兩機反向旋轉(zhuǎn)的振動同步系統(tǒng)在遠共振和亞共振狀態(tài)下的運動選擇特性

李凌軒, 陳曉哲,2

(1. 東北大學(xué) 秦皇島分校 控制工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2. 東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819)

Huygnens于1665年最早發(fā)現(xiàn)時鐘的自同步現(xiàn)象，從19世紀(jì)90年代起，Moler，Appletont，VanderPol等科學(xué)家陸續(xù)在非線性電路中發(fā)現(xiàn)了同步現(xiàn)象[1]。上世紀(jì)60年代， Blekhman[2]，利用Poincare-Laypunov小參數(shù)法提出了雙激振器自同步振動機的同步理論，開啟了振動同步理論在機械設(shè)備中的理論研究和實際應(yīng)用研究。80年代Inoue等[3]研究了雙電機驅(qū)動的平面自同步振動機的3倍頻同步理論。同時期，Wen等采用Hamilton原理推導(dǎo)出了兩激振器自同步振動機械的同步性條件和穩(wěn)定性條件開啟了國內(nèi)的研究步伐，其核心是采用積分平均的思想，將復(fù)雜的系統(tǒng)運動微分方程轉(zhuǎn)化為兩個偏心轉(zhuǎn)子間相位差的微分方程。同時，他還提出在某些非線性系統(tǒng)中可以實現(xiàn)各次諧波的倍頻同步，即2倍頻、3倍頻和n倍頻同步。自此，目前比較廣泛使用的三大類機械工程中的振動同步理論的研究方法形成。在Wen等的基礎(chǔ)上，Zhao等[4-7]改進了平均小參數(shù)法，引入兩組擾動小參數(shù)并結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)提出雙機驅(qū)動平面單質(zhì)體和雙機驅(qū)動空間單質(zhì)體的同步性條件和穩(wěn)定性條件，并對雙機、三機、四機、單質(zhì)體以及多質(zhì)體振動同步系統(tǒng)進行了研究。Zhang等[8-11]依據(jù)該理論主要對雙機及三機振動同步系統(tǒng)進行研究，其分析重點在于不同的結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)運行的穩(wěn)態(tài)特性，如系統(tǒng)能量分配、相位穩(wěn)定區(qū)間及同步能力與穩(wěn)定性能力等。此外，侯勇俊等[12-13]對自同步平動橢圓振動同步、雙軸二倍頻振動同步等理論與試驗方面進行了研究。

這些成果主要是研究遠共振工況下的系統(tǒng)的振動同步穩(wěn)態(tài)運動特性，對亞共振工況下的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動規(guī)律卻鮮有研究者涉足。這主要歸因于利用亞共振理論設(shè)計的振動設(shè)備的運動穩(wěn)定性靈敏較高、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜、理論設(shè)計與計算難度較大，若修護不善易發(fā)生共振。然而，由于亞共振設(shè)備的具有明顯的節(jié)能、降低激振力的同時卻能獲得較大振幅、降低工作彈簧剛度、減少對基礎(chǔ)的沖擊力等優(yōu)點，目前隨著反共振同步機械、亞共振機械的在工程中的運用，對于振動同步系統(tǒng)的各個工況下的穩(wěn)態(tài)運動特性(尤其是在亞共振工況下)的理論研究迫在眉睫。

本文將以反向旋轉(zhuǎn)的雙激振器直線布置的振動系統(tǒng)為例，主要利用Hamilton原理對其在亞共振與遠共振兩種工況下的穩(wěn)態(tài)相位差、能量耗散情況等穩(wěn)態(tài)特性進行研究，并在理論研究的基礎(chǔ)上設(shè)計了相應(yīng)的實驗系統(tǒng)來驗證理論研究的正確性。這些研究成果可以為振動同步設(shè)備(尤其是亞共振振動同步機械)的設(shè)計提供理論依據(jù)和實驗參考。

1 力學(xué)模型

對工程機械中雙機反向旋轉(zhuǎn)的同步系統(tǒng)的機械結(jié)構(gòu)部分進行簡化，得到如圖1所示力學(xué)模型。它由兩個反向旋轉(zhuǎn)的三相異步振動電動機組成激振器分別驅(qū)動，其中，o為機體中心，o1和o2分別為兩個激振電機的旋轉(zhuǎn)中心，oxy為固定坐標(biāo)系。選擇q=[x,y,ψ,φ1,φ2]T為廣義坐標(biāo)，求出建立拉格朗日方程所需的系統(tǒng)的動能T、勢能V和能量逸散函數(shù)D0后便可得到該系統(tǒng)的運動微分方程式，見式(1)。

圖1 兩機反向旋轉(zhuǎn)的振動同步系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig. 1 Mechanical model of synchronization system driven by exciters in opposite directions

(1)

2 系統(tǒng)的頻率俘獲條件及穩(wěn)定性分析

2.1 系統(tǒng)的頻率俘獲條件

當(dāng)振動系統(tǒng)實現(xiàn)頻率俘獲從而達到兩個激振電機的同步運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動必然具有周期性特征，這意味著它們的角速度是周期性變化的。假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時兩激振器的周期分別為T1和T2，則兩個電機在最小公倍周期T0期間內(nèi)轉(zhuǎn)速的平均值ωm0必然是常數(shù)

(2)

并忽略阻尼比對振動系統(tǒng)振幅的作用，按線性系統(tǒng)疊加原理得到系統(tǒng)在方向的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，見式(3)。

(3)

2.2 系統(tǒng)的振動同步條件

(4)

在一個振動周期內(nèi)，Hamilton作用量可表示為

(5)

由Hamilton原理，即系統(tǒng)Hamilton作用量的變分與作用在系統(tǒng)上的非有勢力所作的虛功在一個周期內(nèi)積分和的值為零，即

(6)

式中：Fi為廣義力；qi為廣義坐標(biāo)。取φi為廣義坐標(biāo)，將式(6)代入式(5)可得

(7)

式中：ΔTe=Te1-Te2；Δfd=(fd1-fd2)；H=E/2；D即為同步性能指數(shù)，由于|sin 2α|≤1，振動系統(tǒng)實現(xiàn)自同步的條件為振動系統(tǒng)的俘獲力矩H大于或等于兩電機剩余電磁轉(zhuǎn)矩差的絕對值ΔTe-Δfdωm0，即|H|>|ΔTe-Δfdωm0|，即同步能力系數(shù)|D|≥1。當(dāng)數(shù)D越大時，系統(tǒng)將處于越穩(wěn)定的振動同步狀態(tài)，此時式(7)中兩機相位差值將趨近于0°或180°。

2.3 振動系統(tǒng)同步運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性條件

現(xiàn)對根據(jù)同步條件所確定的兩種同步狀態(tài)的穩(wěn)定性進行分析。當(dāng)Hamilton作用量I對2α的二次導(dǎo)數(shù)大于零時，可得到該振動系統(tǒng)同步運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性條件為

(8)

將式(5)代入(8)，則得到振動系統(tǒng)同步運動的穩(wěn)定性條件為

Wcos 2α<0

(9)

對于該穩(wěn)定性條件，若W=0時，振動系統(tǒng)的參數(shù)不滿足同步條件，不能實現(xiàn)同步運動。W值的正負取值情況決定了式(9)中穩(wěn)定性條件中2α的取值范圍。

一般情況下，該類振動系統(tǒng)彈簧剛度kx≈ky≈kψ，固有頻率ωx≈ωy≈ωψ，對式(5)中振動同步的穩(wěn)定性指數(shù)W可進一步化簡為

(10)

3 實驗系統(tǒng)及測量結(jié)果

該實驗平臺(見圖2)主要由振動同步實驗臺、信號采集系統(tǒng)、功率分析系統(tǒng)3部分組成。系統(tǒng)的力學(xué)結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)見表1所示。

表1 振動系統(tǒng)的力學(xué)參數(shù)

圖2 試驗設(shè)備Fig.2 Experiment equipment

實驗臺的彈性元件選擇的是4個瑞士ROSTA公司生產(chǎn)的AB型彈性振動支撐。信號采集是通過LMS SCADAS Mobile系列數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)來實現(xiàn)，在實驗平臺的左中右3個位置安裝了3個三向加速度傳感器，偏心激振器正面安裝脈沖計數(shù)傳感器測試轉(zhuǎn)速和計算相位差值。系統(tǒng)所消耗的總功率(不包含數(shù)據(jù)采集儀所消耗的功率)采用HIOKI PW3335型功率分析儀來實現(xiàn)，將其布置在了變頻器的前端。

由表1知本實驗中振動體當(dāng)量回轉(zhuǎn)半徑lψ≈0.55 m，略小于系統(tǒng)質(zhì)心距支撐中心的距離l0。由式(10)知，穩(wěn)定性指數(shù)與兩激振電機之間的距離無關(guān)，因此實驗中布置了4臺電機(中間兩臺電機為一組，外側(cè)兩臺電機為一組)進行對比實驗。此外，為了驗證系統(tǒng)在亞共振和遠共振情況下能否實現(xiàn)振動同步及其能耗變化情況，在t=20 s時關(guān)閉電機1。限于篇幅，圖3～圖7中主要列舉了遠共振和亞共振情況下的實驗結(jié)果。其中，圖4和圖6是利用尼康D7100型相機在運動模式下隨機拍攝的振動同步狀態(tài)下的實際相位圖。圖7為系統(tǒng)總功率消耗隨時間變化的曲線。

圖3 亞共振情況下實驗結(jié)果Fig.3 Experimental results in sub-resonant state

圖4 亞共振工況下兩激振電機的相位圖Fig.4 Phase differences of exciters in sub-resonant state

圖5 遠共振情況下實驗結(jié)果Fig.5 Experimental results in super-resonant state

圖6 遠共振工況下兩激振電機的相位圖Fig.6 Phase differences of exciters in super-resonant state

圖7 系統(tǒng)的總功率曲線Fig.7 Total power of the system

圖3(a)和圖5(a)分別顯示了系統(tǒng)處于亞共振和遠共振時的角速度上升情況，系統(tǒng)在開機后迅速達到了同步振動狀態(tài)，相位差值的角速度快速穩(wěn)定。此時系統(tǒng)的在亞共振時相位差穩(wěn)定在180°附近，見圖3(b)中穩(wěn)態(tài)時的偏心塊的相位差曲線和脈沖信號曲線；當(dāng)系統(tǒng)處于遠共振狀態(tài)時，斷電前系統(tǒng)相位差將穩(wěn)定在0°附近，斷電后穩(wěn)定在25°附近，見圖5(b)。采用相機所拍攝的兩激振電機的相位圖也可以看到：在圖4中，激振器1和激振器2相位差值φ1-φ2處于181.1°～195.1°。其中，圖4(a)和圖4(b)為亞共振時中間兩電機的穩(wěn)態(tài)運行時隨機拍攝的相位圖，圖4(c)為外側(cè)兩電機的相位圖。圖6顯示遠共振時，遠共振時相差穩(wěn)定在0°附近，斷電前-2.2°，見圖6(c)，斷電后26.8°，見圖6(a)和圖6(b)。同時，圖4和圖6顯示內(nèi)側(cè)兩組電機與外側(cè)兩組電機在亞共振和遠共振時均分別能夠達到穩(wěn)定運轉(zhuǎn)狀態(tài)，這間接地說明了振動同步傳動的運動選擇特性和穩(wěn)定性指數(shù)的確與兩激振間布置的距離無關(guān)。事實上，正如相關(guān)文獻所述，激振器回轉(zhuǎn)軸心至機體質(zhì)心之距越大系統(tǒng)越容易獲得實現(xiàn)振動同步傳動頻率俘獲力矩。

從圖5(a)和圖5(b)中還可以看出在第20 s斷電后，激振電機的同步轉(zhuǎn)速隨著相位差的增加而有所下降(從849.8 r/min降低到846.2 r/min)，兩激振電機在頻率俘獲力矩H的調(diào)整作用下經(jīng)過5 s左右達到了新的平衡。此時，力矩H將激振器1的驅(qū)動力矩通過機體傳遞給了斷電的激振器2以克服其的負載力矩，這就是文獻[1]中所定義的振動同步傳動狀態(tài)。

對比圖3和圖5中的加速度曲線還可以看出，在系統(tǒng)未達到穩(wěn)定運轉(zhuǎn)前圖3顯示兩個方向的加速度都是緩慢增加的，而不像圖5所顯示那樣明顯出現(xiàn)過加速度波動現(xiàn)象，這意味著圖3所示的系統(tǒng)穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時激振頻率未超過系統(tǒng)發(fā)生共振的固有頻率，系統(tǒng)處于亞共振狀態(tài)。

從圖7的能量消耗曲線來看，在亞共振和遠共振工況下未采用同步傳動方式時總功耗接近，約為248 W，但圖7(b)還顯示了在20 s系統(tǒng)斷電后實現(xiàn)振動同步傳動時，系統(tǒng)總功率下僅為162 W。這意味著振動同步傳動能夠明顯降低系統(tǒng)功耗，以本實驗樣機為例，約35%，此工程意義較大。

事實上，采用數(shù)值仿真我們還發(fā)現(xiàn)：在亞共振狀態(tài)下，若激振器內(nèi)部阻尼較小，系統(tǒng)也能實現(xiàn)振動同步傳動。而上述實驗卻沒能實現(xiàn)的原因正是由于實驗中所選的振動電機內(nèi)部阻尼較大。若對亞共振的電機轉(zhuǎn)速進行調(diào)節(jié)使系統(tǒng)實現(xiàn)控制同步，這將非常有利于亞共振理論的工程應(yīng)用。

4 結(jié) 論

(1) 建立了一類雙機反向旋轉(zhuǎn)的振動同步系統(tǒng)的動力學(xué)模型，應(yīng)用拉格朗日方法得到了振動系統(tǒng)的運動微分方程，并利用小參數(shù)法求出其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，然后基于Hamilton原理，推導(dǎo)了該系統(tǒng)的同步性條件和同步運轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性條件，給出了系統(tǒng)的同步能力指數(shù)和振動同步的穩(wěn)定性指數(shù)的計算公式。

(3) 通過實驗對l0

[ 1 ] WEN Bangchun, FAN Jian, ZHAO Chunyu, et al. Vibratory synchronization and controlled synchronization in engineering[M]. Beijing: Science Press, 2009.

[ 2 ] BLEKHMAN I I. Self-synchronization of vibrators in some types of vibration machines[J]. Inzhenerny Sbornik, 1953, 16, 49-72.

[ 3 ] INOUE J. ARAKI Y. Self-synchronization of mechanical system[J]. Proceedings of Japanese Mechanical Engineering Society, 1981, 42, 103-110.

[ 4 ] ZHAO Chunyu, ZHAO Qing-hua, GONG Zhaomin, et al. Synchronization of two self-synchronous vibrating machines on an isolation frame[J]. Shock and Vibration, 2011, 18(1): 73-90.

[ 5 ] ZHAO Chunyu, ZHU Hongtao, WANG Ruizi, et al. Synchronization of two non-identical coupled exciters in a non-resonant vibrating system of linear motion. Part I: theoretical analysis[J]. Shock and Vibration, 2009, 16(5): 505-515.

[ 6 ] ZHAO Chunyu, ZHU Hongtao, ZHANG Yimin, et al. Synchronization of two coupled exciters in a vibrating system of spatial motion[J]. Acta Mechanica Sinica, 2010, 26(3): 477-493.

[ 7 ] 趙春雨,趙乾斌,賀斌,等.三質(zhì)體振動機動力學(xué)參數(shù)對其性能的影響分析[J].振動與沖擊,2015,34(12): 70-78.

ZHAO Chunyu,ZHAO Qianbin,HE Bin,et al.Effect of dynamic parameters on the performance of a three-mass vibrating machine[J].Journal of Vibration and Shock,2015,34(12): 70-78.

[ 8 ] ZHANG Xueliang, KONG Xiangxi, WEN Bangchun, et al. Numerical and experimental study on synchronization of two exciters in a nonlinear vibrating system with multiple resonant types[J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 82(1): 987-999.

[ 9 ] ZHANG Xueliang, WEN Bangchun, ZHAO Chunyu. Synchronization of three non-identical coupled exciters with the same rotating directions in a far-resonant vibrating system[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(9): 2300-2317.

[10] ZHANG Xueliang, WEN Bangchun, ZHAO Chunyu. Experimental investigation on synchronization of three co-rotating non-identical coupled exciters driven by three motors[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(13): 2898-2908.

[11] ZHANG Xueliang, ZHAO Chunyu, WEN Bangchun. Theoretical and experimental study on synchronization of the two homodromy exciters in a non-resonant vibrating system[J]. Shock and Vibration, 2013, 20(2): 327-340.

[12] 侯勇俊,張明洪,吳華,等. 雙軸自同步平動橢圓振動篩研究[J]. 天然氣工業(yè), 2004, 24(3): 84-87.

HOU Yongjun, ZHANG Minghong, WU Hua, et al. Study on bi-axial self-synchronous shaker with elliptic plane movement[J]. Natural Gas Industry, 2004, 24(3): 84-87.

[13] 侯勇俊. 雙軸二倍頻振動篩的自同步及穩(wěn)定性[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報, 2012, 47(1): 104-108.

HOU Yongjun. Self-synchronization and stability of two-times frequency shaker excited by bi-shaft[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2012, 47(1): 104-108.