脈沖噪聲環(huán)境下基于最大相關熵準則的仿射投影算法

劉 誠， 邱 天 爽*， 李 景 春， 李 蓉

( 1.大連理工大學 電子信息與電氣工程學部, 遼寧 大連 116024；2.國家無線電監(jiān)測中心， 北京 100037 )

0 引 言

以最小均方(LMS)算法、遞歸最小二乘(RLS)算法為代表的一類自適應濾波算法在信道均衡、系統(tǒng)辨識、噪聲消除等領域有廣泛的應用．LMS算法原理簡單，計算量小，但是收斂速度較慢；RLS算法在收斂速度上比LMS算法快一個數(shù)量級，而它的代價是增加了計算復雜度[1]．

作為LMS算法的擴展又不同于LMS算法，仿射投影算法(APA)利用當前以及過去一段時間的輸入值和觀測值，即一個N階的向量作為輸入數(shù)據(jù)，取代LMS算法以單點作為輸入數(shù)據(jù)的方法，可以有效地減少樣本的梯度噪聲，適用于輸入數(shù)據(jù)頻譜不平穩(wěn)的情況．其算法性能介于LMS算法與RLS算法之間，在收斂速度和計算復雜度之間取得較好的平衡[2]．目前，針對仿射投影算法的研究主要集中在使用變步長的方法改善收斂性能上，文獻[3]和文獻[4]均利用仿射投影誤差的范數(shù)修正步長的大小，沒有從根本上改進算法的抗噪聲能力．文獻[5]用階躍函數(shù)改進仿射投影算法的代價函數(shù)，由于階躍函數(shù)只能取最大或最小值，在強脈沖噪聲環(huán)境下算法的收斂速度下降．

傳統(tǒng)的自適應濾波算法常以最小均方誤差準則(MSE)作為代價函數(shù)，這樣在假設噪聲服從高斯分布或至少具有有限的二階統(tǒng)計量的情況下，傳統(tǒng)的算法會取得較好的收斂性能．而在自然環(huán)境或許多工程技術應用中，噪聲常表現(xiàn)出一種脈沖狀的非高斯性，并且往往具有很大的幅度，在數(shù)學上用穩(wěn)定分布的模型來描述這一類噪聲．目前常用的自適應濾波算法大多數(shù)的代價函數(shù)都是基于最小均方誤差準則，包括仿射投影算法在內(nèi)的這一類算法在穩(wěn)定分布的噪聲下會出現(xiàn)失調(diào)或者不收斂等情況[6]，無法滿足自適應濾波的要求．針對穩(wěn)定分布噪聲的情況，Liu等在文獻[7]中提出了最大相關熵準則(MCC)，基于這種準則開發(fā)的算法，可以在脈沖噪聲條件下表現(xiàn)出較好的性能．在參數(shù)估計方面，文獻[8]將MSE與MCC相結(jié)合修正仿射投影算法的目標函數(shù)，并在混合高斯噪聲環(huán)境下取得較好收斂效果．文獻[9]將最大相關熵準則與韌性子空間跟蹤算法結(jié)合，證明了該算法在穩(wěn)定分布噪聲以及混合高斯噪聲模型下具有更優(yōu)的子空間跟蹤性能．

在實際應用中，特別是在無線電監(jiān)測環(huán)境下，接收信號常常會遇到脈沖性噪聲的影響，使得無線定位或參數(shù)估計的結(jié)果與真實值有較大偏離．此外，若被監(jiān)測的信號是運動的，則需要采用自適應算法對其進行動態(tài)估計．由此可見，無線電監(jiān)測的實際問題亟須設計實現(xiàn)一種對于脈沖性噪聲有較好抑制作用的自適應濾波或參數(shù)估計方法．綜上，本文以最大相關熵準則為代價函數(shù)，改進仿射投影算法，推導出適用于脈沖噪聲下的基于最大相關熵準則的仿射投影算法(MCCAPA)．并以SαS穩(wěn)定分布(對稱α穩(wěn)定分布)為脈沖噪聲模型，通過實驗證明本文算法在適用于脈沖噪聲環(huán)境的同時，具有較快的收斂速度和較好的收斂性能．

1 研究背景

1.1 SαS分布噪聲模型

SαS分布噪聲模型是唯一一類滿足廣義中心極限定理的分布．與高斯分布相比，SαS分布具有更厚的統(tǒng)計拖尾，因此在時域上具有顯著的脈沖特性，可以很好地描述自然環(huán)境下或工程技術應用中具有較強脈沖性的噪聲類型，其噪聲模型的特征函數(shù)可以表示為

(1)

式中：0<α≤2，為特征指數(shù)，用于描述穩(wěn)定分布過程的脈沖程度，且α取值越小，表現(xiàn)出越強的脈沖性，當α=2時，穩(wěn)定分布退化為高斯分布；a∈R，為位置參數(shù)，表示分布的均值或中值；γ∈(0，∞)，為分散系數(shù)，用于描述分布的分散情況[10-11]．通過上述模型可以很好地構(gòu)造出在實際中普遍存在的具有較強脈沖性的非高斯現(xiàn)象．因此，本文選擇SαS分布來構(gòu)造脈沖噪聲環(huán)境．

1.2 最大相關熵準則

對于兩個隨機變量X和Y，其相關熵的定義為

Vσ(X，Y)=E[κσ(X-Y)]

(2)

其中E[·]為期望，κσ(·)為核函數(shù)，σ為核長．

核函數(shù)可以減少把輸入數(shù)據(jù)從低維空間到高維空間映射后產(chǎn)生的計算量，同時映射到高維空間的維數(shù)越大，區(qū)分輸入數(shù)據(jù)差異的性能越好．其中，高斯核函數(shù)可以將輸入數(shù)據(jù)映射到無限維空間，而其余的方法只能映射到有限維空間，故選擇高斯核函數(shù)代入相關熵的表達式可得到：

(3)

文獻[7]提出了相關熵可以誘導出一個測度距離(correntropy induced metric，CIM)，并給出CIM的表達式為CIM(X，Y)=[κσ(0)-Vσ(X，Y)]1/2．實際上，最大相關熵準則是依據(jù)最大化相關熵Vσ(X，Y)等價于最小化CIM(X，Y)這一性質(zhì)的，即當測度距離越小時，兩個變量的相似程度越高，其相關熵的值越大．因此，依據(jù)最大相關熵準則，當Vσ(X，Y)取得最大值時，兩個隨機變量X和Y的誤差e(i)=X(i)-Y(i)最小[12]．

2 算法介紹

2.1 仿射投影算法

設u為n×1維的零均值隨機變量，d為一個零均值隨機標量，w為自適應濾波器的系數(shù)向量，給出基于最小均方誤差準則的代價函數(shù)為

minJ(w)=E[(d-wTu)2]

(4)

由式(4)可知，仿射投影算法濾波器權值的最佳解表達式為

w＾=argminwE[e2(w)]

(5)

w(i)=w(i-1)+η(Ru+εI)-1[rdu-Ruw(i-1)]

(6)

其中ε為平滑因子，是一個小的正數(shù)；η為人工設定的步長．在實際的濾波過程中，理論上無法獲得完整的協(xié)方差矩陣，仿射投影算法采用當前與之前共K個時刻的輸入值和觀測值來估計Ru和rdu的值，即

R＾u=1KU(i)UT(i)

r＾du=1KU(i)d(i)

(7)

其中U(i)=(u(i-K+1) …u(i))n×K，d(i)=(d(i-K+1) …d(i))T．將估計值代入式(6)，得到仿射投影算法的遞推公式為

w(i)=w(i-1)+ηU(i)[UT(i)U(i)+εI]-1·

[d(i)-UT(i)w(i-1)]

(8)

2.2 基于最大相關熵準則的仿射投影算法

仿射投影算法在高斯噪聲環(huán)境下可以取得較好的收斂性能，但是在脈沖噪聲環(huán)境下，由于它的代價函數(shù)是基于最小均方誤差準則的，不存在有限的二階或高階統(tǒng)計量，會使算法性能退化，或者出現(xiàn)不收斂的情況．為此，本文提出基于最大相關熵準則的仿射投影算法(MCCAPA)，使得其在脈沖噪聲環(huán)境下取得較好的效果．

minE[ρ(e(i))]=minE[κσ(0)-κσ(e(i))]=

minE[(1-exp(-e2(i)/

maxE[exp(-e2(i)/2σ2)/

maxE[κσ(e(i))]

(9)

式中“?”表示等價轉(zhuǎn)換，根據(jù)上式的轉(zhuǎn)換得到基于最大相關熵準則的代價函數(shù)為

maxJ(w)=maxE[κσ(e(i))]=

wnTu(i))2/2σ2)]

(10)

由代價函數(shù)可以得到基于最大相關熵準則的仿射投影算法濾波器最佳權值表達式為

w＾=argmaxwE[κσ(e(w))]

(11)

應用平滑牛頓遞歸算法推導出遞歸方程：

w(i)=w(i-1)+η(Ru+εI)-1J(w)=

(12)

其中e(i)為n×K階矩陣．

根據(jù)M估計自適應濾波理論，可以得到最大相關熵準則代價函數(shù)的維納解為

(13)

式中：Rκ，u為輸入矩陣U(i)的自協(xié)方差矩陣，rκ，du為輸入矩陣U(i)與目標矩陣d(i)的互協(xié)方差矩陣，應用仿射投影算法原理得到估計式為

R＾κ，u=1KU(i)UT(i)

r＾κ，du=1KU(i)d(i)

(14)

將上式代入式(12)，利用矩陣求逆引理，得到MCCAPA的遞推公式為

(15)

其中e(i)=d(i)-UT(i)w(i-1)．

給出MCCAPA實現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化w(0)=0，選擇步長η，核長σ．

(2)計算

y(i)=UT(i)w(i-1)

e(i)=d(i)-y(i)

(3)重復(2)至均方誤差值收斂于穩(wěn)態(tài)誤差．

MCCAPA利用最大相關熵準則作為代價函數(shù)，先由迭代誤差代入最大相關熵準則的代價函數(shù)計算出一個權值k(i)，再代入迭代公式進行迭代．當?shù)`差e(i)受到脈沖噪聲的影響而增大時，權值k(i)減小，將權值代入迭代公式得到濾波器系數(shù)w(i)的變化較小，從而保證了算法不會受到脈沖噪聲的影響而出現(xiàn)不收斂或收斂性能下降的情況；反之，當?shù)`差e(i)較小時，權值k(i) 較大，保證了算法可以取得較快的收斂速率．

MCCAPA通過誤差自適應地控制迭代公式中濾波器系數(shù)的大小，既可以在迭代過程中使得濾波器系數(shù)免受脈沖噪聲的影響，保證算法的收斂性能，也可以在噪聲較小時快速調(diào)整濾波器的系數(shù)，保證算法的收斂速度．

3 仿真實驗

本文采用維納模型構(gòu)建的非線性信道均衡問題來考查各算法性能，其模型結(jié)構(gòu)如圖1所示．

在維納模型中，輸入信號先經(jīng)過線性變換，再經(jīng)過非線性變換，施加噪聲，得到接收機接收信號r(n)[13]．本文仿真信號采用BPSK信號，線性變換公式為

x′(n)=x(n)+0.5x(n-1)

(16)

圖1 維納非線性信道模型

非線性變換公式為

y(n)=x′(n)-0.5[x′(n)]2-0.2[x′(n)]3

(17)

將BPSK信號通過式(16)、(17)處理后，再施加穩(wěn)定分布噪聲，最終得到接收信號r(n)．

SαS分布在α<2時二階矩無界，因此引入廣義信噪比(generalized SNR，Rgsn)的概念．本文將在不同α取值以及不同廣義信噪比的情況下討論MCCAPA與APA的收斂速度和誤差性能的差別，并將討論在不同核長選擇的情況下，MCCAPA的誤差性能．

實驗1在MCCAPA的核長取值、步進取值均為最佳的條件下，設定廣義信噪比為10 dB，在廣義信噪比較理想的情況下比較噪聲的沖激程度對各算法的影響．α=1.8時，噪聲沖激程度較小，接近于高斯噪聲，進行100次蒙特卡羅實驗，得到兩種算法的學習曲線如圖2所示．可以觀察到，MCCAPA取得較快的收斂速度，APA收斂速度較慢．學習曲線穩(wěn)定后MCCAPA的誤差控制性能要稍好于APA．

圖2 α=1.8時學習曲線

逐步減小α的取值，使噪聲的沖激程度不斷加大．當α=1.1時，如圖3所示，在受到嚴重沖激噪聲干擾的情況下，MCCAPA收斂速度較快，且出現(xiàn)波動后可以快速收斂．而APA會出現(xiàn)學習曲線突變后不收斂的情況，不適用于強沖激噪聲的惡劣情況．

圖3 α=1.1時學習曲線

繼續(xù)減小α的值，MCCAPA受沖激噪聲的影響不大，且具有較好的韌性，而APA則出現(xiàn)不收斂的情況，算法不適用．圖4給出了在廣義信噪比為10 dB時均方誤差隨α變化的情況，可以觀察到，MCCAPA在脈沖噪聲環(huán)境下的穩(wěn)態(tài)誤差要小于APA，且在強脈沖噪聲環(huán)境下，APA不收斂，無法使用．

圖4 GSNR為10 dB時均方誤差隨α變化情況

實驗2設α=1.6保持不變，改變廣義信噪比的值，觀察兩種算法在不同廣義信噪比下的性能．在廣義信噪比較高的情況下，兩種算法的收斂情況與圖2相似．逐步減小廣義信噪比的值，當廣義信噪比為4 dB時，如圖5所示，APA會發(fā)生不收斂的情況，MCCAPA收斂性能較好，并且MCCAPA 收斂速度更快，穩(wěn)態(tài)波動較小．

圖5 GSNR為4 dB時學習曲線

圖6給出在α=1.6保持不變的情況下改變廣義信噪比，兩種算法在迭代第600次時均方誤差隨廣義信噪比的變化情況．

圖6 α=1.6時均方誤差隨廣義信噪比變化情況

當廣義信噪比的值小于8 dB時，APA會出現(xiàn)穩(wěn)定誤差變大的情況，算法的收斂性能較差．如圖6所示，在廣義信噪比較大，即實驗環(huán)境較理想的情況下，兩種算法的穩(wěn)態(tài)誤差相差不大，MCCAPA 的誤差較小，體現(xiàn)了自適應濾波的效果較好．隨著廣義信噪比的減小，兩種算法的穩(wěn)定誤差都會隨之增大，然而在較為惡劣的情況下，APA的誤差會顯著增加，可以看出MCCAPA在收斂性能以及誤差控制上優(yōu)于APA．

實驗3在理想條件下，針對MCCAPA，討論核長σ對收斂性能的影響．核長是高斯核中用來抑制噪聲干擾的重要參數(shù)，鑒于目標信號和噪聲的多樣性、復雜性，無法通過理論推導的方式確定核長的最優(yōu)解，而是通過大量仿真實驗來確定最合適的核長．表1給出廣義信噪比為20 dB、α=1.8 的情況下，核長在0～2.0變化，MCCAPA在迭代第600次時均方誤差．

表1 均方誤差隨核長的變化情況

觀察可知，當核長在0～2.0變化時，均方誤差總體上呈現(xiàn)出先下降再上升的趨勢，在σ=0.8時取得最小值．

4 結(jié) 語

針對最小均方誤差準則在脈沖噪聲情況下性能不好的問題，本文使用最大相關熵準則修正仿射投影算法的代價函數(shù)，推導出基于最大相關熵準則的仿射投影算法．并通過實驗證明在沖激性較強以及信噪比較低等情況下，新算法MCCAPA 都具有比較好的收斂速度與較小的穩(wěn)態(tài)誤差，更加適應于實際應用中的情況．

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