基于改進(jìn)加權(quán)一階局域法的空中交通流量預(yù)測(cè)模型

王 超，朱 明，趙元棣

(中國(guó)民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津300300)

空中交通流量時(shí)間序列的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)有助于掌握交通流的發(fā)展演化趨勢(shì)和規(guī)律，為空中交通管理部門(mén)提供控制決策依據(jù).作為空中交通流量管理和空域規(guī)劃研究的重要前提和基礎(chǔ)［1-2］，空中交通流量預(yù)測(cè)一直是國(guó)內(nèi)外空管研究的熱點(diǎn)之一.

當(dāng)前空中交通流量預(yù)測(cè)方法主要分4類(lèi):(1)基于飛行計(jì)劃的確定型流量預(yù)測(cè)方法，包括基于飛行計(jì)劃4D軌跡預(yù)測(cè)方法［3］;(2)基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的預(yù)測(cè)方法，包括時(shí)間序列法、回歸分析法、卡爾曼濾波法和指數(shù)平滑法等［1-2］;(3)非線性預(yù)測(cè)方法，包括小波分析預(yù)測(cè)法、混沌理論預(yù)測(cè)法和突變理論預(yù)測(cè)法等［4-5］;(4)智能預(yù)測(cè)方法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、支持向量機(jī)等［5-6］.

由于空中交通以航班飛行任務(wù)計(jì)劃為驅(qū)動(dòng)，基于飛行計(jì)劃軌跡預(yù)測(cè)方法首先發(fā)展起來(lái).該方法以航空固定電報(bào)中的領(lǐng)航計(jì)劃為基礎(chǔ)，以航班動(dòng)態(tài)報(bào)和雷達(dá)航跡為修正，建立航班4D軌跡推測(cè)模型，統(tǒng)計(jì)得到各空域單元的交通流量.然而，由于空中交通系統(tǒng)是一個(gè)多角色交互耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)［7］，存在許多不確定性因素，航班實(shí)際運(yùn)行4D軌跡與飛行計(jì)劃軌跡經(jīng)常存在較大差異，導(dǎo)致基于報(bào)文的流量預(yù)測(cè)精度較差.

為彌補(bǔ)上述不足，在國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)空中交通系統(tǒng)非線性特性初步探索基礎(chǔ)上，基于混沌時(shí)間序列方法的短期交通流量預(yù)測(cè)方法逐漸發(fā)展起來(lái).Packard［8］提出重構(gòu)相空間理論，開(kāi)啟了混沌時(shí)間序列的研究，此后混沌時(shí)間序列的全域法、局域法、基于最大Lyapunov指數(shù)［9］等預(yù)測(cè)方法相繼出現(xiàn).Cong等［10］利用關(guān)聯(lián)維數(shù)和最大Lyapunov指數(shù)對(duì)空域扇區(qū)內(nèi)交通流的混沌特性進(jìn)行研究;Li等［11］利用最大Lyapunov指數(shù)對(duì)飛行沖突時(shí)間序列的混沌特性進(jìn)行分析，證明了應(yīng)用混沌理論進(jìn)行飛行沖突預(yù)測(cè)的可行性;王超等［12］證明了交匯航路空中交通流具有混沌特性.上述研究成果為基于混沌理論的時(shí)間序列預(yù)測(cè)法應(yīng)用于空中交通流量預(yù)測(cè)提供了理論基礎(chǔ)，但并未將其應(yīng)用于實(shí)際的交通流量預(yù)測(cè)中.因此，本文對(duì)基于混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行改進(jìn)并構(gòu)建空中交通流量預(yù)測(cè)模型是非常有意義的.

加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)方法比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、基于最大Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)法等具有待求參數(shù)少、快速等優(yōu)點(diǎn)，能滿(mǎn)足空中交通流量預(yù)測(cè)實(shí)時(shí)性強(qiáng)、操作簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)等要求.呂金虎等［9］提出了加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)方法并將其應(yīng)用到電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)中，但預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性還有很大的提升空間.空中交通流量控制和管理決策需要更高精度的流量預(yù)測(cè)，本文對(duì)加權(quán)一階局域法的預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn)，并采用基于誤差序列的誤差修正方法對(duì)預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行修正.最后，以北京區(qū)域管制中心某扇區(qū)交通流實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)開(kāi)展驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，先利用關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)空中交通流量時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性識(shí)別，之后分別用改進(jìn)前、后的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)效果比對(duì).

1 改進(jìn)的加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法

1.1 加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法

對(duì)于混沌時(shí)間序列 x1，x2，…，xN，其中，N 為時(shí)間序列的長(zhǎng)度，選取適當(dāng)?shù)那度刖S數(shù)m和時(shí)間延遲τ，進(jìn)行相空間重構(gòu)［13-15］，得到相空間為 Xi=(xi，xi+τ，…，xi+(m－1)τ)，i=1，2，…，M，其中 M=N－(m－1)τ.以預(yù)測(cè)中心相點(diǎn)XM作為參考相點(diǎn)，求參考相點(diǎn) XM與前 M－1個(gè)相點(diǎn)的歐氏距離dl(l=1，2，…，M－1)，取與參考相點(diǎn) XM的歐氏距離最小的m+1個(gè)相點(diǎn)，記為 XMn(n=1，2，…，m+1)，且對(duì)應(yīng)的與參考相點(diǎn)XM的距離為dn，則相點(diǎn)XMn的權(quán)值為

式中:dmin為dn中的最小值;c為參數(shù)，一般取c=1.

設(shè)參考相點(diǎn)XM的鄰近相點(diǎn)集為{XMn}，其演化一步后的相點(diǎn)集為{XMn+1}.利用一階局域線性擬合得到XMn和XMn+1的關(guān)系如式(2).

式中:E=(1，1，…，1)T為 m×1階矩陣;a、b為擬合所需的實(shí)系數(shù).

根據(jù)加權(quán)最小二乘法有

將式(3)看成是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，為求得使函數(shù)達(dá)到最小的未知數(shù)的解，求偏導(dǎo)并令其為0，可得

化簡(jiǎn)得

將求得的參數(shù)a、b代入式(7)，即可得到演化一步后的相點(diǎn)預(yù)測(cè)值X^M+1，如式(8).

1.2 預(yù)測(cè)模型的改進(jìn)

1.1 節(jié)所描述的未改進(jìn)的加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)方法，是m+1個(gè)鄰近相點(diǎn)XMn與其一步演化后的相點(diǎn)XMn+1的一階局域線性關(guān)系參數(shù)a、b，作為相點(diǎn)XM與其一步演化相點(diǎn)XMn+1的一階局域線性關(guān)系參數(shù)代入式(8)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即認(rèn)為鄰近相點(diǎn)的一步演化規(guī)律和參考相點(diǎn)一步演化規(guī)律相似.但實(shí)際上，由于用于預(yù)測(cè)的歷史數(shù)據(jù)有限或出現(xiàn)特殊值等因素影響，鄰近相點(diǎn)的一步演化規(guī)律并不能完全真實(shí)地反映出相點(diǎn)XM與其演化一步后的相點(diǎn)XM+1之間的關(guān)系.此外，鄰近點(diǎn)的選取標(biāo)準(zhǔn)和選取個(gè)數(shù)等也會(huì)極大影響鄰近相點(diǎn)的一步演化規(guī)律是否能更加真實(shí)地反映出參考相點(diǎn)的一步演化規(guī)律.因此，原有預(yù)測(cè)方法難免會(huì)存在偏差，這就降低了預(yù)測(cè)性能.

為克服上述缺陷，減小預(yù)測(cè)誤差，考慮利用權(quán)值Pn對(duì)各鄰近相點(diǎn)的演化規(guī)律進(jìn)行加權(quán)，從而準(zhǔn)確反映出預(yù)測(cè)相點(diǎn)的演化規(guī)律，以鄰近相點(diǎn)的一步演化相點(diǎn)的規(guī)律來(lái)預(yù)測(cè)參考相點(diǎn)的一步演化相點(diǎn)，即以m+1個(gè)相點(diǎn)XMn+1的各分量加權(quán)和作為預(yù)測(cè)相點(diǎn)XM+1的各分量值，改進(jìn)了預(yù)測(cè)式(7)，具體說(shuō)明如下:

設(shè)m+1個(gè)最鄰近相點(diǎn)的表達(dá)式為XMn=(xMn，xMn+τ，…，xMn+(m－1)τ).由式(1)求出 m+1 個(gè)最鄰近相點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值Pn，再依據(jù)式(5)、(6)求出預(yù)測(cè)參數(shù) a、b，則預(yù)測(cè)公式為

1.3 基于誤差序列的預(yù)測(cè)誤差修正

在加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)過(guò)程中，由前一步預(yù)測(cè)所得預(yù)測(cè)值代入原時(shí)間序列后求得下一步預(yù)測(cè)值.因此，如果不對(duì)每一步的預(yù)測(cè)值進(jìn)行誤差修正，存在誤差的預(yù)測(cè)值將會(huì)直接影響下一步預(yù)測(cè)值的精度，這樣逐步累積就會(huì)產(chǎn)生較大的累積誤差，影響整體的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性.為減小誤差累計(jì)，本文采用基于誤差序列的誤差修正方法來(lái)進(jìn)一步修正預(yù)測(cè)誤差.

2 預(yù)測(cè)步驟

步驟1 對(duì)交通流量時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性識(shí)別，確定其延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m后進(jìn)行相空間重構(gòu).

步驟2 當(dāng)前狀態(tài)相點(diǎn)XM為初始條件利用加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)法進(jìn)行預(yù)測(cè)得到預(yù)測(cè)值^xN+1.

步驟3 利用基于誤差序列的修正方法對(duì)預(yù)測(cè)值^xN+1進(jìn)行誤差修正.

步驟4 將修正后的預(yù)測(cè)值^xN+1代入原時(shí)間序列，對(duì)未來(lái)值^xN+2再進(jìn)行預(yù)測(cè)，以此類(lèi)推不斷迭代進(jìn)行多步預(yù)測(cè).

3 空中交通流量預(yù)測(cè)實(shí)例及分析

選擇北京區(qū)域管制某扇區(qū)2016年01月06日00∶00—24∶00之間扇區(qū)的空中交通流量作為預(yù)測(cè)實(shí)例.扇區(qū)空中交通流量是指按照一定的時(shí)間間隔來(lái)統(tǒng)計(jì)在此時(shí)間范圍內(nèi)扇區(qū)容納航空器的數(shù)量.其中，統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔也稱(chēng)為時(shí)間尺度或時(shí)間序列標(biāo)度，記為Δt.Δt的不同將直接影響交通流時(shí)間序列的形態(tài)特征，進(jìn)而影響時(shí)間序列對(duì)系統(tǒng)特性的表達(dá)［12］.

為驗(yàn)證改進(jìn)預(yù)測(cè)法對(duì)按不同Δt產(chǎn)生的交通流量時(shí)間序列均適用，本文擬選取4組不同Δt的時(shí)間序列進(jìn)行驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).將以一天前20 h交通流量預(yù)測(cè)后4 h為例開(kāi)展研究.統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔太大會(huì)遮蔽在此時(shí)間范圍內(nèi)流量動(dòng)態(tài)變化特征，所以選擇Δt=5，7，10，15 min，生成交通流量時(shí)間序列來(lái)驗(yàn)證本文預(yù)測(cè)方法是否對(duì)各時(shí)間尺度的交通流量時(shí)間序列均適用.圖1給出了各時(shí)間尺度的交通流量時(shí)間序列示意圖.

采用自相關(guān)函數(shù)法來(lái)計(jì)算時(shí)間延遲 τ［16-17］，自相關(guān)函數(shù)C(τ)=1－1/e時(shí)可以得到系統(tǒng)的最佳嵌入維數(shù).

以Δt=10 min的時(shí)間序列為例，如圖2所示，計(jì)算得到該時(shí)間序列的時(shí)間延遲τ=3.

圖1 不同時(shí)間尺度的交通流量時(shí)間序列Fig.1 Traffic flow time series at different time scales

3.1 基于關(guān)聯(lián)維數(shù)的混沌特性判別

應(yīng)用分形理論中關(guān)聯(lián)維數(shù)的概念來(lái)判斷時(shí)間序列是否具有混沌特性［10-12］.分維從測(cè)度理論和對(duì)稱(chēng)理論角度刻畫(huà)了系統(tǒng)的無(wú)序性和復(fù)雜性，其中關(guān)聯(lián)維數(shù)D2(m)是目前應(yīng)用最廣的分維數(shù)［18-19］.對(duì)于混沌系統(tǒng)，D2(m)會(huì)隨著嵌入維數(shù)的增加而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，即不再隨m的變化而變化［19］.關(guān)聯(lián)維數(shù)就是關(guān)聯(lián)指數(shù)隨嵌入維數(shù)增大到飽和狀態(tài)時(shí)的值，其值是對(duì)相空間中吸引子復(fù)雜度的度量.當(dāng)D2(m)不是整數(shù)或者大于2時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出一種對(duì)初始條件敏感的混沌振蕩.因此，對(duì)于混沌性的識(shí)別可以通過(guò)觀察關(guān)聯(lián)維數(shù)是否具有飽和現(xiàn)象來(lái)完成.本文采用G-P算法求關(guān)聯(lián)維數(shù)［20-21］.

圖3 給出了Δt=5，7，10，15 min 的交通流量時(shí)間序列的ln Cm(r)-ln r關(guān)系圖，圖中:r為相空間中相點(diǎn)之間歐氏距離的閥值;Cm(r)為關(guān)聯(lián)積分函數(shù)，具體含義詳見(jiàn)文獻(xiàn)［18］.

圖2 Δt=10 min時(shí)的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)Fig.2 The auto correlative function of Traffic flow time series of 10 min

圖3 ln Cm(r)-ln r曲線Fig.3 Curve of ln Cm(r)-ln r

圖4 為4組交通流量時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入空間維數(shù)m的變化曲線.4組不同采樣間隔的交通流量時(shí)間序列關(guān)聯(lián)維數(shù)D2(m)隨著嵌入維數(shù)的增加均出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，且各時(shí)間尺度時(shí)間序列均滿(mǎn)足D2(m)不是整數(shù)或大于2的條件，這說(shuō)明空中交通流表現(xiàn)出一種對(duì)初始條件敏感的混沌振蕩［18］.所以，可以判定4組時(shí)間序列均為混沌時(shí)間序列.

3.2 預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比及分析

按第2節(jié)中的步驟1，分別求出4組交通流量時(shí)間序列時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m，如表1所示.依據(jù)這些參數(shù)對(duì)各組時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu).以Δt=10 min的流量時(shí)間序列為例，重構(gòu)的相空間擁有102相點(diǎn)，進(jìn)行第1步預(yù)測(cè)時(shí)的預(yù)測(cè)中心相點(diǎn)為X102=(9，8，11，7，3，10，8).

按照步驟2，利用本文改進(jìn)的一階局域預(yù)測(cè)方法得到演化一步后的相點(diǎn)預(yù)測(cè)值103=(8.04，8.24，7.64，8.43，9.23，7.84，8.24)，其第 m 個(gè)分量即為第 1個(gè) 10 min內(nèi)的流量預(yù)測(cè)值121.因?yàn)棣=10 min的流量時(shí)間序列的m=7，所以21=8.24.

由1.3節(jié)介紹的方法生成誤差序列(3.04，4.24，－3.35，－1.56，6.23，－3.15)，并得到一步平滑外推值 Δx=－4.24.因此，由^'121=^X121－Δx得到修正后的預(yù)測(cè)值，即該扇區(qū)20:00—20:10這段時(shí)間內(nèi)的流量值'121=12.48，步驟 3 到此結(jié)束.將預(yù)測(cè)得到的新流量值加入原流量時(shí)間序列，并不斷重復(fù)步驟4，直到最終得到所有后4 h的流量預(yù)測(cè)結(jié)果.

圖4 關(guān)聯(lián)維數(shù)隨嵌入維數(shù)的變化曲線Fig.4 Curve of D2(m)with different m

表1 不同時(shí)間尺度空中交通流量時(shí)間序列的時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)Tab.1 Time delay and Embedding dimension of Air traffic flow time series under different time scales

上述過(guò)程闡述了應(yīng)用預(yù)測(cè)模型的過(guò)程，按照上述過(guò)程分別對(duì)其他3組時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè).圖5將交通流量的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比給出了預(yù)測(cè)結(jié)果.由圖5可知，4組不同時(shí)間尺度的交通流量預(yù)測(cè)值曲線和實(shí)際值曲線基本吻合，表明本文提出的改進(jìn)型預(yù)測(cè)方法適用于不同統(tǒng)計(jì)時(shí)間間隔生成的空中交通流量時(shí)間序列預(yù)測(cè).

為了對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用平均絕對(duì)誤差EAAE和相對(duì)誤差ERE來(lái)衡量預(yù)測(cè)精度，即

圖6和圖7給出了4組交通流量時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度.由圖6、7可知，改進(jìn)后的方法有效地提高了改進(jìn)前方法的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性.以Δt=10 min為例，改進(jìn)前的預(yù)測(cè)方法ERE=0.148 1，改進(jìn)后的預(yù)測(cè)方法 ERE=0.104 1，相對(duì)誤差減小了 29.7%.通過(guò)對(duì)比不同尺度的空中交通流量預(yù)測(cè)效果，有如下發(fā)現(xiàn):

(1)不同時(shí)間尺度的交通流量時(shí)間序列之間的預(yù)測(cè)誤差相差較大，說(shuō)明在進(jìn)行空中交通流量預(yù)測(cè)時(shí)時(shí)間尺度的選擇對(duì)預(yù)測(cè)精度有很大影響.預(yù)測(cè)模型對(duì)Δt=5，7，10 min這3組樣本數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度依次增高，當(dāng)Δt=10 min時(shí)預(yù)測(cè)效果達(dá)到最好，當(dāng)Δt=15 min時(shí)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度開(kāi)始出現(xiàn)降低趨勢(shì)，預(yù)測(cè)精度較差.所以，在以后的空中交通流量預(yù)測(cè)的研究及應(yīng)用中需要科學(xué)地選取適當(dāng)?shù)臅r(shí)間序列標(biāo)度.

(2)相對(duì)誤差隨著交通流量時(shí)間序列標(biāo)度的增大而減小，而平均絕對(duì)誤差隨著交通流量時(shí)間序列標(biāo)度的增大而增大.這是由兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)表現(xiàn)誤差的側(cè)重點(diǎn)不同造成的.流量的平均絕對(duì)誤差反映的是測(cè)量流量的可信程度，流量的相對(duì)誤差則確切地表示了預(yù)測(cè)流量值偏離真實(shí)流量值的實(shí)際大小.所以實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)不同的預(yù)測(cè)要求，選擇不同的評(píng)價(jià)指標(biāo)，從而選取能達(dá)到更理想預(yù)測(cè)效果的時(shí)間尺度的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè).當(dāng)關(guān)注每一步預(yù)測(cè)的流量偏離值時(shí)，選用平均絕對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，此時(shí)，選擇較小時(shí)間尺度交通流量預(yù)測(cè)效果較理想.當(dāng)希望預(yù)測(cè)流量的總體誤差比例更小時(shí)則選用相對(duì)誤差作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，此時(shí)，選擇較大Δt的交通流量預(yù)測(cè)效果更理想.

圖5 空中交通流量的實(shí)際值和預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.5 Predicted and actual values of air Traffic volume

圖6 空中交通流量預(yù)測(cè)的平均絕對(duì)誤差對(duì)比Fig.6 Comparison Average absolute error of Air traffic flow prediction

圖7 空中交通流量預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差對(duì)比Fig.7 Comparison Relative error of Air traffic flow prediction

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在混沌時(shí)間序列的加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)方法的基礎(chǔ)上提出了一種臨近相點(diǎn)演化加權(quán)的改進(jìn)預(yù)測(cè)方法，并將其應(yīng)用到空中交通流量預(yù)測(cè)領(lǐng)域.此外，還引入了基于誤差序列的誤差修正方法對(duì)預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行修正，在一定程度上修正了預(yù)測(cè)誤差，減小了預(yù)測(cè)過(guò)程中誤差的累積.預(yù)測(cè)實(shí)例中利用G-P算法求出時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)，發(fā)現(xiàn)其隨著嵌入維數(shù)的增加而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，證明了空中交通流量時(shí)間序列存在混沌特性.隨后采用改進(jìn)預(yù)測(cè)方法對(duì)樣本混沌流量時(shí)間序列進(jìn)行4 h預(yù)測(cè)，結(jié)果表明改進(jìn)的加權(quán)一階局域預(yù)測(cè)方法不僅能夠有效預(yù)測(cè)交通流量且提高了預(yù)測(cè)精度.

研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該預(yù)測(cè)方法還有許多值得深入探究之處，例如是否相點(diǎn)間歐氏距離越小其演化趨勢(shì)就越相似，所以最鄰近點(diǎn)的選擇方法必須科學(xué)反映相點(diǎn)間的鄰近程度［14］，改進(jìn)歐式距離法使其能更科學(xué)地反映鄰近點(diǎn)和預(yù)測(cè)中心點(diǎn)關(guān)聯(lián)程度.此外，統(tǒng)計(jì)間隔對(duì)結(jié)果的影響本文只是做了簡(jiǎn)單的定性分析，研究發(fā)現(xiàn)空中交通流量時(shí)間序列相鄰采樣點(diǎn)間存在較強(qiáng)的自相關(guān)性，統(tǒng)計(jì)間隔對(duì)預(yù)測(cè)精度影響的內(nèi)在機(jī)理還有待在日后的研究工作中深入研究.

［1］ 耿睿，崔德光，徐冰.應(yīng)用支持向量機(jī)的空中交通流量組合預(yù)測(cè)模型［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，48(7):1205-1208.GENG Rui，CUI Deguang，XU Bing.Support vector machine-based combinational model for air traffic forecasts［J］.Journal of Tsinghua University，2008，48(7):1205-1208.

［2］ 張明，韓松臣，黃林源.基于雙重力模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的空中交通流量組合預(yù)測(cè)［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，44(5):764-770.ZHANG Ming，HAN Songchen，HUANG Linyuan.Air traffic flow combinational forecast based on double gravity model and artificial neural network［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2009，44(5):764-770.

［3］ 王超，郭九霞，沈志鵬.基于基本飛行模型的4D航跡預(yù)測(cè)方法［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，44(2):295-300.WANG Chao，GUO Jiuxia，SHEN Zhipeng.Prediction of 4D trajectory based on basic flight models［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2009，44(2):295-300.

［4］ 呂金虎，張鎖春.加權(quán)一階局域法在電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.控制理論與應(yīng)用，2002，19(5):767-770.L Jinhu，ZHANG Suochun.Application of addingweight one-rank local-region method in electric power system short-term load forecast［J］.Control Theory ＆Applications，2002，19(5):767-770.

［5］ 金玉婷.基于混沌和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的短時(shí)交通流量預(yù)測(cè)方法研究［D］.成都:西南交通大學(xué)，2014.

［6］ 陳丹，胡明華，張洪海，等.考慮周期性波動(dòng)因素的中長(zhǎng)期空中交通流量預(yù)測(cè)［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，50(3):562-568.CHEN Dan，HU Minghua，ZHANG Honghai，et al.Forecast method for medium-long term air traffic flow considering periodic fluctuation factors［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2015，50(3):562-568.

［7］ 張洪海，楊磊，別翌薈，等.終端區(qū)進(jìn)場(chǎng)交通流廣義跟馳行為與復(fù)雜相變分析［J］.航空學(xué)報(bào)，2015，36(3):949-961.ZHANG Honghai， YANG Lei， BIE Yi Hui， et al.Analysis on generalized following behavior and complex phase-transition law of approaching traffic flow in terminal airspace［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2015，36(3):949-961.

［8］ PACKARD N H，CRUTCHFIELD J P，F(xiàn)ARMER J D.Geometry from atime series［J］.PhysicsReview Letters，1980，45(9):712.

［9］ 呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時(shí)間序列分析及應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2002:102-105.

［10］ CONG W，HU M H.Chaotic characteristic analysis of air traffic system［J］. Transactions of Nanjing UniversityofAeronautics ＆ Astronautics， 2014，31(6):636-642.

［11］ LI S M，XU X H，MENG L H.Flight conflict forecasting based on chaotic time series［J］.Transactions of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，2012，29(4):388-394.

［12］ 王超，鄭旭芳，王蕾.交匯航路空中交通流的非線性特征研究［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，52(1):171-178.WANG Chao，ZHENG Xufang，WANG Lei.Research on nonlinear characteristics of air traffic flows on converging air routes［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2017，52(1):171-178.

［13］ STROGATZ S H.Nonlinear dynamics and chaos:with applicationsto physics， biology， chemistry， and engineering［M］.Boulder:Westview Press，2014:317-335.

［14］ XUE J，SHI Z.Short-time traffic flow prediction based on chaos time series theory［J］.Journal of TransportationSystemsEngineering＆ Information Technology，2008，8(5):68-72.

［15］ LAN L W，SHEU J B，HUANG Y S.Investigation of temporal freeway traffic patterns in reconstructed state spaces［J］.Transportation Research Part C Emerging Technologies，2008，16(1):116-136.

［16］ TAKENS F.On the numerical determination of the dimension of an attractor［M］.Berlin:Springer，1985:99-106.

［17］ MA R.On the dimension of the compact invariant sets of certain non- linear maps［M］. Berlin:Springer，1981:230-242.

［18］ 賀國(guó)光，馬壽峰，馮蔚東.對(duì)交通流分形問(wèn)題的初步研究［J］.中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2002，15(4):82-85.HE Guoguang， MA Shoufeng， FENF Weidong.Preliminary study of fractals of traffic flow［J］.China Journal of Highway＆ Transport，2002，15(4):82-85.

［19］ 馬慶祿.基于混沌理論的交通狀態(tài)預(yù)測(cè)研究［D］.重慶:重慶大學(xué)，2012.

［20］ KANTZ H，SCHREIBER T.Nonlinear time series analysis［M］. Cambridge: Cambridge University Press，2004:69-72.

［21］ GRASSBERGER P，PROCACCIA I.Measuring the strangeness of strange attractors［J］. Physica D Nonlinear Phenomena，1983，9(1):189-208.