高中數(shù)學中的二次函數(shù)與不等式的應用分析

范欽帥

摘要：該文中筆者介紹了二次函數(shù)的基本知識，探究了二次函數(shù)的簡單應用，并提出了二次函數(shù)在應用過程中應該注意的幾點。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；高中數(shù)學；應用

最早接觸二次函數(shù)是在初中，受學習能力的限制，學生初步學習二次函數(shù)的掌握程度較低，不能將學到的理論充分運用到高中知識里。高中數(shù)學階段二次函數(shù)極其重要，想要完全掌握并且運用的爐火純青就必須從基礎一點點抓起，循序漸進做到得心應手。

1 二次函數(shù)的基本知識點

通常判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，首先觀察它的表達式，形如其中a不等于零。這個是它的一般表達式，另外常用的它還有頂點式跟交點式這兩種，比如f（x）=2（x-1）（x-4）這個是交點式，1跟4分別是函數(shù)跟x軸的兩個交點。

1.1 利用表達式透露出的知識點

函數(shù)表達式中的abc這三個參數(shù)決定了函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的曲線是拋物線，以x=-b/2a對稱軸，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）為定點的坐標，還可以根據(jù)函數(shù)二次項參數(shù)a的正負來判斷曲線的開口方向，當參數(shù)a為正數(shù)時向上參數(shù)a為負數(shù)時向下。函數(shù)的判別式為m=bb-4ac，通過判別式中m的符號斷定曲線跟橫軸的交點個數(shù)，m為正時是兩個交點，m為負時是沒有交點，m為零時是一個交點，也就是兩個交點重合，曲線相切于橫軸。拋物線的這幾方面能夠有效地幫助學生學習二次函數(shù)，加深理解跟背誦。

1.2 二次函數(shù)的單調(diào)性

單調(diào)性的大體概念跟含義我們在初中數(shù)學中已經(jīng)接觸到了，但當時并沒有經(jīng)過嚴格的科學性的定義跟論證，高中數(shù)學二次函數(shù)的學習給單調(diào)性做出了一個有理論依據(jù)做基礎的解釋。二次函數(shù)的單調(diào)性是分兩部分的，這兩部分以拋物線的對稱軸為界限，一邊單調(diào)遞增，而另一邊就會單調(diào)遞減。學生在學習過程中，對于自變量有范圍，判斷起來比較困難的分段函數(shù)，結(jié)合圖形分析給人以直觀性，是一種很好的方法。

1.3 二次函數(shù)的極值特性

已經(jīng)提到二次函數(shù)的圖像是拋物線，那么對于不限定自變量范圍的函數(shù)，對稱軸處的函數(shù)值便是函數(shù)的最大值或者最小值。學生要把函數(shù)的基礎知識熟記于心，這樣做起題來才能如魚得水。例如：假設二次函數(shù)f（x）=3xx-12x+10，它在[a，a+1]上存在最小值，并且是g（a）。要求：得出g（a）的表達式。

解析：f（x）=3xx-12x+10=3（x-2）（x-2）-2所以容易看出函數(shù)在自變量x的值是2時得到最小值-2。當2在[a，a+1]這個區(qū)間內(nèi)時最小值g（a）為-2，此時a在[1，2]這個區(qū)間中；當a大于2時，g（a）=f（a）=3aa-12a+10；當a小于1時，g（a）=f（a+1）=3aa-6a+4。通過上面的分析計算得出結(jié)論。

想要正確得到這個題的結(jié)果，必須充分理解二次函數(shù)的極值問題。二次函數(shù)一般情況下在自變量范圍不限制時肯定只有一個最大值或者肯定只有一個最小值，但伴隨著自變量定義域的改變，極值的情況也會發(fā)生改變。比如對稱軸是x=2，自變量的定義域是[3-4]，那函數(shù)就在3處取得最小值，在4處取得最大值；倘若定義域是（2，5），那這個函數(shù)既沒有最大值有沒有最小值等等，不同的范圍對應不同的情況，這樣的例子不勝枚舉。

2 二次函數(shù)的簡單應用

2.1 與一元二次不等式接軌

中學數(shù)學的學習過程中，肯定接觸到了一元二次不等式的內(nèi)容。也就是根據(jù)一致的不等式求解范圍。第一步首先看判別式。第二步把不等式暫且看做等式，求解出變量值。第三步是依據(jù)二次項正負判斷開口，畫出假想函數(shù)的大致圖像。最后看圖像找所要求的變量范圍。第三步中的畫圖識圖就是將二次函數(shù)的知識充分運用到求解不等式當中來，這一步是求解的關(guān)鍵。如果化簡后的不等式是大于零，那么自變量的取值范圍就選取圖像上方的部分。如果化簡后的不等式小于零，那么自變量的取值范圍就選取圖像下方的部分。另外要格外注意等于零的不為的選取與否，最后得到的不等式解集就是正確答案了。

2.2 與求函數(shù)的定義域、值域相融合

例如：已知函數(shù)y=lg（xx+2mx+2），求：如果函數(shù)的定義域是全部實數(shù)集，試得出m范圍；如果值域是全部實數(shù)集，試得出m范圍。

第一問：問題等價于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于負根號2小于正根號2。

第二問：問題等價于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根號2或者m小于等于負根號2。

這樣的問題最能迷惑學生的雙眼，將學生的思維搞混亂，追根究底關(guān)鍵還是沒能對所學的知識進行完全吸收。

2.3 結(jié)合映射跟函數(shù)

函數(shù)是一種映射，而二次函數(shù)作為函數(shù)的一種自然也屬于映射，只是情況比較特殊。二次函數(shù)是一個不空的定義域到不空的值域的映射，兩個之中的元素一一對應，并且沒一個定義域中的元素只有一個值域中的元素相對應，而值域中的元素可以有兩個定義域中的元素與之對應。這樣在二次函數(shù)的作用下，學生更深刻、更深入地加深了對映射、對函數(shù)的理解，這種認識的明確，對解決遇到的難題大有幫助。

3 為加深二次函數(shù)的應用需注意幾點

作為老師，在講解二次函數(shù)時，要把基礎知識放在首要地位。即使是一個小概念也要充分理解它的含義，對于給出的公式定理，首先了解，深入理解，然后學生自己完成公式的推導，定理的演示，然后結(jié)合聯(lián)系進行鞏固訓練，熟記于心。

不建議死讀書、讀死書，要靈活記憶，靈活掌握每個要點。每堂課、每個小時分別給學生分配不同的任務，制定不同的學習目標，學習目標的明確能夠極大極高學生學習二次函數(shù)的效率。

高中二次函數(shù)的題型復雜，內(nèi)涵豐富，文章通過分析二次函數(shù)的基礎知識點引出了它在高中數(shù)學教學其它知識上的完美應用，相信在更多的題目應用中學生能夠更好的把握解題技巧。

參考文獻

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基金課題：

本文系2018年度河南省基礎教育教學研究項目《以拋物線為例促進高中學生數(shù)學知識延伸拓展的研究》（JCJYC18030333）研究成果”