關(guān)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用化歸思想的案例分析

摘 要：隨著新課改的實(shí)行，傳統(tǒng)的教學(xué)體制已經(jīng)不符合社會(huì)發(fā)展的需求。而高中數(shù)學(xué)難度大，學(xué)生的理解能力弱，學(xué)習(xí)興趣逐漸喪失，所以，老師需要改變教學(xué)思想，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。本文主要從化歸思想的重要相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了闡述。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；化歸思想；案例分析

一、 前言

在整個(gè)高中學(xué)習(xí)階段中，數(shù)學(xué)是難度較大的一門課程，對學(xué)生的能力要求很高。所以，大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常困難，學(xué)習(xí)效率不高，長此下去，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣會(huì)逐漸喪失，甚至很多學(xué)生放棄對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。如何帶動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)效率是目前需要解決的重點(diǎn)問題。

二、 化歸思想的重要意義

數(shù)學(xué)是高中階段學(xué)習(xí)的一門重要課程，和小學(xué)、初中階段的教學(xué)不同，老師在教學(xué)的過程中，要對學(xué)生們年齡段特征進(jìn)行充分考慮。高中階段是學(xué)生思維意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等形成的關(guān)鍵時(shí)期，如果能夠根據(jù)這一學(xué)習(xí)階段的特點(diǎn)進(jìn)行考慮，就可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。將化歸思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，能夠帶動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)解題的樂趣，掌握正確的解題方法，從而形成正確的思維習(xí)慣和良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，提高數(shù)學(xué)課程教學(xué)的效率。

三、 化歸原則及相關(guān)案例

（一） 簡單原則

化歸思想的一個(gè)重要的原則是將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化。例如：已知三個(gè)數(shù)a、b、c（都不等于0），且a+1b=b+1c=c+1a，證明a2b2c2=1。當(dāng)遇到這樣的一道證明題的時(shí)候，大多數(shù)同學(xué)都不知道從何下手，但是，如果將題進(jìn)行相應(yīng)的簡化就容易解決了。可以將原式子轉(zhuǎn)化為bc（a-b）=b-c；ab（a-c）=b-a；ac（b-c）=c-a，最后將這三個(gè)式子相乘就可以得出a2b2c2=1。

（二） 直觀原則

要將直觀原則體現(xiàn)到數(shù)學(xué)解題中，就需要學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合的能力，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問題通過直觀的圖形表現(xiàn)出來。例如：x，z，a，c都為正整數(shù)，x2+z2，z2+c2，（x-z）2+（a+c）2，三組式子中，任意兩組和都大于另一組。從題目上來看，這道題非常復(fù)雜，但是，如將這三組式子都看成是三角形的三邊，基于三角形兩邊之和大于第三邊，那么這道題解起來也就簡單多了。

四、 化歸方法及相關(guān)案例

（一） 換元法

所謂換元法指的是將原本復(fù)雜或者不標(biāo)準(zhǔn)的方程、函數(shù)等轉(zhuǎn)化成易理解、較簡單的式子，從而達(dá)到解決問題的效果。通常情況下，在數(shù)學(xué)解題過程中都運(yùn)用“局部換元法”即“整體換元法”來解決問題。在解題的過程中，將反復(fù)出現(xiàn)的式子或者是未知條件當(dāng)作一個(gè)整體，將其整體設(shè)置為一個(gè)變量，通過一個(gè)變量的替換來解決問題。

例如：（1）若cosα+2sinα=-5，求tanα；（2）已知α+β+γ=π，求證：sinα2sinβ2sinγ2≤18。這兩道題都可以使用換元法。在解第一道題的時(shí)候，設(shè)cosα=y，sinα=y，由此可以對已知式子進(jìn)行替換，即x+2y=-5，在三角函數(shù)中我們知道sin2α+cos2α=1，由此可以將這兩個(gè)式子聯(lián)立起來，x+2y=-5x2+y2=1，通過解方程，就可以得出2x=y，所以tanα=2。

第二道題相比第一道題有一定難度：設(shè)sinα2sinβ2sinγ2=t，則t=-12sinα2cosβ+γ2-cosβ-γ2=12sinα2cosβ-γ2-cosπ-α2=12sinα2cosβ-γ2-12sin2α2，即sinα2cosβ-γ2sinα2+2t=0，由sinα2∈R得Δ=cos2β-γ2-4×2t≥0，所以，t≤18cos2β-γ2≤18。

（二） 分解法

在數(shù)學(xué)解題過程中，使用分解法也能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)題目簡單化。例如：求數(shù)列1+1，1a+4，1a2+7，1a3+10，…1an-1+（3n-2）前n項(xiàng)和。這是在高中階段我們比較熟悉的數(shù)列求和問題，但從式子來看，沒有特別的規(guī)律可言，因此，在解題的時(shí)候，學(xué)生們通常都會(huì)采用傳統(tǒng)的方法來進(jìn)行計(jì)算，即使花費(fèi)很多的時(shí)間，也不一定能夠得出正確答案。若使用分解法進(jìn)行計(jì)算，那么就能快速的解答出來。從上述式子中，我們可以將它們進(jìn)行分解成：1+1a+1a2+…+1an-1，則等比數(shù)列的公比為1a，1+4+7+…+3n-2，等差數(shù)列公差是3。

等比數(shù)列求和：na=1

1-1an1-1a=a-a1-na-1a≠1；

等差數(shù)列求和：（3n-1）n2。

最后結(jié)果：

Sn=n+（3n-1）n2=（3n+1）n2a=1

a-a1-na-1+（3n-1）n2a≠1。

五、 結(jié)語

總而言之，隨著新課改的實(shí)行，在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的過程中，老師應(yīng)該更新自己的教學(xué)觀念和教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。

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作者簡介：

聞曉佳，江蘇省南京市，江蘇省南京市寧海中學(xué)。endprint