數(shù)學(xué)之美

郭向麗

摘要：數(shù)學(xué)的世界，是一個充滿美的世界，如數(shù)的美、式的美、形的美等.在那里，我們可以感受到和諧、比例、整體和對稱，也可以感受到布局的合理，結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)、關(guān)系的和諧以及形式的簡潔.哪里有數(shù)，哪里就有美.

關(guān)鍵詞：簡潔美 和諧美 對稱美 創(chuàng)新美 統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)是各類學(xué)科的工具，是數(shù)和空間的結(jié)合，是科學(xué)和藝術(shù)的結(jié)合，是思維和想象的杰作.幾何線條的任意馳騁，代數(shù)數(shù)字的千變?nèi)f化，無不彰顯著數(shù)學(xué)的魅力.高度嚴(yán)密的邏輯性，讓人充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)之美.

一、數(shù)學(xué)之簡潔美

愛因斯坦說：“美，本質(zhì)上終究是簡單性.”他還認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡單性的美學(xué)準(zhǔn)則.他的這種美學(xué)理論，在數(shù)學(xué)界，也被多數(shù)人所認(rèn)同.樸素，簡單，是其外在形式.只有既樸實清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱得上至美.

歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范.世間的多面體有多少？沒有人能說清楚，但是它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從歐拉給出的公式.一個如此簡單的公式，包含了幾乎所有多面體的共同特性，怎能不令人驚嘆！這個公式成為近代數(shù)學(xué)兩個重要分支——拓?fù)鋵W(xué)與圖論的基本公式.由這個公式可以得到許多深刻的結(jié)論，對拓?fù)鋵W(xué)與圖論的發(fā)展具有重要作用.

二、數(shù)學(xué)之和諧美

數(shù)論大師賽爾伯格認(rèn)為，他喜歡數(shù)學(xué)的一個動機(jī)是如下公式：π4=1-13+15…，這個公式實在美極了，奇數(shù)1、3、5……這樣的組合，可以給出π.對于一個數(shù)學(xué)家來說，此公式猶如一幅美麗風(fēng)景畫.

歐拉公式：eiπ=-1，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號.歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序.與歐拉公式有關(guān)的棣美弗-歐拉公式是cosθ+isinθ=eiθ（1）.這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數(shù)——三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了.對它們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆，確是“天作之合”.

三、數(shù)學(xué)之對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”“美觀”.事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現(xiàn)的般配與和諧”.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形.圓是中心對稱圓形——圓心是它的對稱中心；圓也是軸對稱圖形——任何一條直徑都是它的對稱軸.梯形的面積公式：S=（a+b）h2，其中a是上底邊長，b是下底邊長；等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=（a1+an）n2，其中a1是首項，an是第n項.這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的，h與n是對稱的.對稱不僅美，而且有用.

四、數(shù)學(xué)之創(chuàng)新美

歐幾里得幾何曾經(jīng)是完美的經(jīng)典幾何學(xué)，其中的公理5“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”和結(jié)論“三角形內(nèi)角和等于二直角”似乎是天經(jīng)地義的絕對真理.但是羅馬切夫斯基采用了不同公理5的結(jié)論“過直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線平行”.在這種幾何里，“三角形內(nèi)角和小于二直角”，從而創(chuàng)造了羅氏幾何.黎曼幾何學(xué)沒有平行線.這些與傳統(tǒng)觀念相違背的理論，并不是虛無飄渺的.當(dāng)我們進(jìn)行遙遠(yuǎn)的天文測量時，用羅氏幾何學(xué)是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應(yīng)用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數(shù)學(xué)計算上的困難.每一個理論都在不斷創(chuàng)新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地.在不斷創(chuàng)新的過程中，數(shù)學(xué)得到發(fā)展.

五、數(shù)學(xué)之統(tǒng)一美

數(shù)的概念從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無數(shù)次坎坷，范圍不斷擴(kuò)大，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷增大.那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣.英國數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功.后來，他“被迫做出妥協(xié)”，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a1+a2i+a3j+a4k（a1 ，a2i，a3j，a4k為實數(shù)）的數(shù)，其中i、j、k如同復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位.若a3=a4=0，則四元數(shù)a1+a2i+a3j+a4k是一般的復(fù)數(shù).四元數(shù)的研究，推動了線性代數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線性結(jié)合代數(shù)理論.

總之，數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，每一側(cè)面的美都不是孤立的，而是相輔相成、密不可分的，需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，體會它的美學(xué)價值和它豐富、深隧的內(nèi)涵和思想，及其對人類思維的深刻影響.在學(xué)習(xí)過程中，讓我們與數(shù)學(xué)家一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受.endprint