功能梯度材料梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)

李璐璐， 徐 明

(中國計量大學(xué) 計量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

功能梯度材料的概念是由日本科學(xué)家正式提出[1]，指材料的組成、結(jié)構(gòu)、孔隙率等要素沿厚度方向由一側(cè)向另一側(cè)連續(xù)變化，使材料的物理、化學(xué)、生物等性能沿著厚度方向也發(fā)生連續(xù)變化，可以適應(yīng)不同環(huán)境，是具有特殊功能的新型復(fù)合材料.在航空航天、機(jī)械工程、電子工程、核能工程以及土木工程等領(lǐng)域功能梯度材料都有著十分廣闊的應(yīng)用前景.目前，對功能梯度材料梁的響應(yīng)分析大都為確定性激勵，而關(guān)于功能梯度材料梁的非線性隨機(jī)響應(yīng)研究較少.但是在實際工程應(yīng)用中，由于工程環(huán)境中總會存在一些隨機(jī)激勵，例如湍流引起的噴氣噪聲，因此有必要對功能梯度材料梁的隨機(jī)振動響應(yīng)進(jìn)行研究.

功能梯度材料的材料系數(shù)依賴于空間坐標(biāo)，其大幅度運動方程存在非線性項，直接求解難度較大.GhannadPour等[2]基于Von Karman大變形理論，采用最小勢能原理研究了FGM矩形板在橫向載荷作用下的幾何非線性彎曲.Woo等[3]運用級數(shù)展開法求解了FGM矩形板的大撓度彎曲問題.Sankar[4]從平面應(yīng)變的彈性力學(xué)基本方程出發(fā)，求得了簡支梁受正弦橫向載荷作用下的精確解.Ke等[5]基于Euler梁理論研究了FGM梁的非線性振動，他們運用伽遼金法求得含非線性項的二階微分方程，討論了功能梯度材料分布特性和邊界條件對非線性振動的影響.Mesut[6]采用Timoshenko梁理論，研究了移動簡諧載荷作用下FGM簡支梁的非線性振動問題，并分析了材料分布特性和移動載荷速率對梁位移、彎矩和應(yīng)力的影響.

在解決非線性隨機(jī)振動問題時，等效線性化方法具有廣闊的應(yīng)用范圍.等效線性化方法是指以線性力代替非線性力使其在某種統(tǒng)計意義上誤差最小[7].Seide[8]運用等效線性化方法研究了任意邊界條件下白噪聲激勵梁的非線性均方響應(yīng).Spanos等[9]運用等效線性化方法分析了色噪聲激勵下含分?jǐn)?shù)階阻尼簡支梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng)的均方位移及功率譜密度函數(shù).一般來說，當(dāng)非線性系統(tǒng)受平穩(wěn)或非平穩(wěn)隨機(jī)激勵時，等效線性化法均能夠給出較為合理的分析結(jié)果.Iwan[10]和Mason及Spanos[11]將等效線性化方法推廣應(yīng)用于非平穩(wěn)隨機(jī)激勵情況，求得非線性系統(tǒng)的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng).Orabi等[12]研究了非平穩(wěn)隨機(jī)激勵的單自由非線性系統(tǒng)，運用等效線性化法推導(dǎo)求得時不變等效線性系統(tǒng)的方差響應(yīng)表達(dá)式，并據(jù)此進(jìn)行迭代計算響應(yīng)的解析解.

本文探究了高斯白噪聲激勵下功能梯度梁的非線性隨機(jī)振動響應(yīng).首先基于大變形理論建立功能梯度梁運動方程，然后將梁的橫向位移假定為時間函數(shù)和線性模態(tài)乘積之和，利用伽遼金方法求得時間函數(shù)的非線性常微分方程組；再后運用等效線性化方法推導(dǎo)并求得隨機(jī)激勵作用下功能梯度簡支梁的均方位移響應(yīng)函數(shù)，并運用NewMark方法和蒙特卡羅方法結(jié)合進(jìn)行數(shù)值驗證.最后將大變形FGM梁結(jié)果與退化線性FGM梁響應(yīng)進(jìn)行比較，研究非線性項對系統(tǒng)均方位移響應(yīng)的影響，并分析不同的功能梯度材料指數(shù)、激勵強(qiáng)度及梁長細(xì)比對非線性FGM梁隨機(jī)振動響應(yīng)的影響.

1 FGM梁動力學(xué)基本方程

圖1為由陶瓷與金屬制成的功能梯度簡支梁，長L(0≤x≤L)，寬b(-b/2≤y≤b/2)，厚h(-h/2≤z≤h/2)，采用直角坐標(biāo)系，將x軸置于幾何形心軸上，y軸沿梁的厚度方向.梁上作用有橫向分布隨機(jī)激勵q.

圖1 功能梯度梁示意圖Figure 1 Geometry of an FGM beam

其有效材料屬性( 彈性模量E、密度ρ) 沿材料厚度方向按各組分體積呈冪分布：

(1)

(2)

下標(biāo)1，2分別表示梁上表面(陶瓷)和底面(金屬).

基于歐拉梁理論，X軸和Z軸任意點的位移場表示為：

(3)

(4)

由von Karman意義下的幾何非線性理論可得幾何方程

(5)

軸向應(yīng)力為

(6)

軸力和彎矩分別為：

(7)

(8)

其中：

(9)

(10)

根據(jù)哈密頓原理和簡支梁邊界條件，求得FGM梁非線性隨機(jī)振動運動方程為

(11)

其中

本文激勵q(x,t)假定可分離成隨機(jī)平穩(wěn)過程和空間函數(shù)乘積形式

q(x,t)=p(x)f(t).

(13)

f(t)為零均值的高斯白噪聲激勵，其譜函數(shù)為S(ω)=S0，自相關(guān)函數(shù)可表示為

[f(t)f(t-τ)]=2Dδ(τ).

(14)

2 等效線性化方法

本文采用等效線性化方法來分析大變形梁的隨機(jī)振動，并采用Seide的方法[8]假定梁的橫向位移為時間函數(shù)和線性模態(tài)乘積之和.

(15)

(16)

其中

(17)

(18)

(19)

下面，運用等效線性化方法以一個具有精確解的線性系統(tǒng)等效代替原本的非線性系統(tǒng)，使兩方程之差在統(tǒng)計意義上最小.

(m=1,2,...)

(20)

這里ωeq,m為最優(yōu)等效剛度.等效線性化系統(tǒng)方程和原系統(tǒng)方程的誤差為

(21)

以誤差的均方值最小為等效原則，可得

(22)

經(jīng)計算

(23)

根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)(20)的輸入/輸出關(guān)系[13]

(24)

其中hm(τ)是等效線性系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)，經(jīng)拉普拉斯變換為

(25)

即時域-頻域關(guān)系為：

(26)

(27)

由于f(t)是平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)過程，具有遍歷性.零均值高斯隨機(jī)過程[14]具有以下性質(zhì)

=0.

(29)

式(24)、(26)結(jié)合式(14)求得

SmiSnj+SmjSni).

(31)

其中

(32)

式(23)則可表示為

(m=1,2,...)

(33)

均方位移為

(34)

3 算例和討論

本文采用伽遼金方法和等效線性化方法分析求解均布載荷p(x)=1作用下簡支梁的均方位移變化特性.當(dāng)選取的模態(tài)階數(shù)等于10時及10階以上時對位移響應(yīng)貢獻(xiàn)已經(jīng)很小，故本文選取的模態(tài)數(shù)量為30.

(35)

由伽遼金方法可得：

(36)

(37)

(38)

本算例時間步長選取0.005，樣本數(shù)量為188 000個，求解總時長為940.系統(tǒng)參數(shù)為D=1×106，L=20，b=1，h=0.6，c=500，材料參數(shù)如表1[15]所示.

表1 金屬和陶瓷材料的物性參數(shù)

隨著材料梯度指數(shù)增大，非線性項的影響η從49.12%逐漸減小到30.27% .圖2也可以看出，本文方法得到的解析解和MCS數(shù)值結(jié)果吻合較好，證明等效線性方法是可行的.

表2 不同功能梯度指數(shù)對非線性項影響

圖2 功能梯度梁系統(tǒng)響應(yīng)位移Figure 2 System displacement of FGM beams

圖3 不同梯度指數(shù)FGM梁材料特性和響應(yīng)位移變化Figure 3 Influence of the function gradient exponent n on material Properties and response displacement

圖4，5分別討論FGM梁在梯度指數(shù)n=1時不同激勵強(qiáng)度和梁長細(xì)比對系統(tǒng)振動的影響.圖4為不同外界激勵強(qiáng)度作用對系統(tǒng)響應(yīng)位移的影響.由于外界輸入給系統(tǒng)的能量隨著激勵強(qiáng)度的增加而增大，系統(tǒng)響應(yīng)位移變化增大，但對于較大的激勵強(qiáng)度，如D=6×106時等效線性化方法和蒙特卡羅數(shù)值模擬間誤差增大，等效線性化方法精度降低. 圖5為梁長細(xì)比對系統(tǒng)響應(yīng)位移的影響.隨機(jī)響應(yīng)位移隨梁長細(xì)比增大而增大，但長細(xì)比為40時等效系統(tǒng)精度降低，所以該方法不適用于存在大激勵或梁長細(xì)比較大的情形.

圖4 不同激勵強(qiáng)度D對系統(tǒng)響應(yīng)位移影響Figure 4 Influence of the excitation intensity D on the system displacement

圖5 不同梁長細(xì)比L/h對系統(tǒng)響應(yīng)位移影響Figure 5 Influence of the length ratio L/h on the system displacement

4 總 結(jié)

本文主要研究白噪聲激勵下功能梯度材料梁的非線性隨機(jī)響應(yīng).運用等效線性化方法分析了隨機(jī)激勵作用下功能梯度梁的均方位移響應(yīng)，并對其進(jìn)行了數(shù)值驗證.本文討論了不同的材料梯度指數(shù)、載荷強(qiáng)度及梁長細(xì)比對系統(tǒng)振動的影響，得到以下結(jié)論：

1)等效線性化方法結(jié)果與線性系統(tǒng)結(jié)果比較說明非線性項對系統(tǒng)響應(yīng)影響顯著.梁非線性項可減小梁的振動響應(yīng)，而忽略非線性項的線性系統(tǒng)結(jié)果則會過大的估計位移響應(yīng).當(dāng)材料梯度指數(shù)較小時，梁中點位移響應(yīng)減小明顯，而當(dāng)材料梯度指數(shù)較大時，梁中點位移響應(yīng)繼續(xù)減小，但減小不大.

2)系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)位移隨激勵強(qiáng)度和梁長細(xì)比增大而增大.但隨著激勵強(qiáng)度和細(xì)長比增大，等效線性化方法精度將降低.如本文算例所示，等效線性化方法適合于激勵強(qiáng)度<4×106和梁長細(xì)≤30的情形.

3)本文雖然只研究高斯白噪聲激勵下簡支梁的隨機(jī)振動問題，但由于數(shù)值方法應(yīng)用靈活，等效線性化方法可推廣應(yīng)用于其他隨機(jī)激勵和典型的約束，如夾持，但對于懸臂梁，式(10)系統(tǒng)偏微分運動方程中非線性項會發(fā)生變化，需另行討論.

[1] 李永，宋健，張志民.梯度功能力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003：1-3.

[2] GHANNADPOUR S A M，ALINIA M M. Large deflection behavior of functionally graded plates under pressure loads[J].CompositeSturctures，2006，75(1)：67-71.

[3] WOO J，MEGUID S A. Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells[J].InternationalJournalofSolidsandStructures，2001，38(42)：7409-7421.

[4] SANKAR B V. An elasticity solution for functionally graded beams [J].CompositesScienceandTechnology，2001，61(5)：689-696.

[5] KE L L，YANG J，KITIPORNCHAI S. An analytical study on the nonlinear vibration of functionally graded beams[J].Meccanica，2010，45(6)：743-752.

[6] MESUT S. Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load[J].CompositeStructures，2010，92(10)：2532-2546.

[7] 劉榮忠.非線性隨機(jī)振動的兩種等效線性化方法[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，1987(2)：93-98.

LIU R Z. Two Kinds of Equivalent linearization methods for nonlinear random vibration [J].JournalofNanjingUniversityofScienceandTechnology(NaturalScienceEdition)，1987 (2)：93-98.

[8] SEIDE P. Nonlinear stresses and deflections of beams subjected to random time dependent uniform pressure[J].JournalofEngineeringforIndustryTransactionsoftheAsme，1976，98(3)：1014-1020.

[9] SPANOS P D. Nonlinear random vibrations of beams with fractional derivative elements[J].JournalofEngineeringMechanics，2014，140(9)：76-82.

[10] IWAN W D, MASON A B. Equivalent linearization for systems subjected tonon-stationary random excitation[J].InternationalJournalofNon-LinearMechanics, 1980, 15(2): 71-82.

[11] SPANOS P D. Formulation of stochastic linearization for symmetric or asymmetric MDOF nonlinear systems[J].JournalofAppliedMechanics, 1980, 47(1): 209-211.

[12] ORABI I I, AHMADI G. An iterative method for non-stationary response analysis of nonlinear random systems[J].JournalofSoundandVibration, 1987, 119(1): 145-157.

[13] CR S H.Randomvibrationinmechanicalsystems[M]. 2nd ed. New York : Academic Press，1963：103-126.

[14] THOMAS J B.Anintroductiontostatisticalcommunicationtheory[M]. New York : McGraw-Hill，1960：53-60.

[15] 李清祿.功能梯度材料梁和圓板在隨動載荷作用下的靜動態(tài)響應(yīng)[D]. 蘭州: 蘭州理工大學(xué)，2012.

LI Q L.StaticandDynamicResponseofFunctionallyGradedMaterialBeamsandCircularPlateSubjectedtoFollowerForce[D]. Lanzhou: Lanzhou University of Technology，2012.