淺談幾種主要概率分布的近似關系

劉劭琮

【摘要】我們針對常見的超幾何分布和二項分布，通過極限理論證明超幾何分布近似于二項分布，二項分布近似于泊松分布，而在一定條件下二項分布和泊松分布都會近似于正態(tài)分布，通過這些近似關系，我們在合適的條件下可以有效的估計出一些較難計算的概率。

【關鍵詞】超幾何分布 ?二項分布 ?泊松分布 ?正態(tài)分布 ?近似

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）42-0126-01

1.概率理論基礎

1.1序列極限的定義

設{xn}是一個序列，若存在常數(shù)a∈R，使得？坌ε>0，？堝N∈N，當n>N時，有xn-a<ε，則稱{xn}收斂，極限為a。

1.2四種概率分布的定義

二項分布：在相同條件下做n次獨立試驗，每次試驗只有兩種結(jié)果A或B，其中p=P（A），1-p=P（B），則在n次獨立試驗中出現(xiàn)A的計數(shù)k是一個隨機變量X，且P（X=k）=C■■p■（1-p）■，（k=0，1，2，…，n），則X稱服從二項分布，記為X～b（n，p），X的期望為np。

超幾何分布：設有N件產(chǎn)品，M件次品，從中抽取n件產(chǎn)品，出現(xiàn)Y件次品的概率為超幾何分布P（Y=m）=■（m≤maxn，M），Y的期望為n■，事實上超幾何分布與二項分布的唯一區(qū)別就在于二項分布是有放回的，超幾何分布是無放回。我們也可以將Y看成n個服從0-1分布隨機變量Yi（i=1，…，n）的和，這里P（Yi=1）=■，但是當i≠j時，Pi與Pj是不獨立的。

泊松分布：廣泛用于社會生活和物理科學中，比如記錄網(wǎng)站訪問次數(shù)，公共汽車站到來乘客數(shù)量，放射性分裂落入某一區(qū)域的粒子數(shù)量，都服從泊松分布，隨機變量Z服從泊松分布P（λ），則P（Z=k）=■e■，（k=0，1，…）。

正態(tài)分布：自然界應用最廣泛的分布，很多現(xiàn)象都呈現(xiàn)正態(tài)分布的形態(tài)，大部分分布最后的極限都是正態(tài)分布，隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ■），對應的密度函數(shù)為p（x）=■e■，-∞

2.分布之間的近似關系

2.1二項式分布近似超幾何分布

定理1：當產(chǎn)品數(shù)量足夠大，且次品率穩(wěn)定，即■■=p為常數(shù)，則■■=C■■p■（1-p）■。

證明：■■

=■■■■

=■C■■■■…■■…■

=C■■p■（1-p）■

2.2泊松分布近似二項分布

在實際應用中，我們常遇到n很大，p很小（一般p<0.1）的伯努利分布，而乘積np的大小適中，此時可以用泊松分布逼近二項分布，而泊松分布的計算形式較為簡單。

定理2：在獨立試驗中，以pn表示結(jié)果A出現(xiàn)的概率，與試驗總數(shù)n有關，如果λn=npn→λ，則當n→∞時，C■■p■■（1-p■）■→■e■。

證明：C■■p■■（1-p■）■=■■■1-■■=■1-■1-■…1-■1-■■，當k固定時■λ■■=λ■，且■1-■■=■1-■■=e■，■1-■1-■…1-■=1，所以■C■■p■■（1-p■）■=■e■。

2.3正態(tài)分布近似二項分布

定理3：對于隨機變量Xn～b（n，p）（0

通過上述公式我們在n很大的時候可以計算p{t1≤xn≤t2}，證明可以參見文獻[3]。

2.4正態(tài)分布逼近泊松分布

定理4：對任意正實數(shù)t，有■■■=■■e■dx=φ（t）

其中β=■，證明參見文獻[3]。

3.分布近似關系的應用

事實上只有在λ很大的情形正態(tài)分布才能很好的逼近泊松分布，所以當n很大，而p不大也不小的時候，λ=np較大，此時正態(tài)分布能夠很好的近似泊松分布。但是泊松分布近似二項分布則需要p很小，此時即使n不是很大也可以近似的很好，但是在這種情況下正態(tài)分布很難近似泊松分布，所以也很難近似二項分布。

參考文獻：

[1]傅軍和.二項分布和泊松分布的剖析[J].統(tǒng)計教育，2006（10）：10-11.

[2]付安民.超幾何分布與二項分布的有機聯(lián)系[J].岳陽師范學院學報（自然科學版），2003（01）：46-48.

[3]于洋.淺析二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的關系[J].企業(yè)科技與發(fā)展，2008（20）：108-110.