帶有Dzyaloshinski-Mariya相互作用的兩比特糾纏量子Otto熱機和量子Stirling熱機?

趙麗梅 張國鋒

(北京航空航天大學物理科學與核能工程學院,北京 100191)(2017年5月24日收到;2017年8月22日收到修改稿)

1 引 言

隨著量子信息科學的蓬勃發(fā)展,量子力學和熱力學的交叉領域逐漸引起了越來越多物理學家的關注[1,2].自從量子熱力學這一概念被Kieu首次提出以來,物理學者們在這一領域做了大量的研究工作,使得量子熱力學循環(huán)性能成為近年來研究的熱點[3,4].目前研究比較多的體系有自旋系統(tǒng)[5?27]、諧振子系統(tǒng)[28?31]二能級或多能級系統(tǒng)[32,33]以及腔量子電動力學系統(tǒng)[34,35]等.

Dzyaloshinski-Mariya(DM)相互作用[36,37]是一種具有反對稱的各向異性超交換相互作用,可用來解釋反鐵磁材料中的弱鐵磁性以及其他的新奇性質[38].近年來,人們也廣泛討論和研究了在各向異性交換作用下的海森伯模型,發(fā)現(xiàn)DM相互作用會對研究系統(tǒng)的性質產(chǎn)生重要的影響.例如,Zhang[39]探討了具有DM相互作用的兩個自旋各向異性系統(tǒng)糾纏量子熱機.Wang等[40]研究了具有DM相互作用的各向異性海森伯XXZ模型的熱糾纏等,這些研究工作都取得了豐富的成果.但是到目前為止,尚未見具體的DM相互作用對量子熱機影響的探究.

為了進一步豐富量子熱力學循環(huán)理論,本文以帶有DM相互作用的兩比特模型作為工作物質,構建一個四能級糾纏量子Otto熱機和量子Stirling熱機,通過保持其他參數(shù)不變,僅改變DM相互作用參數(shù)來研究DM相互作用對量子熱機的影響.而這種操作在具體的實際過程中也很容易實現(xiàn)[41,42],例如,Niu等[43]研究了當保持外磁場不變,只有粒子間的自旋耦合系數(shù)J發(fā)生變化的四能級量子Otto熱機.

通過數(shù)值計算,探究了循環(huán)過程中在不同的DM相互作用參數(shù)下對熱機的基本熱力學參數(shù)的影響,并且利用等值線圖描繪和分析了糾纏與熱量、功和機械效率之間的關系.

2 具有DM相互作用的量子Otto熱機模型

量子Otto熱機是以具有DM相互作用各向異性的兩比特海森伯模型為工作物質,其哈密頓量可寫為

式中J表示自旋耦合系數(shù),反鐵磁性物質對應J＞0,鐵磁性物質對應J＜0,為了計算方便,本文只取J＞0;B是沿Z方向的連續(xù)外磁場;D表示DM相互作用矢量,σi(i=1,2)是泡利算符.為了簡便,我們只考慮D=Dz時的情況,此時的哈密頓量可化簡為

選|00〉,|11〉,|10〉,|01〉為基矢,則HDM的本征態(tài)為

其中θ=arctanD,相應的四個本征值為

當系統(tǒng)處于熱平衡態(tài)時,其狀態(tài)密度算符可寫為ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|. 其中,pi=exp(?βEi)/Z,配分函數(shù)Z=Tr[exp(?βEi)],β=1/(kBT).

圖1 (網(wǎng)刊彩色)當 T1=2,T2=1,J=1和B=4時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和(d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.1.(color online)Variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=4.

量子Otto熱機循環(huán)由兩個量子等容過程和兩個量子絕熱過程構成,下面是量子Otto熱機循環(huán)的四個階段.

階段一:初始時,體系的四個本征態(tài)的概率為pi,DM耦合相互作用為D=D1,外部磁場B保持不變,將體系與溫度為TH的高溫熱源接觸,經(jīng)過一段時間,達到熱力學平衡,在這個過程中系統(tǒng)本征能量Ei保持不變,體系的四個本征態(tài)的概率變?yōu)?在這個階段中,只有熱量的交換,不做功.

階段二:移除熱源,體系經(jīng)歷一個量子絕熱過程,DM耦合作用從D1變到D2,這個過程要足夠緩慢,使得每個量子態(tài)的概率不變,依舊為,體系各本征能級Ei變?yōu)?因此在這個過程中,只有做功而無熱量的傳遞,指出要使該過程保持絕熱,耦合作用的變化需要滿足傳統(tǒng)的量子絕熱定理[16].

階段三:與第一階段相似,體系與溫度為TL的低溫熱源持續(xù)接觸,經(jīng)過一段時間的耦合作用后達到熱平衡狀態(tài),工作物質的每個態(tài)的占有概率由變?yōu)閜i,體系各本征能級保持不變.在此過程中,由于占有概率的改變使體系與熱源之間存在熱傳遞,沒有做功.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)當T1=2,T2=1,J=1和B=6時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和(d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.2.(color online)Variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=6.

階段四:與第二階段類似,移除熱源,體系再次經(jīng)歷量子絕熱過程,這一過程,DM耦合作用從D2變到D1,每個本征態(tài)的占有概率pi均保持不變,體系各本征能級由又回到了Ei.此過程中體系只做功,沒有熱量的交換.

根據(jù)上述過程,可以得到在階段一和階段三的兩個等容過程中,轉移的能量分別為

式中,QH＞0和QL＜0分別代表系統(tǒng)吸熱和放熱.因此整個循環(huán)的輸出功為

量子熱機的機械效率為

當T1=2,T2=1,J=1,磁場B分別為4和6時,我們給出了以D1,D2為變量的函數(shù),通過數(shù)值分析,繪出了基本熱力學量QH,QL,W,η隨D1,D2變化的等值線圖(如圖1和圖2所示).

從圖1和圖2可以得到4個結論:1)DM相互作用不僅能夠提高系統(tǒng)的熱糾纏度,而且會對Otto熱機的基本量子熱力學量產(chǎn)生很大的影響,既能影響工作熱力學量的大小,也能影響其變化趨勢;2)當系統(tǒng)做正功時,滿足條件D1＜D2,這個結論也可以從(7)式中推理得到,當W＞0,有化簡后得到B/T1＜B/T2;3)當W＞0時,QH＞?QL＞0始終成立,且在不同的外磁場參數(shù)下該糾纏熱機機械效率都小于卡諾熱機的效率,因此熱力學第二定律始終成立;4)隨著外磁場B的增大,做功和效率的取值范圍也會越來越大.

3 具有DM相互作用的量子Stirling熱機

在本節(jié)中,考慮了同樣的耦合系統(tǒng)作為工作物質構建了量子Stirling循環(huán).量子Stirling循環(huán)是經(jīng)典Stirling循環(huán)的量子推廣,包括兩個量子等溫過程和兩個量子等容過程[44].該熱機的四個過程可以做如下表述.

階段一:是量子等溫過程.在該過程中,系統(tǒng)與處于TH的高溫熱源接觸.DM耦合作用緩慢的從D1變到D2,外部磁場B保持不變,并且在此過程中,系統(tǒng)與熱源在任何一個時刻都保持熱平衡.系統(tǒng)從高溫熱源吸熱為Q1.

階段二:是量子等容過程.在該過程中,DM耦合作用為D2保持不變,系統(tǒng)的溫度從TH減小到TL,該過程系統(tǒng)不對外做功,但釋放熱量為Q23.

階段三:是另外一個量子等溫過程.在該過程中,系統(tǒng)與溫度為TL的低溫熱源接觸,DM耦合作用從D2變到D1.系統(tǒng)的溫度保持不變.系統(tǒng)向低溫熱源釋放熱量(記為Q2).

階段四:是另一個量子等容過程.在該過程中,DM耦合作用為D1保持不變,系統(tǒng)吸收熱量(記為Q41),但不對外做功.整個系統(tǒng)循環(huán)過程如圖3所示.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)量子Stirling熱機的D-U(DM作用:內能)Fig.3.(color online)Scheme illustration of a quantum Stirling heat engine cycle based on DM interaction-energy D-U diagram.

在兩個等容過程中,由于系統(tǒng)對外不做功,因此其熱傳遞等于內能U的改變.則該系統(tǒng)內能

從(9)式可以得到系統(tǒng)與回熱器之間的熱交換Q23和Q41分別為

兩個等溫過程中,系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的熱交換為dQ=TdS,這里的S是工作物質的熵.則該系統(tǒng)熵為

代入到dQ=TdS中,得到在兩個等溫過程中系統(tǒng)從高溫熱源吸收的熱量以及向低溫熱源釋放的熱量Q1和Q2分別為

與量子Otto循環(huán)很不相同,量子Stirling循環(huán)可以使用回熱器.通過回熱器便可以使循環(huán)過程中的階段二釋放的熱量會在階段四中重新被系統(tǒng)吸收,從而達到改善熱機循環(huán)的性能的目的.典理想氣體為工作物質的循環(huán)而言,系統(tǒng)達到最佳回熱的條件是Q23+Q41=0.然而,以量子系統(tǒng)為工作物質的循環(huán)卻并非如此.事實上,對于量子循環(huán)而言,系統(tǒng)與回熱器在兩個等容過程中的凈熱傳遞量需要滿足:ΔQ=Q23+Q41,因此系統(tǒng)在整個循環(huán)過程中,從高溫熱源(溫度為T1)吸收的熱量和從低溫熱源(溫度為T2)釋放的熱量為

(13)式中,如果ΔQ＜0,δ=0;ΔQ＞0,δ=1;(14)式中,如果ΔQ＞0,δ=0;ΔQ＜0,δ=1.以這些熱交換為基礎,根據(jù)熱力學第一定律可以得出系統(tǒng)對外做功為

W＞0代表系統(tǒng)對外界做功.量子熱機的機械效率為

令T1=2,T2=1,J=1,B=4,通過數(shù)值軟件,就可以繪制出量子Stirling熱機在整個循環(huán)過程中ΔQ不同情況下的基本熱力學量QH,QL,W,η隨D1,D2的變化的等值線圖,結果如圖4–圖6所示.

從所示的等值線圖中可以得出3個結論:1)DM相互作用會對量子Stirling循環(huán)熱機的基本量子熱力學產(chǎn)生重要影響;2)當W＞0時,QH＞?QL＞0,滿足條件D1＜D2,這個結論也可以從(14)式中推理得到,最終化簡后得到B/T1＜B/T2;3)在量子Stirling熱機循環(huán)中,熱機由于回熱器的使用,其循環(huán)效率甚至會超過Carnot效率,熱力學第二定律在整個循環(huán)中都始終成立.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)在Q23+Q41＞0情況下,T1=2,T2=1,J=1和 B=4時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和 (d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.4.(color online)In the case of Q23+Q41＞0,variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=4.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)在Q23+Q41=0情況下,T1=2,T2=1,J=1和B=4時,(a)QH,(b)QL,(c)W 和 (d)η隨D1和D2變化的等值線圖Fig.5.(color online)In the case of Q23+Q41=0,variations of heat transferred(a)QH,(b)QL,(c)net work input W and(d)the efficiency η of the QHE with variables D1and D2in isoline map for parameters T1=2,T2=1,J=1 and B=4.

4 結 論

以含有DM相互作用的兩比特模型為工作物質構建了一個糾纏量子熱機.分別介紹了兩種不同的量子熱機模型:量子Otto熱機和量子Stirling熱機.通過保持其他參量不變,只有DM相互作用發(fā)生改變,利用數(shù)值運算,分析出了熱機循環(huán)中DM相互作用與熱傳遞、做功以及效率等熱力學量之間的關系.結果表明:DM相互作用對兩種熱機的基本熱力學量都會產(chǎn)生重要影響;發(fā)現(xiàn)量子Otto熱機的機械效率始終小于卡諾熱機的效率,但是量子Stirling熱機的循環(huán)效率大于量子Otto熱機,甚至可以超過Carnot效率.在這兩個糾纏體系中,熱力學第二定律都依然成立.

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