基于MMTD的改進(jìn)的Bayes軟閾值算法

李紅麗，馬耀鋒

(鄭州工程技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與車輛工程學(xué)院,鄭州 450044)

圖像去噪是數(shù)字圖像處理中一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域[1]，如何兼顧降低圖像噪聲和保留細(xì)節(jié)是圖像去噪存在的一個(gè)難題。圖像在傳輸和獲取的過程中會受到各種噪聲的干擾，噪聲不但干擾人們對圖像的理解，而且還影響到后續(xù)圖像的處理效果，如圖像的邊緣檢測、圖像分割、目標(biāo)識別等。中值濾波和均值濾波是經(jīng)典的去噪算法，但它們在抑制噪聲的同時(shí)，使圖像邊緣變得模糊。小波變換由于具有良好的時(shí)頻域局部特性，可以靈活地對信號局部奇異特征進(jìn)行提取以及時(shí)變?yōu)V波，小波去噪可有效地濾除噪聲并保留信號高頻細(xì)節(jié)信息，因此在圖像去噪中得到廣泛的應(yīng)用[2]。

長期以來，人們在小波去噪方面進(jìn)行了大量的研究，有利用小波系數(shù)相關(guān)性去噪法、通過小波閾值去噪法、采用模極大值去噪法等.從最小均方誤差的角度來看，小波閾值去噪法在取得較好的視覺效果的前提下，去噪效果基本可達(dá)近似最優(yōu)[3-4]。常用的閾值確定方法有：通用閾值法VisuShrink法，Sure與VisuShrink閾值結(jié)合產(chǎn)生的SureShrink法，依據(jù)Minmax準(zhǔn)則的Minmaxi閾值，Chang S G等人提出的BayesShrink法[5]等。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)[6]：硬閾值法由于其在閾值處的不連續(xù)使所得到的圖像產(chǎn)生附加振蕩；由軟閾值函數(shù)估計(jì)得到的小波系數(shù)整體連續(xù)性雖好但與原始小波系數(shù)之間存在偏差，得到的重構(gòu)圖像雖然平滑性能比較好，但會導(dǎo)致小波圖像邊緣模糊。

本文針對小波閾值去噪的不足，將處理模糊信息的中介數(shù)學(xué)系統(tǒng)引入到小波圖像去噪算法中，根據(jù)中介真值程度度量方法和閾值周圍小波系數(shù)中含有噪聲程度的模糊性，對閾值周圍的模糊區(qū)域進(jìn)行處理[7-9]，計(jì)算含噪模糊的小波系數(shù)的保留程度，采用BayesShrink閾值準(zhǔn)則，提出了基于MMTD的Bayes軟閾值小波圖像去噪算法。通過仿真實(shí)例，與典型算法處理結(jié)果相比表明，基于MMTD與小波相關(guān)性的小波閾值圖像去噪算法有效去除噪聲，并較好地保持圖像邊緣細(xì)節(jié)。

1 中介真值程度度量

1.1 中介模糊

如果設(shè)P為具有一性質(zhì)的謂詞，x為任一變量，P(x)表示變量x“┓P”表示謂詞P的反對對立面，則P與┓P就抽象地表示為一對反對對立性質(zhì)；“～”表示模糊性質(zhì)，讀為“部分地”。若變元x滿足～P(x)&～┓P(x)，則稱x為P與┓P的中介對象，模糊否定詞“～”的語義深刻地反映了中介模糊的概念。

1.2 真值程度的度量

超態(tài)[7]是對于“非此即彼”的現(xiàn)象擴(kuò)展，在形容事物的狀態(tài)時(shí)有好有壞，更具體地分其實(shí)還存在更好和更壞的狀態(tài)，這種“更“的狀態(tài)在此就可以用超態(tài)來表示。

超態(tài)一般用符號“+”表示，對應(yīng)的真值集合為

Truth={+T,T,M,F,+F}，

由此可將一般數(shù)值化應(yīng)用的數(shù)值區(qū)域劃分為5個(gè)對應(yīng)的真值區(qū)域，即+P，P，～P，┓P，┓+P，如圖1所示。圖1中，αT為謂詞P的εT標(biāo)準(zhǔn)度；αF為┓P的εF標(biāo)準(zhǔn)度?？梢酝ㄟ^計(jì)算相對于P或┓P的距離比率函數(shù)hT(y) 或hF(y)得到每個(gè)數(shù)值區(qū)域中的真值程度度量。

圖1 數(shù)值區(qū)域與謂詞的對應(yīng)關(guān)系

2 算法描述及參數(shù)確定

2.1 最佳閾值確定

小波閾值去噪法中關(guān)鍵技術(shù)之一是最佳閾值λ的確定。SureShrink法首先通過SURE (Stein Unbiased Risk Estimator)給定一個(gè)閾值T，再利用最小二乘法得到它的估計(jì)值λ。VisuShrink法是使用小波變換后所有高頻系數(shù)的數(shù)目和噪聲標(biāo)準(zhǔn)差來確定閾值?；趫D像小波系數(shù)廣義高斯分布特性，在Bayes框架下參照最小化Bayes風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行計(jì)算，Chang S G等人得到BayesShrink 閾值， BayesShrink 閾值考慮了圖像小波系數(shù)的廣義Gaussian特性，子帶的自適應(yīng)性更強(qiáng)，算法復(fù)雜度也較簡單，其閾值計(jì)算公式為

λ=σ2/σx,

(1)

式中：σ2為加入的高斯噪聲方差；σx為不帶噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)方差。

本文在BayesShrink 閾值的基礎(chǔ)上提出一種針對小波分解的不同方向不同子帶的閾值確定方法。假設(shè)圖像(大小為n×n)含有加性高斯白噪聲ε(i,j)～N(0,σ2)為獨(dú)立同分布，與原始圖像f(i,j)也相互獨(dú)立，則加噪圖像表示為

g(i,j)=f(i,j)+ε(i,j),

(2)

式中i,j=1,2,…,n,則不同子帶不同方向的小波閾值確定步驟如下：

a.估計(jì)噪聲方差時(shí)，通過對各子帶各方向小波系數(shù)，采用空域非線性方法的median函數(shù)得到

σ(s,j)=median(Y(s,j))/0.6745,

(3)

式中：Y(s,j)代表帶噪圖像的小波系數(shù)；s代表不同方向的小波系數(shù)，s=1，2，3分別代表水平方向系數(shù)Hj，垂直方向系數(shù)Vj，對角線方向系數(shù)Dj；j代表分解層數(shù)(j=1,2,…,N)，N是分解的最后一層。

b.估計(jì)子帶中信號的方差σx，因?yàn)閅(s,j)服從高斯分布，有

(4)

式中n(j)表示圖像經(jīng)過小波分解后的第j層的子帶的大小。

由于原始圖像信號與噪聲信號相互獨(dú)立，則圖像小波系數(shù)與噪聲生成的小波系數(shù)也相互獨(dú)立，且由公式(2)得到

(5)

將式(3)與式(5)代入式(1)，就可以得到本文算法中用到的不同子帶、不同方向的閾值表達(dá)式

(6)

2.2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

本文算法在軟閾值函數(shù)基礎(chǔ)上結(jié)合中介真值程度的度量方法，提出一種改進(jìn)的閾值函數(shù)。改進(jìn)算法中閾值周圍系數(shù)值的濾除和保留程度由中介真值程度度量中的一維距離比例函數(shù)來確定，具體算法如下：

根據(jù)超態(tài)的概念和中介模糊區(qū)域的設(shè)定(本算法的模糊區(qū)域是閾值周圍的小波系數(shù)，因?yàn)闊o法判斷這些小波系數(shù)中是否含有噪聲)，根據(jù)含有噪聲的程度可將小波系數(shù)的值劃分為三個(gè)區(qū)域，分別為：S1，S2和S3，如圖2所示。

圖2 基于MMTD和軟閾值的高頻小波系數(shù)數(shù)值區(qū)域劃分

對于S1區(qū)域，由仿真測試和理論分析可知，小于0.95λ的高頻系數(shù)基本屬于噪聲，故全部清除。S1部分的函數(shù)為

(7)

對于模糊區(qū)域即S2部分，小波系數(shù)含噪聲成分模糊用本文中的中介算法處理，根據(jù) MMTD的距離比例函數(shù)計(jì)算來確定小波系數(shù)的保留程度，同時(shí)將軟閾值函數(shù)萎縮一個(gè)λ大小用來消除恒定偏差，得到S2的函數(shù)

(8)

對于S3區(qū)域部分，為解決原軟閾值函數(shù)中“估計(jì)信號與原始信號之間存在恒定偏差”的不足，本文研究了最新的一些軟閾值函數(shù)的改進(jìn)算法，如楊立的基于改進(jìn)小波閾值函數(shù)的圖像去噪等，這些算法采用矯正因子來控制軟閾值的萎縮程度，效果較好，但是在確定矯正因子時(shí)候不具備自適應(yīng)性。因此，本文算法基于上述改進(jìn)算法中的“軟閾值的萎縮量盡量縮小”的思想，同時(shí)又根據(jù)“小波系數(shù)越大噪聲程度越低”的結(jié)論，將閾值與小波系數(shù)的比值與軟閾值的矯正因子相關(guān)聯(lián)，小波系數(shù)越接近閾值，則矯正因子值越小，反之就越大，進(jìn)而得到S3區(qū)域的函數(shù)為

(9)

如式(9)，當(dāng)Bi,j=50λ時(shí)，萎縮值為 0.02λ；當(dāng)Bi,j=5λ時(shí)，萎縮值為0.2λ，萎縮量實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)地調(diào)節(jié)。

綜上所述，新的閾值函數(shù)通過對閾值周圍模糊區(qū)域的處理，在改善了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性的同時(shí)，也改善了軟閾值函數(shù)的恒定偏差的缺陷。

3 算法步驟

本文采用最佳閾值結(jié)合改進(jìn)的新閾值函數(shù)對圖像進(jìn)行去噪，為了使小波圖像去噪效果更好，我們要選擇合適小波基函數(shù)和分解層數(shù)。Haar小波具有簡單和較好的對稱性，比較適合處理階躍信號，所以本文采用 Haar小波。圖像中高頻信息表示邊緣輪廓引起的灰度突變，反映了圖像的細(xì)節(jié)變化。小波分解的層數(shù)過高會導(dǎo)致邊緣信息丟失，所以本文的小波圖像分解層數(shù)采用3 層，對應(yīng)的算法流程如圖3所示。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，在Matlab平臺下，選取256*256的標(biāo)準(zhǔn)灰度測試圖像Lena和Baboon，Lena圖像平滑區(qū)域較多，Baboon圖像邊緣紋理較多。將測試圖像分別加入均值為0，方差σ=10,20,30的高斯噪聲，分別用硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和本文算法進(jìn)行去噪，對去噪結(jié)果從客觀和主觀兩方面進(jìn)行對比分析。

圖3 算法流程

4.1 客觀評價(jià)

常見的客觀評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有峰值信噪比(PSNR)和最小均方差(MSE)，本文采用PSNR來衡量去噪效果，其定義為

(9)

(10)

式中：f′(i,j)為去噪后圖像；f(i,j)為原始圖像。

采用硬閾值法、軟閾值法和本文算法對含噪Lena和Baboon圖像去噪，所得PSNR如表1所示。

表1 各閾值去噪算法應(yīng)用與Lena和Baboon圖像的PSNR(dB)比較

從表1可以看出，本文方法與傳統(tǒng)的軟、硬閾值方法相比，峰值信噪比PSNR方面都有明顯的提高，幅度從1dB～3.611dB不等，說明本文算法能夠較好地保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，去噪效果很好。

4.2 主觀評價(jià)

圖4是對加入σ=20的高斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像的去噪結(jié)果。

圖4 對加入 的高斯噪聲的標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像的去噪結(jié)果

從圖4可以看出，本文算法較傳統(tǒng)算法取得了較好的去噪效果，圖像的含噪量得到明顯地減少，并且能夠很好地保留圖像的紋理細(xì)節(jié)。

5 結(jié)果與展望

本文通過分析傳統(tǒng)閾值函數(shù)的不足，采用MMTD方法對閾值周圍的模糊區(qū)域進(jìn)行研究，通過利用一維情況下距離比例函數(shù)計(jì)算出該區(qū)域小波系數(shù)的保留程度，對系數(shù)較大的區(qū)域采取閾值和小波系數(shù)之間的比值進(jìn)行萎縮操作。仿真結(jié)果表明，本文算法能夠有效去除圖像噪聲，很好地提高了峰值信噪比，并較好地保持圖像邊緣細(xì)節(jié)，人眼視覺效果更好，因而更具有實(shí)用性和有效性。

本文提出的基于MMTD的改進(jìn)的Bayes軟閾值算法，雖然能有效地去除圖像噪聲，但是運(yùn)算量較大，改進(jìn)算法運(yùn)行時(shí)間較長，需要從提高效率的角度進(jìn)一步優(yōu)化該算法。另外，本文算法仿真測試采用的是256*256的標(biāo)準(zhǔn)灰度測試圖像Lena，不是來自實(shí)際工程中采集的圖像，下一步可通過攝像頭傳感器采集實(shí)際的圖像，將本文算法應(yīng)用到實(shí)際工程中，達(dá)到理論與實(shí)際工程相結(jié)合的目標(biāo)。

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