩(wěn)態(tài)平衡位置偏離其坐標原點，并分析了其對驅(qū)動足的法向運動的影響。模型表明預(yù)壓彈簧的剛度對定子質(zhì)心穩(wěn)態(tài)平衡位置的偏離影響不大，而預(yù)壓力對質(zhì)心振動和驅(qū)動足法向運動具有明顯影響，進而影響電機的輸出特性。預(yù)壓力太小，造成定子質(zhì)心穩(wěn)態(tài)平衡位置偏離原點過大，驅(qū)動足對滑塊的有效驅(qū)動時間太短；預(yù)壓力過大時，會造成驅(qū)動足與滑塊始終接觸不脫離。文章通過測試不同預(yù)壓力彈簧剛度和不同預(yù)壓力對定子質(zhì)心的偏移驗證了動力學(xué)模型是有效的，該研究可以為直線超聲電機的動力學(xué)建模和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供依據(jù)。

[ 1 ] 趙淳生. 超聲電機技術(shù)與應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社,2007： 313-317.

[ 2 ] 張健滔, 李朝東, 何曉菁. 臥板式直線超聲電機的特性分析模型[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2012(18):137-144.

ZHANG Jiantao, LI Chaodong, HE Xiaojing. Modeling for characteristic analysis of a plate-type linear ultrasonic motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2012(18): 137-144.

[ 3 ] 丁慶軍, 姚志遠, 鄭偉,等. 行波型超聲電機定子摩擦材料的研制及其摩擦磨損性能研究[J]. 摩擦學(xué)學(xué)報, 2007, 27(6): 578-582.

DING Qingjun, YAO Zhiyuan, ZHENG Wei, et al. Experimental study of friction material adhere to the stator of the traveling wave type rotary ultrasonic motor[J]. Tribology, 2007, 27(6): 578-582.

[ 4 ] 曲焱炎, 曲建俊, 襲建軍. 駐波超聲電機摩擦材料ABAQUS特性仿真計算與研究[J]. 電機與控制學(xué)報, 2014, 18(12): 95-101.

QU Yanyan, QU Jianjun, XI Jianjun. ABAQUS simulation and research of frictional material for standing wave ultrasonic motor[J]. Electric Machines and Control, 2014, 18(12): 95-101.

[ 5 ] 賀紅林, 何文叢, 劉文光. U型變截面薄板面內(nèi)復(fù)合模態(tài)驅(qū)動的直線超聲電機[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(18): 65-71.

HE Honglin, HE Wencong, LIU Wenguang. A linear ultrasonic motor driven by an U-shaped stator’s in-plane hybrid vibration modes[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(18): 65-71.

[ 6 ] 王金鵬,周宏平,時運來. 直線超聲電機驅(qū)動的精密運動平臺的位移分辨率[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(22): 178-182.

WANG Jinpeng, ZHOU Hongping, SHI Yunlai. Displacement resolution of precision stage driven by linear ultrasonic motors[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(22): 178-182.

[ 7 ] 李向華, 陳超, 趙淳生. 非接觸式直線型超聲電機的振動分析[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(7):149-152.

LI Xianghua, CHEN Chao, ZHAO Chunsheng. Vibration studies of non-contact linear ultrasonic motor[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(7): 149-152.

[ 8 ] MASHIMO T, TOYAMA S. Micro rotary-linear ultrasonic motor for endovascular diagnosis and surgery[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation. Pasadena: IEEE, 2008: 3600-3605.

[ 9 ] 王赟, 姚志遠, 耿冉冉. 直線超聲電機驅(qū)動的并聯(lián)微操作手的結(jié)構(gòu)設(shè)計[J]. 機器人, 2015, 37(5):573-580.

WANG Yun, YAO Zhiyuan, GENG Ranran. Structure design of a parallel micromanipulator driven by ultrasonic motors[J]. Robot, 2015, 37(5): 573-580.

[10] 顏佳佳, 阮新波. 旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機的等效電路模型[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2009, 29(15): 80-87.

YAN Jiajia, RUAN Xinbo. Electrical equivalent circuit model of traveling wave type rotary ultrasonic motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2009, 29(15): 80-87.

[11] MOAL P L, MINOTTI P. A 2D analytical approach of the stator-rotor contact problem including rotor bending effects for high torque piezomotor design[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 1997, 16(6): 1067-1103.

[12] 陳超. 旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機理論模型的研究[D]. 南京：南京航空航天大學(xué), 2005.

[13] 陳超, 趙淳生. 旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機中三維接觸機理的研究[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2006, 26(21): 149-155.

CHEN Chao, ZHAO Chunsheng. Study on the three dimensional contact mechanism of traveling wave type rotary ultrasonic motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2006, 26(21): 149-155.

[14] 王金鵬, 金家楣, 趙淳生. 行波型旋轉(zhuǎn)超聲電機速度穩(wěn)定性研究[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2011, 31(30): 109-116.

WANG Jinpeng, JIN Jiamei, ZHAO Chunsheng. Velocity stability research of traveling wave type rotary ultrasonic motor[J]. Proceedings of the CSEE, 2011, 31(30): 109-116.

[15] 羅辭勇, 張帆, 杜勁超. 行波型超聲電機的穩(wěn)定性分析[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報, 2014, 37(2): 46-53.

LUO Ciyong, ZHANG Fan, DU Jinchao. Stability study of the traveling wave ultrasonic motor[J]. Journal of Chongqing University, 2014, 37(2): 46-53.

[16] 許海, 趙淳生. 直線型駐波超聲電機的定、動子間接觸及摩擦分析[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報, 2005, 37(2): 144-149.

XU Hai, ZHAO Chunsheng. Contact process and friction analysis of linear ultrasonic motor[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2005, 37(2): 144-149.

[17] 周勝利, 姚志遠. 直線超聲電機定/動子接觸的微觀力學(xué)模型[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(20): 90-93.

ZHOU Shengli, YAO Zhiyuan. Micromechanic model for contact between a linear ultrasonic motor’s stator and mover[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(20): 90-93.

[18] 萬志堅, 胡泓. 面內(nèi)彎縱型直線超聲電機的驅(qū)動與摩擦分析[J]. 振動、測試與診斷, 2014, 34(2): 229-236.

WAN Zhijian, HU Hong. Analysis on friction driving of linear ultrasonic motor with in-plane bending and longitudinal mode[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis, 2014, 34(2): 229-236.

[19] LI X, YAO Z, WU R. Modeling and sticking motion analysis of a vibro-impact system in linear ultrasonic motors[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2015, 100: 23-31.

[20] TSAI M S, LEE C H, HWANG S H. Dynamic modeling and analysis of a bimodal ultrasonic motor [J]. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics & Frequency Control, 2003, 50(3): 245-256.

[21] WAN Z, HU H. Modeling and experimental analysis of the linear ultrasonic motor with in-plane bending and longitudinal mode[J]. Ultrasonics, 2013, 54(3): 921-928.

[22] ZHOU S, YAO Z. Design and optimization of a modal-independent linear ultrasonic motor[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics and Frequency Control, 2014, 61(3): 535-546.