高中生物學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與應(yīng)用

程煒月

《普通高中生物課程標(biāo)準(zhǔn)（2018版）》將“模型”知識(shí)列為課程目標(biāo)。模型方法實(shí)施的研究不僅符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也是學(xué)生構(gòu)建科學(xué)思維的必要一環(huán)。中學(xué)生物學(xué)教學(xué)將模型方法應(yīng)用于課堂教學(xué)之中，以提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)探究能力。其中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型作為發(fā)現(xiàn)科學(xué)事實(shí)，揭示科學(xué)規(guī)律的過(guò)程和方法，在生物學(xué)教學(xué)中有著十分重要的意義。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有助于學(xué)生系統(tǒng)地、完整地學(xué)習(xí)和理解新知識(shí)，同時(shí)有助于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決一些復(fù)雜的問(wèn)題，還可以習(xí)得獲取知識(shí)的方法，提高解決問(wèn)題的能力。

1高中生物教學(xué)中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法和步驟（以細(xì)菌種群數(shù)量的增長(zhǎng)為例）

第一步：模型準(zhǔn)備。要構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型，首先要了解事件內(nèi)在的運(yùn)行規(guī)律，明確建模的目的，并搜集必需的各種資料，盡量弄清楚對(duì)象的數(shù)學(xué)特征。例如，在條件適宜時(shí)細(xì)菌種群數(shù)量的變化數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建中，研究對(duì)象是“細(xì)菌”，其特征是“進(jìn)行二分裂，每20min分裂一次”，建模的目的是探究細(xì)菌種群數(shù)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步解釋生物現(xiàn)象，揭示生命活動(dòng)規(guī)律。

第二步：模型假設(shè)。提出合理的假設(shè)是數(shù)學(xué)模型成立的前提條件，假設(shè)不同，所建立的數(shù)學(xué)模型也不相同。此建模中提到的假設(shè)是“在資源和空間無(wú)限的環(huán)境中，細(xì)菌種群的增長(zhǎng)不會(huì)受到種群密度增加的影響”，即在“理想”的環(huán)境中，此環(huán)境一般指的是“資源和空間充足，氣候適宜，沒(méi)有天敵，沒(méi)有疾病等”。

第三步：模型建構(gòu)。根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量的數(shù)量關(guān)系。由細(xì)菌的二分裂特征，1個(gè)細(xì)菌分裂一次得到2個(gè)細(xì)菌，2個(gè)細(xì)菌第二次分裂得到4個(gè)細(xì)菌……通過(guò)歸納法，得出細(xì)菌增殖的特點(diǎn)滿足指數(shù)函數(shù)的形式進(jìn)行增長(zhǎng)，因此用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為N_n=2ⁿ，其中Ⅳ代表細(xì)菌數(shù)量，n代表分裂次數(shù)。

第四步：對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)和修正。在理想狀態(tài)下細(xì)菌種群數(shù)量增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型是比較簡(jiǎn)單的，而生物學(xué)中大量現(xiàn)象與規(guī)律是極為復(fù)雜的，存在著許多不確定因素和例外的現(xiàn)象，需要通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)或觀察，對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)和修正。模型的構(gòu)建是一個(gè)不斷發(fā)展和完善的過(guò)程。

描述一個(gè)系統(tǒng)或性質(zhì)，具體形式有圖形、數(shù)據(jù)表、方程、不等式、函數(shù)等。根據(jù)數(shù)學(xué)模型的選定目的，做出簡(jiǎn)化和假設(shè)，可以解釋特定對(duì)象的現(xiàn)象，預(yù)測(cè)特定對(duì)象的未來(lái)狀態(tài)，是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息加以分析處理的結(jié)果。

2應(yīng)用實(shí)例

2.1構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決基因頻率難題

[例1]A為抗病基因，a為不抗病基因，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）雜合子Aa連續(xù)自交，F(xiàn)_n中AA：Aa：aa比例是多少？

（2）雜合子Aa連續(xù)自交，在逐代淘汰隱性個(gè)體的情況下，Pⁿ中AA：Aa比例是多少？

f3）雜合子Aa連續(xù)自交，在逐代淘汰隱性個(gè)體的情況下，第N次自交中會(huì)出現(xiàn)在F_n中AA：Aa：aa比例是多少（即第N代沒(méi)有淘汰aa）？

2.1.1根據(jù)題（1）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

為了解決題（1），可以建立親代Aa自交后各代的占比數(shù)學(xué)模型（表1）。

根據(jù)以上N代自交后代數(shù)學(xué)模型的規(guī)律性變化，可以直接得到題（1）的答案：

AA：Aa：aa=（1-1/2ⁿ），2：1/2ⁿ：（1-1/2ⁿ）/2，2=（2ⁿ-1）：2：（2ⁿ-1）

2.1.2根據(jù)題（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

題（2）的常規(guī)思路數(shù)學(xué)模型如圖1所示。

相對(duì)來(lái)說(shuō)，題（2）的常規(guī)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)繁瑣的構(gòu)建過(guò)程，但如果把題（1）的數(shù)學(xué)模型稍加變通，會(huì)更簡(jiǎn)便地解決題（2）：假設(shè)逐代淘汰的aa另外集中于實(shí)驗(yàn)室，以備科學(xué)實(shí)驗(yàn)，這樣每代都不會(huì)影響AA：Aa的比例，因此可直接根據(jù)題（1）的數(shù)學(xué)模型得到答案，即AA：Aa=（1-1/2ⁿ）/2：1/2ⁿ=（2ⁿ-1）：2。

2.1.3根據(jù)題（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

Aa自交后的每一代都會(huì)出現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)模型，即AA：Aa：aa=1：2：1。最后一代也是如此，從而F_n中AA的總數(shù)仍為（2ⁿ-1）。因此第N次自交后，F(xiàn)_n中AA：Aa：aa=（2ⁿ-1）：2：1。

在解析題（2）、（3）時(shí)應(yīng)用題（1）的數(shù)學(xué)模型，并做了一定的修正，比重建兩個(gè)新的數(shù)學(xué)模型更加便捷。學(xué)生在理解遺傳學(xué)知識(shí)的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)建模解決難題的樂(lè)趣，有利于訓(xùn)練嚴(yán)謹(jǐn)理性的思維，有利于在今后的學(xué)習(xí)中用科學(xué)思維解決實(shí)際難題。

2.2構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決雜交實(shí)驗(yàn)難題

[例2]家蠶結(jié)黃繭和白繭由一對(duì)等位基金Y.y控制，并受另一對(duì)等位基因I、i影響。當(dāng)某基因I存在時(shí)，基因Y的作用不能顯示出來(lái)?，F(xiàn)有下列兩組雜交實(shí)驗(yàn)（圖2），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）基因Y與基因I在染色體上的位置關(guān)系是____。

（2）若實(shí)驗(yàn)一的F2中結(jié)黃繭個(gè)體自由交配，后代中純合子所占比例為（用分?jǐn)?shù)表示）____。

（3）現(xiàn)有一類型家蠶與實(shí)驗(yàn)一的F。基因型相同，將該類型家蠶與實(shí)驗(yàn)一的F2中結(jié)白繭雜合子雜交，理論上后代結(jié)白繭家蠶中純合子所占比例為（用分?jǐn)?shù)表示）____。

（4）請(qǐng)分析實(shí)驗(yàn)二雜交實(shí)驗(yàn)圖解，寫(xiě)出兩親本個(gè)體可能的基因型組合：____。

2.2.1根據(jù)題（1）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

分析實(shí)驗(yàn)一可得：F₁白繭自由交配得到的F2中白繭：黃繭為13：3，則應(yīng)該為兩對(duì)非同源染色體上的非等位基因自由組合的性狀分離比9：3：3：1的變形。根據(jù)F：性狀分離比可以推出各代的基因型（圖2）。

因此題（1）中基因Y與基因I在染色體上的位置關(guān)系是位于非同源染色體上。

2.2.2根據(jù)題（2）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

根據(jù)題（2），把黃繭（YYii、Yyii）的蠶蛾作為一個(gè)新種群2，建立如下的數(shù)學(xué)模型，單獨(dú)討論Yy這對(duì)等位基因：Y的基因頻率P為2/3，y的基因頻率q為1/3，根據(jù)遺傳平衡定律子代基因型頻率為：YY=p²=4/9；Yy=2pq=419；yy=q²=1/9，且所有子代都是iiii。所以子代基因型及比例為：YYii=4/9（黃繭純合）；Yyii=4/9（黃繭雜合）；yyii=1/9（白繭純合）。故實(shí)驗(yàn)一F₂結(jié)黃繭個(gè)體自由交配，后代中純合子所占比例為5/9。

2.2.3根據(jù)題（3）構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

根據(jù)題（3）把白繭雜合子（設(shè)為親本1）作為一個(gè)新種群3，與F₁相同基因型YyIi（設(shè)為親本2）雜交，建立如下數(shù)學(xué)模型：

親本1中各白繭雜合子的基因型及比例為：2YyII；2yyTi；4YyIi；2YYIi，則新種群3中Y：y=1：1；I：i=3：2。當(dāng)親本1與親本2雜交時(shí)，兩對(duì)相對(duì)性狀分別用配子概率計(jì)算，則后代基因型頻率為：YY：2Yy：vv（1：2：1）；II：Ii：ii（3：5：2）。因此后代黃繭與白繭的比例為6：34，其中白繭純合組合為：3YYII；yyII；2yyii，因此白繭純合/白繭=（3+3+2）/34=4/17。

所以，F(xiàn)₂中結(jié)白繭雜合子與F₁基因型相同的個(gè)體雜交，理論上后代結(jié)白繭家蠶中純合子所占比例為4/17。

分析實(shí)驗(yàn)二雜交實(shí)驗(yàn)圖解，兩親本個(gè)體可能的基因型組合：IiYy×iiyy或IiYY×IiYy或IiYY×IiYY。其中特別值得注意的是容易漏掉的測(cè)交類型IiYy×iiyy。

通過(guò)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，有利于學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象，排除非本質(zhì)因素的干擾，舍棄次要因素和無(wú)關(guān)因素，突出反映事物的本質(zhì)特征，從而使生命現(xiàn)象或過(guò)程得到簡(jiǎn)化、純化和理性化，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。