一種用三線(xiàn)擺測(cè)量重力加速度的方法探討

董 科 高 紅 朱 峰 羅觀洲 李 華

(北京航空航天大學(xué) 1能源與動(dòng)力工程學(xué)院； 2物理科學(xué)與核能工程學(xué)院； 3計(jì)算機(jī)學(xué)院，北京 100191)

重力加速度在科學(xué)研究和日常生活中有著重要的意義，比如洲際彈道導(dǎo)彈軌道的設(shè)計(jì)，地下礦物資源的勘探，海洋洋流的分析等等都離不開(kāi)對(duì)地球重力場(chǎng)的測(cè)量和分析[1]。同時(shí)，重力加速度作為最重要的力學(xué)量之一，在大學(xué)物理教學(xué)中占有重要的地位。目前相關(guān)研究采用了多管落球法[2]，落球彈跳法[3]，阿基米德定律排水法[4]等實(shí)驗(yàn)方法來(lái)完成對(duì)重力加速度的測(cè)量。它們雖然擴(kuò)展了學(xué)生的實(shí)驗(yàn)思路，但是實(shí)驗(yàn)原理推導(dǎo)復(fù)雜，操作過(guò)程繁瑣。

本文結(jié)合實(shí)驗(yàn)室常見(jiàn)的三線(xiàn)擺和生活中普通的智能手機(jī)，對(duì)重力加速度的測(cè)量進(jìn)行了探討。它基于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理推導(dǎo)了重力加速度測(cè)量公式，同時(shí)利用手機(jī)傳感器和濾波算法測(cè)量得到公式所需的轉(zhuǎn)動(dòng)周期，最后通過(guò)數(shù)據(jù)擬合計(jì)算得到當(dāng)?shù)刂亓铀俣取?/p>

1 實(shí)驗(yàn)原理

兩個(gè)半徑分別為R和r(R>r)的剛性圓盤(pán)，用對(duì)稱(chēng)分布的3條等長(zhǎng)的無(wú)彈性的，質(zhì)量可忽略的細(xì)線(xiàn)相連，上盤(pán)固定，則構(gòu)成一振動(dòng)系統(tǒng)，稱(chēng)為三線(xiàn)擺，如圖1所示。上盤(pán)固定，下盤(pán)可以繞中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)。若調(diào)節(jié)三線(xiàn)擺使上下盤(pán)都處于水平狀態(tài)，當(dāng)擺角θ0很小，懸線(xiàn)長(zhǎng)度l遠(yuǎn)大于R，忽略空氣阻力和懸線(xiàn)扭力時(shí),可以證明物體繞中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0為[5]

(1)

式中，m0為下盤(pán)質(zhì)量；R為下盤(pán)懸點(diǎn)距中心轉(zhuǎn)軸距離；r為上盤(pán)懸點(diǎn)距中心轉(zhuǎn)軸距離；T0為轉(zhuǎn)動(dòng)周期；H為上下盤(pán)垂直距離。

圖1 三線(xiàn)擺示意圖

若將兩個(gè)相同的圓柱砝碼(m)對(duì)稱(chēng)地放置在下盤(pán)上，保持中心轉(zhuǎn)軸OO′不變，則此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變?yōu)?/p>

(2)

同時(shí)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理知：

I-I0=2mx2

(3)

式中,x為圓柱砝碼距中心轉(zhuǎn)軸OO′距離.

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)有：

(4)

由此式知，T2與x2成正比關(guān)系。在具體實(shí)驗(yàn)中，改變圓柱砝碼離中心轉(zhuǎn)軸OO′的距離x，保持其他參數(shù)不變，測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)周期T，利用最小二乘法算出直線(xiàn)斜率b后就能算出當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭[6]。

智能手機(jī)中為了完成姿態(tài)解算，自動(dòng)轉(zhuǎn)屏等功能，內(nèi)嵌有三軸加速度傳感器，能夠測(cè)量隨體坐標(biāo)系x,y,z3個(gè)方向的加速度，如圖2所示。一般智能手機(jī)采樣頻率可以達(dá)到50Hz，精度為0.001m/s2[7]。當(dāng)把手機(jī)如圖3水平放置時(shí)，手機(jī)x軸方向的加速度ax就反映了下盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。

圖2 智能手機(jī)隨體坐標(biāo)系

圖3 智能手機(jī)放置示意圖

理論上，三線(xiàn)擺周期性轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度呈余弦規(guī)律變化，通過(guò)測(cè)量加速度的周期便能夠獲得轉(zhuǎn)動(dòng)周期T。但相關(guān)學(xué)者研究表明，實(shí)際情況中下盤(pán)的運(yùn)動(dòng)為水平振動(dòng)和圓振動(dòng)耦合的拍現(xiàn)象[8]。實(shí)際測(cè)量中加速度數(shù)據(jù)點(diǎn)及擬合曲線(xiàn)如圖4所示，為一振幅周期性變化的余弦曲線(xiàn)，與研究結(jié)果相符。

圖4 下盤(pán)加速度數(shù)據(jù)及擬合曲線(xiàn)

若直接對(duì)加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理來(lái)得到轉(zhuǎn)動(dòng)周期，計(jì)算量大，精度低，并且難以在手機(jī)上實(shí)現(xiàn)?？紤]到余弦曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)同一高度時(shí)的相鄰兩點(diǎn)的時(shí)間間隔即為周期，本文采用特定高度去截取數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的時(shí)間間隔，求取平均值后即為周期[9]?；谶@一思想，本文實(shí)現(xiàn)了對(duì)應(yīng)的濾波算法與程序，特定高度取為前20%大的加速度值的平均值。

2 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，由三線(xiàn)擺，砝碼，智能手機(jī)組成。為了比較手機(jī)的周期測(cè)量精度，還加入了數(shù)字毫秒計(jì)時(shí)器。智能手機(jī)中寫(xiě)入了實(shí)驗(yàn)專(zhuān)用的程序，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)輸入，周期采集，結(jié)果計(jì)算一體化的功能。具體實(shí)驗(yàn)步驟如下：

(2) 利用水平儀調(diào)整下盤(pán)姿態(tài)，放置智能手機(jī)，調(diào)試數(shù)字毫秒計(jì)時(shí)器。

(3) 分別改變砝碼距中心轉(zhuǎn)軸距離x為60mm,80mm,100mm,輕轉(zhuǎn)下盤(pán)，啟動(dòng)測(cè)量。

(4)計(jì)算實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分析誤差。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置

圖6 實(shí)驗(yàn)方案流程示意圖

表1 相關(guān)實(shí)驗(yàn)參數(shù)

表2 周期和重力加速度的測(cè)量

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

相關(guān)的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，總質(zhì)量m0，圓柱砝碼質(zhì)量m，上懸點(diǎn)距離Lup，下懸點(diǎn)距離Ldown，上下盤(pán)距離H，分別由表1列出。周期和加速度的測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表2。

由公式(4)可以推導(dǎo)得不確定度計(jì)算公式：

(5)

代入相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算可得，智能手機(jī)不確定度Ug=0.05，計(jì)數(shù)器不確定度Ug=0.06，則最終測(cè)量結(jié)果表述為

智能手機(jī)：g±Ug=(9.84±0.05)m/s2

計(jì)數(shù)器：g±Ug=(9.73±0.06)m/s2

由三線(xiàn)擺簡(jiǎn)弦運(yùn)動(dòng)近似條件可知，當(dāng)上下盤(pán)距離H減小時(shí)，測(cè)量誤差將會(huì)上升[11，12]。同時(shí)，在放置智能手機(jī)時(shí)，很難使手機(jī)質(zhì)心與轉(zhuǎn)軸OO′完全重合。因此，本文探究了上下盤(pán)距離H和手機(jī)偏心距離x對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3,4所示。

表3 不同H下重力加速度的測(cè)量結(jié)果

表4 不同x下重力加速度的測(cè)量結(jié)果

通過(guò)分析表3和表4可以看出，當(dāng)高度H減小，偏心距x增大時(shí)，智能手機(jī)和計(jì)時(shí)器的測(cè)量誤差都有所上升，相對(duì)誤差在2%～3%之間。高度H對(duì)兩者影響程度相同，而偏心距x對(duì)智能手機(jī)影響更大。這可能是由于偏心距過(guò)大時(shí)，影響了下盤(pán)的質(zhì)量分布，中心轉(zhuǎn)軸不再與OO′重合，但誤差仍然在可接受的范圍內(nèi)。

4 結(jié)論

本文結(jié)合實(shí)驗(yàn)室里常見(jiàn)的三線(xiàn)擺裝置和生活中常見(jiàn)的智能手機(jī)，提出了基于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平行軸定理的重力加速度實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法。通過(guò)智能手機(jī)的引入，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)輸入，周期采集，結(jié)果計(jì)算三位一體的功能。并且經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量檢驗(yàn)，該方法具有較高的測(cè)量精度。該方法物理原理簡(jiǎn)單易懂，實(shí)驗(yàn)操作更為簡(jiǎn)潔，降低了對(duì)于實(shí)驗(yàn)器材的要求，能夠讓學(xué)生直接抓住物理實(shí)驗(yàn)背后的物理本質(zhì)，它更能激發(fā)學(xué)生探究物理現(xiàn)象和掌握物理實(shí)驗(yàn)方法的熱情。

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