淺析在數(shù)學(xué)解題中輔助圓的運(yùn)用

蔡耀龍

【摘 要】在初中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，有很多的幾何論證題目是常規(guī)思路無(wú)法解決的，可以利用圓所具有的特征，結(jié)合題目的具體情況，對(duì)難以解決的幾何題目進(jìn)行論證。本文簡(jiǎn)單介紹幾種利用圓的特征建造輔助圓，然后對(duì)需要論證的問(wèn)題進(jìn)行解決的思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；輔助圓的運(yùn)用

在初中的幾何題目當(dāng)中，有些時(shí)候要用到很麻煩的解題思路方法，甚至于連續(xù)的相似去求得邊長(zhǎng)或角度的關(guān)系；但是有時(shí)候添加必要的輔助線是解決平面幾何相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，同時(shí)往往也是解題的關(guān)鍵之所在；在平時(shí)的解題中，線段和直線（平行線或垂線）這些作為輔助線是我們大家最熟悉和最常用的一種手段。

而有些時(shí)候我們可以另外構(gòu)造一個(gè)圖形，比如作全等圖形，可通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方式來(lái)得到，這種我們稱(chēng)作構(gòu)造輔助圖形。其實(shí)我們也可以去根據(jù)條件構(gòu)造輔助圓，很多問(wèn)題的結(jié)論或證明過(guò)程都可以借助圓的相關(guān)一些知識(shí)或性質(zhì)直接就能得到，可此時(shí)的圓并不存在（有可能題目的已知條件中沒(méi)有提到或者涉及到相關(guān)圓；或有可能提到或涉及到圓，但是不是我們所需要的），這就需要我們根據(jù)需要或已知條件入手，再結(jié)合圖形把實(shí)際存在的圓找出來(lái)，就要去練就一雙 “火眼金睛”。

要懂得圓的相關(guān)知識(shí)，如經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)可以畫(huà)出無(wú)數(shù)個(gè)圓；經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓。圓有好幾個(gè)判定定理和性質(zhì)，但是要跟大家強(qiáng)調(diào)的是有兩個(gè)①圓的定義：到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等的所有的點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓。這兩個(gè)知識(shí)經(jīng)常用到，而且結(jié)合這兩個(gè)知識(shí)構(gòu)造輔助圓來(lái)解題在大部分題目中都能體現(xiàn)出來(lái)。其實(shí)這就是我的“火眼金睛”。

一、到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等的所有的點(diǎn)在同一個(gè)圓上

經(jīng)常看到題目給定好幾條線段相等，而且也能看到是過(guò)一固定點(diǎn)的所有線段相等，此時(shí)我們就應(yīng)該考慮這幾點(diǎn)共圓，經(jīng)過(guò)這幾點(diǎn)去作圓。

例1：

如圖1，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，

若∠CAD=76°，則∠CBD= 度。

解析：如果直接去想去做，估計(jì)連想都不會(huì)想，更何況是做，甚至于連半點(diǎn)思路都沒(méi)有。

但是如果抓住AB=AC=AD這個(gè)條件入手，只需以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，畫(huà)出圖形再結(jié)合圓的性質(zhì)就比較簡(jiǎn)單、直接、明了。

就能得到∠CBD等于∠CAD的一半，即38°。

也就是說(shuō)題目中只要出現(xiàn)AB=AC=AD，像這樣的共端點(diǎn)的等線段問(wèn)題就可以去考慮以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓，這樣既節(jié)省時(shí)間又容易做對(duì)，而且很輕松就可以考慮到。

二、同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓

同弧所對(duì)的圓周角都相等這個(gè)性質(zhì)經(jīng)常用到，同樣要懂得利用“同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓”來(lái)解決相關(guān)題目；此時(shí)構(gòu)造的圓可以把相等的角轉(zhuǎn)化出來(lái)，很容易就看出來(lái)，聯(lián)系起來(lái)。

例2：如圖2，已知拋物線y=a（x-2）2+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），連結(jié)AC、BC。

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若P為此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m.試探究：

①當(dāng)m為何值時(shí)，|PA-PC|的值最大？并求出這個(gè)最大值。

②在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：第（1）小題直接帶入去求得：

y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3

第（2）小題由三角形的三邊關(guān)系可知，|PA-PC|

∴當(dāng)P、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，|PA-PC|的值最大，為AC的長(zhǎng)度，

∴延長(zhǎng)CA交直線X=2于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn).

求得A（1，0），C（0，-3），則有OA=1，OC=3，∴AC=.

求得直線AC的解析式為y=3x-3，由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，∴點(diǎn)P（2，m）

∴m=3×2-3=3，∴當(dāng)m=3時(shí)，|PA-PC|的值最大，最大值為.

關(guān)鍵：第（3）小題 ，設(shè)直線x=2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，作ΔABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P1，P1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2，則P1、P2均為所求的點(diǎn)。（如圖3）

圖3

∵∠AP1B、∠ACB都是弧AB所對(duì)的圓周角，

∴∠AP1B=∠ACB，且射線DE上的其它點(diǎn)

P都不滿足∠APB=∠ACB.

∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線X=2上.

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2.

又∵OB=OC=3，

∴圓心E也在BC邊的垂直平分線

即直線y=-x上.

∴E（2，-2）.在RtΔADE中，DE=2，

，

由勾股定理得，

∴，

∴，∴.由對(duì)稱(chēng)性得

∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、.

上題利用同弧所對(duì)的圓周角都相等，但是關(guān)鍵是考慮圓心在哪？這是本題的關(guān)鍵所在。其實(shí)，題目也經(jīng)常出現(xiàn)同底同側(cè)的直角，或相互垂直的，此時(shí)我們也要考慮構(gòu)造輔助圓，借助幾點(diǎn)共圓來(lái)解題，即：同斜邊的直角三角形頂點(diǎn)共圓（斜邊就是圓的直徑）。

構(gòu)造圓要懂得利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”， 即去找直角（或垂直），這與直徑有密切關(guān)系，知道聯(lián)系起來(lái)處理問(wèn)題解決問(wèn)題；也就是說(shuō)有直角或者有垂直就考慮到直徑，同理如果又遇到直徑也要去考慮垂直。

參考文獻(xiàn)：

[1]金明明.輔助圓在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2015年11期

[2]謝雅禮.巧構(gòu)輔助圓解題[J].數(shù)理天地（高中版），2006年06期