華蘅芳對微積分的認識

薛芳+郭世榮

【摘要】華蘅芳是微積分在我國早期的翻譯者與傳播者，他與傅蘭雅翻譯的《微積溯源》是我國第二部微積分譯著，對我國微積分的發(fā)展起到了承前啟后的作用。華蘅芳作為翻譯者，對微積分有諸多獨創(chuàng)性的理解，并第一次用幾何模型解釋微積分，他對微積分的理解被后人接受、采納，收錄在諸多微積分著作中。因此，華蘅芳對微積分的認識，推動了微積分在我國早期的發(fā)展與傳播。

【關(guān)鍵詞】華蘅芳 微積分 學算筆談 代微積拾級

【中圖分類號】G652 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）52-0228-02

一、引言

華蘅芳（1533-1902）是晚清著名數(shù)學家、教育家和翻譯家，我國近代數(shù)學的先行者和傳播者。華蘅芳自幼便厭文喜理，尤其對數(shù)學有著濃厚的興趣， “于故書中檢得坊本算法，心竊喜之，日夕展玩，盡通其義”[1]，“案頭所置者，惟百廿名家制義及古今算學之書，日夕流覽，舍此則取彼，舍彼則取此”[2]。華蘅芳博覽群書，對中國傳統(tǒng)數(shù)學進行了全面、系統(tǒng)的學習和研究，不僅如此，華蘅芳年少時中國爆發(fā)了鴉片戰(zhàn)爭，戰(zhàn)后西學的傳入也引起了他的興趣。他20歲時就學習了《數(shù)理精蘊》和《幾何原本》等西方數(shù)學知識，“始知算學有古今中西之異同”[3]。在李善蘭和偉烈亞力合譯《代數(shù)學》和《代微積拾級》期間，華蘅芳恰巧去上海墨海書館拜訪算學大家李善蘭，因此接觸到兩本譯著，并抄錄了李善蘭手稿中的諸多段落認真研習。待《代數(shù)學》和《代微積拾級》出版后（1859年），李善蘭還親自將兩本書贈予華蘅芳，自此華氏開始刻苦研習微積分知識，最終讀懂弄通。1874年華蘅芳與傅蘭雅共同翻譯了第二部介紹西方微積分學的著作《微積溯源》，作為兩部譯著的學習者和翻譯者，華蘅芳對微積分的認識和理解可代表著同階段算學家的普遍認識。

二、華蘅芳對微積分的認識

華蘅芳在深入研習《拾級》和翻譯完成《微積溯源》后，將自己對微積分的認識和體會撰寫在《學算筆談》中，《學算筆談》共有十二卷，其中第十卷為微分、十一卷為積分?！秾W算筆談》對微積分的內(nèi)容雖僅有兩卷，但此書并不是系統(tǒng)的介紹微積分，而是闡述了華蘅芳對微積分的認識以及他認為在學習微積分時的難點并予以進一步的解釋，“《代微積拾級》《微積溯源》二書言其布算之理學者觀此二書當可盡悉其所以然故可不必贅述矣惟其中偶有一二不易明之處則不得不為學者解之”，這是之前的微積分著作中鮮有的。因此《學算筆談》對晚清學者理解、認識和傳播微積分起到了非常重要的推動作用。

華蘅芳對微積分的評價也是非常高的，認為微積分是當時算學中至精至密之法，“第十卷而論微分第十一卷而論積分已為今日算學中極深之事矣”，而此新術(shù)是由代數(shù)之式稍變其意而來，它的創(chuàng)立是為了解決當時代數(shù)所不能解決或難以解決的問題，是實用性非常高的一種算學方法。微積分從代數(shù)中來又異于代數(shù)，主要體現(xiàn)在兩個方面，“一因微分之代法與代數(shù)之代法用意不同，一因微分術(shù)中自有各種變化之法為代數(shù)術(shù)中所無”，這使得習慣傳統(tǒng)數(shù)學運算方法的晚清學者學習起來會非常困難，華蘅芳在《學算筆談》中也反復強調(diào)了這個問題，并指出當時學者對微積分的認識以及在學習微積分時的心態(tài)，“微分術(shù)中各種變化之法實超出乎代數(shù)之外，而不可以代數(shù)之常法解之，所以初學之人驟觀微分之書幾不知其所語云何，每有探索經(jīng)年而莫得其從入之途者”，由此可以印證微積分傳入早期，大多數(shù)學者認為微積分理論晦澀難懂，不得其要甚至多年莫得其從入之門，嚴重影響了微積分在我國的傳播，因此早期微積分在我國并沒有得到很好的推廣和發(fā)展。

三、如何學習微積分

華蘅芳則認為 “及取微分之書觀之，乃覺大謬不然，其說理之處幾如囈語，其演算之法竟如兒戲”，雖然微分理論“幾如囈語”，然而演算的方法卻非常簡單，無非加減乘除變化而得，因此學習微積分只要找對途經(jīng)，并非遙不可及之事。華蘅芳作為著名的數(shù)學教育家，總結(jié)出一套教授微積分的方法，一要知道微積分是什么，二要了微積分的用途，三要學習微積分知識，四要對難點解析，五要糾正之前微積分習作的錯誤。用圖表的方式表達出來是：

概念——用途——內(nèi)容——難點——糾錯

1. 概念

華蘅芳指出“欲使學者明微分之理，必先使知微分為何物，不知微分為何物未有能明微分者也”，《代微積拾級》中對微分的定義是用函數(shù)和自變量增量闡明的，這對于晚清學者來說是非常模糊的概念，很難理解，而不清楚微積分是什么就很難進一步學習微積分知識。所以華蘅芳首先闡述了他對微分與積分的理解“設有兩線于此，一稍長一稍短，惟長短之所差者甚微幾不能以數(shù)計，則此所差之數(shù)卽為微分。設有兩面于此，一略大一略小，其大小之所差者甚微幾不能以數(shù)計，則此所差之數(shù)亦為微分”，“惟因體之微分為面，面之微分為線，線之微分為點。今以微分之式而還其原，是從點求線，從線求面，從面求體也，則與求積之意相類，故名之曰積分術(shù)”。華蘅芳用線與線、面與面極其微小“幾不可數(shù)”的差距來定義微分，雖然此定義并不嚴謹，但它使得抽象的微分概念有了具體的模型，使學者更直觀的認識微分，此微分的定義被晚清學者廣泛接受，在之后的微積分著作中都有闡述或體現(xiàn)。

2. 用途

理解概念后要了解微積分的用途，華蘅芳認為微分與積分相輔相成、互相為用。微分的作用就是求積分的一種手段，微積分重點在對微分求積，已達到解決問題的目的?！拔⒎e二術(shù)實有互相為用之勢，有積分而微分之用益神，無積分則微分之用不廣也”。華蘅芳在論述微分的作用時運用了反證的方法，僅指出若微分無所用，就不會被創(chuàng)造出來，沒有明確分析微分的具體作用， “夫微分若無所用，則算學中何必有微分，微分之用若不廣，則算學家何必竭其心思以求微分之各式，則微分之必有大用也明矣”。可以說明華蘅芳對微分的認識還不全面，缺乏運用微分解決問題的經(jīng)驗，不了解微分除與積分配合使用之外的其他用途。再一次反映了晚清學者對微積分的運用并不廣泛，微積分沒有在解決實際問題中起到真正的作用。endprint

3. 難點

在微積分學習方面，華蘅芳指出《拾級》和《溯源》已經(jīng)充分的介紹了微積分知識，所以在華氏此后的著作中不曾出現(xiàn)系統(tǒng)介紹微積分的內(nèi)容，而是將其認為的難點加以論述，為學者解惑。華氏認為學習微分的難點有“化之為零”與“去之不用者”、指數(shù)函數(shù)求微分、用反函數(shù)求弧之微分等，而求積分的難點則在于“化之之法”。 “余以為求積分之法不過從公微分式反求其函數(shù)，其理無甚難明，所不易明者各種化法耳”，“化之之法”不等同于積分，它是將不易積分的微分式通過運算化為易于積分的微分式，初習微積分的晚清學者極易將其與積分混淆，而不得積分之要。華蘅芳深知此法的復雜性，指出“惟題之形狀萬變不窮，故其化之之法亦非一端所能盡，有可以乘法化之者，有可以除法化之者，有可以通分之法化之者，有可以開方之法化之者，有可以二項之例化之者，有可以借代之法化之者，有可以虛代之法化之者，有可以微分之法化之。種種化法各有妙用，要當視題為何種形狀則用何法以化之”。而此法為積分的關(guān)鍵所在，華蘅芳在對積分的介紹中重點對“化之之法”進行了闡述。他將積分之題大概分為三類：一是不必化者，二是可以化者，三是不可不化者，并根據(jù)這三類問題將“化之之法”細分為十六款，詳細的說明了化法的運用，雖化法千變?nèi)f化，不能一一闡明，但華蘅芳的解析對晚清學者學習積分起到了非常重要的作用。

4.糾錯

華蘅芳在研習《拾級》時發(fā)現(xiàn)了微分第三款后所列三題答案錯誤，并在《學算筆談》中予以更正。用現(xiàn)代數(shù)學符號翻譯為：

（1）今有，令，求

《代微積拾級》答案為=28，正確答案為=48。

（2）今有，令，求。

《代微積拾級》答案為=1596，正確答案為=3600。

（3） 今有，令，求。

《代微積拾級》答案為=2522，正確答案為=2560。

華蘅芳還指出產(chǎn)生此錯誤的原因是將“逐秒增量”看作為“辛”即“h”，并以設題二為例，推導過程如下：

令得

除此之外，華蘅芳還指出《拾級》第十七卷第六款原答案有誤，但并沒有給出正確答案的解析。

四、小結(jié)

《學算筆談》可視為微積分的解析書，書中指出了微分、積分中難以被學者理解的概念、公式、運算方法以及《代微積拾級》中的錯誤。全書撰寫了華氏多年鉆研微分、積分的理解與體會，較此前的微積分著作有許多獨到的見解，如用幾何模型與代數(shù)式結(jié)合，來解釋微分的概念；用幾何來解釋變量辛“化之為0”、“截去不用”的原因；將函數(shù)歸類；對重點、難點加以解析等。這些理論都是華氏第一個提出，并為后世中算家采納，引用在微積分著作之中。然而《學算筆談》仍有諸多不足之處。如微分中最為重要的級數(shù)與極限的概念，書中沒有提及；諸多微分與積分的定理、公式以及例題，書中也基本省略，造成學者學習的困難。

總之，《學算筆談》中華氏對微分與積分的解析，在晚清數(shù)學中有著極其重要的意義，它標志著中算家對微積分的理解有了一定程度的進步，對微積分早期在中國的的傳播，起到了積極地推動作用。

參考文獻：

[1]華衡芳.學算筆談[M] .（1884），行素軒算稿.

[2]華衡芳.行素軒時文自序[M].（1884），行素軒文存.

[3]羅密士著.偉烈亞力，李善蘭，譯.代微積拾級[M].上海：墨海書館，1859.

[4]祝濤. 華蘅芳《學算筆談》研究[D].上海交通大學，2011.

[5]羅見今.中國近代數(shù)學和數(shù)學教育的先驅(qū)者——李善蘭、華蘅芳.遼寧師范大學學報（自然科學版），1986，增刊，22-34.endprint