高中數(shù)學(xué)中的向量與復(fù)數(shù)探討

張譯云

摘要：本文探討了高中數(shù)學(xué)中向量與復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，為相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握和題目的求解提供了有效的學(xué)習(xí)思路。首先介紹了兩者的基本概念，并剖析了其中的聯(lián)系和本質(zhì)上的區(qū)別。接著結(jié)合例題，從不同角度解析了兩者的性質(zhì)、運(yùn)算法則等考點(diǎn)。最后總結(jié)了針對(duì)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法和思維提升的路徑。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量；復(fù)數(shù)

一、概念剖析

1、向量。引入向量是為了區(qū)別于標(biāo)量，標(biāo)量只有大小不考慮方向，但向量既有大小也有方向。由于多了方向，向量的加減不再是簡(jiǎn)單數(shù)量上的變化，還需要引入四邊形法則，而向量的乘法又分為數(shù)量積和向量積，并且沒有除法。這些運(yùn)算法則奠定了學(xué)習(xí)向量的基礎(chǔ)。

2、復(fù)數(shù)。引入復(fù)數(shù)是對(duì)數(shù)的擴(kuò)充，為了解決負(fù)數(shù)開根號(hào)的問題，引入虛數(shù)單位i，實(shí)數(shù)與虛數(shù)的組合便是復(fù)數(shù)。實(shí)數(shù)用實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而復(fù)數(shù)則由復(fù)平面上的點(diǎn)表示，所謂復(fù)平面是由相互垂直的實(shí)軸與虛軸所構(gòu)成，它是理解復(fù)數(shù)的重要工具。

3、聯(lián)系與區(qū)別。向量和復(fù)數(shù)都可以在各自的坐標(biāo)系中用二維坐標(biāo)表示，兩者的加減運(yùn)算形式上看幾乎一模一樣，部分復(fù)數(shù)問題還可以轉(zhuǎn)化為向量問題來解決，這既有助于聯(lián)想，但也可能導(dǎo)致混淆。向量與復(fù)數(shù)的本質(zhì)是不同的，復(fù)數(shù)依然是數(shù)，只能代表一個(gè)點(diǎn)，而向量同時(shí)具有“代數(shù)”和“幾何”的特征，是可以移動(dòng)的有向線段。

二、例題詳解

1、運(yùn)算法則。向量與復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算相似，但乘除運(yùn)算不同，需要在解題時(shí)嚴(yán)格區(qū)分。

（1）例：已知復(fù)數(shù)z滿足，試求復(fù)數(shù)z的值。解：這道題不難，卻容易因?yàn)闆]學(xué)透復(fù)數(shù)的乘法而出錯(cuò)。向量的乘法分?jǐn)?shù)量積與向量積，高中階段?？紨?shù)量積。對(duì)于向量來說總有，在實(shí)數(shù)域中也有，但對(duì)于復(fù)數(shù)來說，卻不一定有。這道題如果想當(dāng)然地將兩邊做平方，得，再將替換為做進(jìn)一步化簡(jiǎn)，那就大錯(cuò)特錯(cuò)了。正確解法應(yīng)當(dāng)是假設(shè)（均為實(shí)數(shù)），再帶入題目所給等式中，得到，因此有，解方程得，即可得。

（2）例：已知復(fù)數(shù)z滿足，試求的最值。從這道題中也可以探究向量與復(fù)數(shù)在運(yùn)算法則上的不同。對(duì)于向量來說，因此只有兩向量共線時(shí)才有，對(duì)于復(fù)數(shù)來說，卻總有，這個(gè)性質(zhì)是求解這道題的關(guān)鍵。

這道題如果設(shè)（均為實(shí)數(shù)），此時(shí)有兩個(gè)變量，不便于求極值，因此考慮利用共軛復(fù)數(shù)消去一個(gè)變量。因?yàn)?，所以有，那么；再根?jù)，可知，因此當(dāng)時(shí)，取到最大值為12。

2、幾何意義。借助坐標(biāo)系中的幾何特性，向量的幾何意義既可以解向量題，也可以用于求解復(fù)數(shù)問題。

例：已知有復(fù)數(shù)，試求的最小值。

解：這道題有兩種思路，一是直接用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行求解，二是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。第一種方法求解過程如下：

第二種方法是通過向量和復(fù)數(shù)在加減運(yùn)算中的相似性，用向量代替復(fù)數(shù)繼而求解。令向量和分別代替復(fù)數(shù)、，即可視作對(duì)向量進(jìn)行長(zhǎng)度上的縮放，而最小值可視作在方向上找一點(diǎn)，使之到B點(diǎn)距離最短。從幾何上看就是過B點(diǎn)向OA做垂線，垂線的長(zhǎng)度即為的最小值。

3、與三角函數(shù)結(jié)合。

例：已知復(fù)數(shù)z的模為1，如果存在，使得，試求的值。

解：這道題同樣需要對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行假設(shè)，由于，因此可用三角函數(shù)表示以縮減變量。設(shè)，帶入得，則有和，由第二式可得或，由此得到兩組解和，又因?yàn)?，所以?/p>

三、學(xué)習(xí)方法總結(jié)

1、區(qū)分表象與本質(zhì)。在教材上向量與復(fù)數(shù)并不在一起，但形式上的相近之處很容易令人將兩者聯(lián)系起來。而部分同學(xué)容易犯的錯(cuò)誤便是將兩者的運(yùn)算法則搞混淆，為了避免這樣的錯(cuò)誤，需要掌握兩者的本質(zhì)，然后深入理解運(yùn)算法則上的不同，方能正確解題。

2、借助題目檢驗(yàn)概念。區(qū)分概念說到底是為了解題，但只研究概念是不夠的，要結(jié)合具體題目才能檢驗(yàn)對(duì)概念的掌握。本文中所舉例題有一定的代表性，實(shí)際學(xué)習(xí)中還需要多多練習(xí)才能熟練掌握。

3、抽取維度理。在看清向量與復(fù)數(shù)的表象和本質(zhì)之后，實(shí)際上可以從中抽取出維度的理念，向量兼有大小與方向兩個(gè)特征，復(fù)數(shù)則是二維數(shù)，二者維度相似，但具體參數(shù)不同。若能從一個(gè)更高的層次來看待這兩者，將有助于整體數(shù)學(xué)思維的提升。

四、結(jié)語

向量與復(fù)數(shù)的問題，在高中數(shù)學(xué)考試中屬于中等難度。對(duì)于這種較為基礎(chǔ)的題型，掌握概念就掌握了大部分解題方法，結(jié)合具體題目的訓(xùn)練，便可較為熟練地解題。本文將向量與復(fù)數(shù)結(jié)合探討，區(qū)分兩者的概念，解析典型的考點(diǎn)，并從中提煉出維度的理念，可作為學(xué)習(xí)的有效參考。

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