讓條件躍然圖上

魯曉虹

【摘 要】“幾何直觀”是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的一個(gè)核心詞，它主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；標(biāo)圖習(xí)慣；圖形

浙教版八上第1章《三角形的初步知識(shí)》，其中很重要的一塊內(nèi)容是三角形全等，它研究的是三角形的形狀、大小關(guān)系，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)全新的開始，這章的知識(shí)、學(xué)習(xí)方法、用圖意識(shí)等掌握好壞情況直接影響后面的特殊三角形、四邊形、相似三角形等內(nèi)容的學(xué)習(xí)。全等三角形是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，所涉及的基本都是組合圖形，較復(fù)雜，況且要證全等需要三組條件，還要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于初學(xué)者并不是件容易的事情。所以在教學(xué)過程中一定要突出基本圖形的幾何直觀意識(shí)，時(shí)刻將這種意識(shí)滲透給學(xué)生，幫助他們學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，學(xué)會(huì)用圖形來理解和記憶三角形全等的判定。

一、例題1：已知：如圖1，已知AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，且AD=AE。求證：BD=CE。

分析：此圖中涉及兩個(gè)全等三角形，我們可以把涉及三角形從組合圖形中分離出來，即把△ABD與△ACE分解出來，然后再把已知條件與隱含條件標(biāo)注上去，從中尋找符合條件的因素，這樣處理非常直觀，學(xué)生接受起來也水到渠成。

之后我再作了如下變式，讓學(xué)生自行完成。

如圖，已知AB=AC，再添加一個(gè)條件________，使△ABD≌△ACE。

本想有了例題教學(xué)時(shí)進(jìn)行了正向的、類似的引導(dǎo)、分析、示范板書，再在練習(xí)環(huán)節(jié)安排此題應(yīng)該問題不大，可事與愿違。竟然有相當(dāng)部分學(xué)生填上BD=CE這一條件，（盡管他們有些也能找出公共角這一隱含條件），巡視及詢問做錯(cuò)的同學(xué)，有把兩個(gè)圖形分解出來嗎？他們的回答是顯然的——沒有?。ㄆ鋵?shí)做對(duì)的同學(xué)也沒有分解圖形），條件雖然標(biāo)注了，但條件多，圖形就比較混亂?？磥矸此际潜仨毜模瑸槭裁辞耙幻胫v完，后一秒就錯(cuò)？我之前的處理方法要改進(jìn)。因?yàn)橐獙蓮垐D分解出來的確有點(diǎn)麻煩，愛偷懶是人之天性嘛！對(duì)于這樣的題它的條件是對(duì)應(yīng)給出的，那么其實(shí)不需要關(guān)注兩個(gè)圖形，靈機(jī)一動(dòng)，集中火力攻打一個(gè)！在另一個(gè)班教學(xué)時(shí)我做了如下改進(jìn)：

兩個(gè)三角形選擇一個(gè)，在原圖中用筆描出來，并把已知條件及隱含條件標(biāo)注上去，注意：條件也只能標(biāo)注一個(gè)，例如AB=AC，只需標(biāo)注AB，因?yàn)锳B才是它的邊。（像右圖那樣標(biāo)注）

這樣處理之后，學(xué)生的接受程度較高，正確率也提高了。在本章檢測(cè)中就有這樣類似的題，大部分同學(xué)在應(yīng)用我介紹的方法，之前的“慣犯”也做對(duì)了！顯然，從復(fù)雜中“抽取”簡(jiǎn)單，讓條件躍然紙上，會(huì)讓直觀圖形更加直觀，更易發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。

二、例題2：如圖：在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上下面有四個(gè)條件①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF你從中選三個(gè)為題設(shè)，余下一個(gè)作為結(jié)論，可得幾個(gè)命題？其中真命題有幾個(gè)？分別給出證明。

對(duì)于這題，學(xué)生比較容易理解的是判斷全等需要三個(gè)條件，而這里就是選三個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，另外這張圖也不需要挖掘隱含條件。對(duì)學(xué)生來說比較困難的是這題有幾個(gè)命題，正確的又有幾個(gè)？學(xué)生的分類意識(shí)偏弱，不知如何分類；另外圖形有兩個(gè)，又是交錯(cuò)在一起，另外條件有四個(gè)，干擾信息較多，所以對(duì)于此題，分3個(gè)環(huán)節(jié)處理：

環(huán)節(jié)一：抓住結(jié)論分類，不要抓條件分類，很顯然結(jié)果有①，②，③，④四種情況，所以命題就有四種。②③④推①；①③④推②；①②④推③；①②③推④；

環(huán)節(jié)二： 用筆描出△ABC，同時(shí)把4個(gè)論斷中涉及的AB，AC，∠ABC，BE（轉(zhuǎn)化為BC）標(biāo)出。（如圖1）

環(huán)節(jié)三：將序號(hào)①，②，③，④對(duì)應(yīng)標(biāo)注在圖上（這是我認(rèn)為此題處理比較得當(dāng)之處），這樣借助圖形結(jié)合序號(hào)直接可以判斷出哪些是真命題。（如圖2）

為檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)此類題的方法及分類思想的掌握情況，設(shè)置了相應(yīng)的變式（要求嘗試用上面的方法）：

如圖，在△ABC和BAD中，現(xiàn)給出如下三個(gè)論斷：

①AD=BC；②∠C=∠D；③∠1=∠2。請(qǐng)選擇其中兩個(gè)論斷為條件，一個(gè)論斷為結(jié)論，構(gòu)造命題。寫出所有的真命題（用“______→______”形式，用序號(hào)表示）_________

這題類型沒有改變，但難度增加了，因?yàn)楸砻娉尸F(xiàn)出來的是兩個(gè)論斷作為條件，而全等是需要三個(gè)條件的。這需要學(xué)生自行挖出AB=BA這一隱含條件，是此題的一個(gè)難點(diǎn)所在。

靜候5分鐘樣子，大部分學(xué)生完成了此題，他們“學(xué)會(huì)”了處理例題時(shí)的方法，知道了分類并用彩色筆描出其中一個(gè)三角形，同時(shí)把三個(gè)論斷標(biāo)示在圖上，命題形式基本上是“①②→③”即由兩個(gè)條件推出一個(gè)結(jié)論。當(dāng)然也有一部分同學(xué)不知所措，因?yàn)樗麄冎劳茖?dǎo)兩個(gè)三角形全等需要三組條件，但題目中總共才三組，不知如何落筆。在表?yè)P(yáng)學(xué)生標(biāo)上序號(hào)這一行為之后，我根據(jù)學(xué)生的答題情況作了兩點(diǎn)提醒：一是證明兩個(gè)三角形全等需要幾個(gè)條件？二是這幅圖是哪種類型的基本圖形。學(xué)生異口同聲說道：“假山型”（這是為了便于學(xué)生對(duì)于基本圖形的識(shí)辨，我給一些經(jīng)常碰到的圖形進(jìn)行了命名，像案例一中的圖命名為“剪刀型”），這時(shí)學(xué)生馬上意識(shí)到“假山型”中有公共邊，借機(jī)建議學(xué)生標(biāo)上序號(hào)④（像圖4）（對(duì)于標(biāo)上④是此題我認(rèn)為處理得當(dāng)之處）。追問學(xué)生，做這一處理之后與上面的例題一樣嗎？學(xué)生似乎有種恍然大悟的感覺：哦，原來真是一樣的！

兩個(gè)案例題型不同，考察的知識(shí)相近，所用的思想方法都一樣：先描圖，從復(fù)雜中抽取簡(jiǎn)單，讓圖形更加直觀；再標(biāo)圖，讓隱含條件躍然紙上；然后再把兩圖轉(zhuǎn)化為一圖看是否符合三角形全等的基本事實(shí)。如案例2中的變式，將隱含條件AB=BA標(biāo)注為④，轉(zhuǎn)化之后思路更為清晰，處理方式與前一題幾乎一樣，讓學(xué)生體會(huì)到其巧妙之處，題變、圖變，思路不變！

三、幾何直觀能力的培養(yǎng)教學(xué)的一些建議。幾何教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，但幾何直觀能力的培養(yǎng)也尤為重要。

1.突出關(guān)注對(duì)象，排除干擾，化繁為簡(jiǎn)。

“幾何直觀”不僅是一個(gè)核心概念，而且是培養(yǎng)學(xué)生敘述認(rèn)識(shí)圖形的一種方法，一種思維的方式。像以上這樣的類型題，表面涉及的是兩個(gè)圖形，在自身教學(xué)過程中，以前也往往是借助兩個(gè)圖形來分析，這樣涉及圖形多，條件多，主題自然不突出，學(xué)生錯(cuò)誤自然就多，而集中在一個(gè)三角形中分析，主題非常的突出，只要四個(gè)判定方法知道，這類題目如此處理自然是一個(gè)好方法。對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)相似三角形，有著重要的影響。而且這種突出關(guān)注對(duì)象、排除干擾的數(shù)學(xué)能力是幾何學(xué)習(xí)很重要的一種能力，像綜合性較強(qiáng)的幾何題，往往是幾個(gè)基本圖形的組合，而此時(shí)就需要我們識(shí)別出來，分解出來，問題也就迎刃而解。

2.要培養(yǎng)學(xué)生合理使用圖形的意識(shí)。

幾何題，多數(shù)都有圖，而如何使用圖，是有講究、有方法的，像案例1中做錯(cuò)的同學(xué)，他也在用圖，但沒用對(duì)，給人家感覺其思維是不清晰的。而我們的教學(xué)就是要教學(xué)學(xué)生如何合理的使用題目中的圖形，讓圖形更加直觀，讓思維更加明晰。

3.培養(yǎng)學(xué)生良好的幾何學(xué)習(xí)習(xí)慣。

幾何不同于代數(shù)，它具有直觀性、嚴(yán)密性、邏輯性等特點(diǎn)，如何培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)幾何習(xí)慣呢？本人認(rèn)為養(yǎng)成學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括聽課習(xí)慣、思維習(xí)慣、獨(dú)立完成作業(yè)習(xí)慣，其中最主要的是思維習(xí)慣。所以對(duì)于幾何學(xué)習(xí)，要以圖形為核心，以問題為支撐，以思考為導(dǎo)向，形成的一種認(rèn)識(shí)事物的能力。在圖形和幾何的教學(xué)中，根據(jù)題意，將題中重要信息標(biāo)注到圖中（平時(shí)所說的標(biāo)圖），這樣借助條件信息都集中到圖形中去，解決問題就比較方便，因?yàn)閳D形直觀，注意力集中，思維不容易被干擾。長(zhǎng)期這樣培養(yǎng)與熏陶，學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)習(xí)慣自然會(huì)好，圖形應(yīng)用的意識(shí)與能力也自然會(huì)增強(qiáng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).北京師范大學(xué)出版社，（2011年版）

[2]楊小麗，劉軼.基于學(xué)生需要和認(rèn)知基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào)，2015.3endprint