用對稱性和安培環(huán)路定理求解長直載流螺線管磁場分布

孫松陽

【摘要】一般教材應(yīng)用安培環(huán)路定理求解無限長直載流螺線管的磁場分布時(shí)，將磁場線平行于軸線、管內(nèi)外磁場均勻、管外磁場為零作為已知結(jié)論，然后應(yīng)用安培環(huán)路定理，并未提及這些已知結(jié)論的證明過程。針對此點(diǎn)，本文結(jié)合磁場的對稱性特征，給出這些已知結(jié)論的證明過程，然后應(yīng)用安培環(huán)路定理給出螺線管磁場分布。

【關(guān)鍵詞】安培環(huán)路定理 長直載流螺線管 對稱性

【中圖分類號】G642.3 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）52-0185-01

一、引言

設(shè)一無限長直載流螺線管，單位長度上密繞匝線圈，通過每匝的電流強(qiáng)度為，求螺線管內(nèi)外的磁場分布。這一問題是應(yīng)用安培環(huán)路定理的典型例題[1]，對于這一問題，一般教材通常指出磁場線平行于軸線、管內(nèi)外磁場均勻以及管外磁場為零，然后直接使用安培環(huán)路定理，缺乏對磁場線平行于軸線、管內(nèi)外磁場均勻以及管外磁場為零的具體證明。本文旨在補(bǔ)充對磁場線平行于軸線、管內(nèi)外磁場均勻以及管外磁場為零的證明過程，從而給出求解長直載流螺線管磁場分布的完整過程。

二、分析和計(jì)算

我們接下來先給出一對鏡像對稱的電流元所產(chǎn)生磁場的特征，然后利用長直螺線管電流分布的對稱性，證明磁場線平行于軸線、管內(nèi)外磁場均勻以及管外磁場為零，最后應(yīng)用安培環(huán)路定理給出管內(nèi)的磁場。

1.引理：一對鏡像對稱的電流元在對稱面上產(chǎn)生的合磁場B與此對稱面垂直[2]。

一對電流元和相對于平面P鏡像對稱分布，電流大小相等，長度相等。

相對于P平面鏡像對稱的電流元和

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，兩個(gè)電流元在對稱面上任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

根據(jù)鏡像對稱性

所以

由于垂直于對稱面P，與平行，故上式括號內(nèi)為0，而平行于對稱面，故上式括號內(nèi)垂直于對稱面，上述引理成立。

2.磁場線平行于軸線Z軸

設(shè)長直螺線管軸線為Z軸，在軸上任一位置，作與軸垂直的平面P。螺線管的匝密度均勻，螺線管沿Z軸方向具有平移對稱性，故螺線管的電流相對平面P鏡像對稱。根據(jù)1給出的引理，平面P上的磁場方向與P垂直，即P上的磁場方向平行于Z軸。由于P的位置具有任意性，故長直螺線管在空間產(chǎn)生的磁場與Z軸平行。

3.同一條磁場線上的磁場處處相等

任取一條磁場線B1B2，再取該條磁場線上的任意兩點(diǎn)B1和B2。螺線管在Z軸方向具有平移對稱性，磁場線B1B2平行于Z軸，磁場線上的兩點(diǎn)B1和B2也具有平移對稱性，根據(jù)平移對稱性的特征，B1和B2兩點(diǎn)的磁場相等。我們也可以這樣認(rèn)為：在磁場線上的任意兩點(diǎn)B1和B2觀察到的電流空間分布完全相同，根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，兩點(diǎn)的磁場完全相同。由于磁場線是任意的、磁場線上的兩點(diǎn)也是任意的，所以同一條磁場線上的磁場處處相等。

4.螺線管內(nèi)（外）磁場都是均勻磁場

我們在螺線管內(nèi)作任一矩形環(huán)路L1： a→b→c→d→a，一邊bc平行于Z軸。根據(jù)安培環(huán)路定理

根據(jù)1知，沿著a→b和c→d的線積分為零，根據(jù)2、3可知，在路徑b→c和d→a上的強(qiáng)度均相等，方向都平行于軸線，所以

故d→a和b→c上的磁場相等。由于d→a和b→c位于平行于Z軸的任意磁場線上，故螺線管內(nèi)的各條磁場線上的磁場都相等，即螺線管內(nèi)的磁場是均勻磁場。根據(jù)單個(gè)載流線圈在Z軸上產(chǎn)生的的磁場方向向左，可知螺線管內(nèi)的磁場方向均向左。同理，我們在螺線管外作類似的矩形環(huán)路，可用同樣的方法證明螺線管外的磁場也是均勻磁場。

5.螺線管外的磁場為零

根據(jù)4，螺線管外的磁場均勻，只要給出無窮遠(yuǎn)處的磁場即可給出螺線管外的磁場。在數(shù)量級上，無窮遠(yuǎn)處的磁場與螺線管匝數(shù)、單匝線圈產(chǎn)生的磁場成正比。對無窮遠(yuǎn)處，匝數(shù)與近似成正比，同時(shí)根據(jù)畢奧-薩伐爾定律知，單匝線圈在無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生的磁場與1/近似成正比。所以，無窮遠(yuǎn)的磁場在數(shù)量級上近似與1/成正比。結(jié)果是，無窮遠(yuǎn)處時(shí)，磁場必然為零。由于管外磁場為均勻磁場，故管外磁場為零。這樣，我們通過螺線管在無窮遠(yuǎn)處的磁場為零證明了管外的磁場為零。

6.螺線管內(nèi)的磁場

最后，我們運(yùn)用安培環(huán)路定理給出管內(nèi)的磁場。如圖3，作任一矩形環(huán)路L2：e→f→g→h→e，一邊he平行于Z軸且位于管內(nèi)，另一邊f(xié)g位于管外。對該環(huán)路應(yīng)用安培環(huán)路定理

根據(jù)2-5的結(jié)論，可知

將上述兩個(gè)公式聯(lián)合，得到管內(nèi)的磁場為。

三、結(jié)論

我們首先根據(jù)無限長直螺線管電流分布的對稱性，證明了它的內(nèi)（外）磁場為均勻磁場，然后證明了管外的磁場處處為零，最后才用安培環(huán)路定理給出了管內(nèi)的磁場為。一般大學(xué)物理教材以此問題為例應(yīng)用安培環(huán)路定理時(shí)，對磁場均勻以及管外磁場為零并未予以證明，我們在此進(jìn)行了補(bǔ)充。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙近芳，王登龍，顏曉紅.大學(xué)物理下，第四版.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2014，55.

[2]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)，第三版.北京：高等教育出版社，2011，255.endprint