基于教師數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)說題教研活動(dòng)的思考與認(rèn)識(shí)*

●

(南安市教師進(jìn)修學(xué)校,福建 南安 362300)

1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀綜述

1.1 國(guó)內(nèi)研究現(xiàn)狀綜述

上世紀(jì)90年代，“說數(shù)學(xué)”就引起了國(guó)內(nèi)教育界的高度關(guān)注.曹才翰先生和章建躍博士所著的《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中提出：通過“說數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動(dòng)能有效實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)地交流”.2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“提高數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力”的課程目標(biāo).直到21世紀(jì)，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育工作者把“說數(shù)學(xué)”研究擴(kuò)大到實(shí)踐層面，不斷把“說數(shù)學(xué)”細(xì)化，從而出現(xiàn)了教師“說題”的教學(xué)活動(dòng).2011年出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，提高了學(xué)生“說”的地位，更重視提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，而開展學(xué)生說題教研活動(dòng)是提升學(xué)生能力的實(shí)質(zhì)性舉措之一.國(guó)際上對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)說題的研究較早就開始了，但發(fā)展不成熟，大多是一線教師零散經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié)，未成體系.本文結(jié)合教研實(shí)踐，主要談?wù)劷處熑绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)說題.

1.2 國(guó)外研究現(xiàn)狀綜述

對(duì)于說題，最早可以追溯到古希臘著名的哲學(xué)家蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”教學(xué)法.他主要采用談話式、討論式、啟發(fā)式的教育方法，通過向?qū)W生提問，不斷揭露對(duì)方回答問題中的矛盾，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一般性的結(jié)論，它的本質(zhì)是教師引導(dǎo)學(xué)生去“說”，在“說”的過程中提升認(rèn)識(shí)(師生互動(dòng)說).1989年的《加拿大數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，第一次提出把“說數(shù)學(xué)”作為評(píng)課的標(biāo)準(zhǔn);新加坡的《大綱》十分重視學(xué)生用語言表達(dá)數(shù)學(xué)的能力；俄羅斯的《大綱》則在描述培養(yǎng)學(xué)生習(xí)慣方面更加明確，要求學(xué)生無論是口頭交流還是書面交流都要清晰流暢;美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)(NCTM)在2000年制定的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原理和標(biāo)準(zhǔn)》中的學(xué)習(xí)原理指出：“學(xué)生應(yīng)該以理解的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在自身經(jīng)驗(yàn)和原有知識(shí)的基礎(chǔ)上建構(gòu)對(duì)新知識(shí)的理解.”因此，教學(xué)中需要讓學(xué)生說出自己的思維過程;法國(guó)的《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》提出要讓學(xué)生能夠“明確地表述”“使學(xué)生在書寫和口頭交流方面形成清楚的習(xí)慣”;日本的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中也要求學(xué)生能夠“數(shù)學(xué)地表示、表達(dá)”；此外，荷蘭、英國(guó)等國(guó)家的教學(xué)大綱或課程標(biāo)準(zhǔn)也都把學(xué)生能“說數(shù)學(xué)”作為一個(gè)重要目標(biāo).

2 相關(guān)概念及案例

在日常的教育教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)聽到這樣的交流：“某某同學(xué)講的這道題，比老師講得還明白”“某某同學(xué)某學(xué)科會(huì)講題，他這科的成績(jī)比其他學(xué)科就是高！”“你看，這組習(xí)題我在下面自己研究透了，給自己講明白了，上課的時(shí)候得心應(yīng)手”.作為教研員，下校聽課調(diào)研時(shí)，經(jīng)?？吹接行┙處熒险n滿堂灌、學(xué)生被動(dòng)聽，花大量時(shí)間解題訓(xùn)練，不注重調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，不關(guān)注或少關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng).

鑒于此，筆者所在單位組織了多次教師說題比賽，取得了一定的成效.現(xiàn)結(jié)合福建省南安市開展的說題比賽及教研實(shí)踐，對(duì)幾個(gè)相關(guān)概念進(jìn)行界定.

2.1 數(shù)學(xué)說題

數(shù)學(xué)說題是指說題者在精心解題的基礎(chǔ)上，面對(duì)被說題者，在題目的知識(shí)內(nèi)涵、能力要求、思想方法、拓展變式、反思總結(jié)等方面作出解說，以口頭表達(dá)為主，以數(shù)學(xué)思想方法為依據(jù)，以問題本身涉及的知識(shí)內(nèi)涵為基礎(chǔ)的一種教學(xué)研究活動(dòng).簡(jiǎn)單地說，“說題”就是把審題、分析、解答和回顧等思維過程按一定順序說出來的一種教研展示活動(dòng).

從說題主體來看，說題可分為教師說題、學(xué)生說題、教師和學(xué)生互動(dòng)說題.

2.2 教師現(xiàn)場(chǎng)說題

教師通過“選題、做題、想題、改題、編題”等一系列活動(dòng)，向同行、專家系統(tǒng)地概括自己對(duì)題目的理解、分析、解答和反思的思維過程，并按一定規(guī)律和順序表達(dá)出來，是一種深層次的備課.

教師說題主要包括如下4個(gè)環(huán)節(jié)：1)說“背景來源”，即試題來源于教材、中(高)考試題、經(jīng)典試題或數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題改編等.2)說“試題立意”，即指明試題的考查目標(biāo)、《考試說明》所對(duì)應(yīng)的要求，具體考查哪些知識(shí)點(diǎn)、能力、思想.3)說試題解法:一方面說教師如何分析講解，如講題的基本方法，具體操作流程等；另一方面說如何指導(dǎo)學(xué)生作答，比如指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分值進(jìn)行分點(diǎn)、分層作答，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)材料尋找采分點(diǎn),指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成相應(yīng)的答題習(xí)慣.4)說“拓展引申”,即結(jié)合學(xué)情和考情說對(duì)試題的評(píng)價(jià)或改進(jìn)、解題規(guī)律的推廣、試題的拓展及變式分析以及對(duì)今后命題趨勢(shì)的分析及方向預(yù)測(cè).

1)求a,b；

2)證明：f(x)>1.

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第21題)

本題為“福建省南安市2017年中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)場(chǎng)說題比賽”中，南安一中廖老師選取的說題試題.該教師從題目背景、解法初探、進(jìn)一步探究、解法總結(jié)、試題拓展、解題反思等方面進(jìn)行說題.第1)小題容易得到a=1,b=2.下面著重對(duì)第2)小題進(jìn)行研究，截取其中典型的部分展示如下：

顯然此處的一階導(dǎo)函數(shù)有點(diǎn)復(fù)雜，是否繼續(xù)前行，得有一個(gè)判斷，否則很可能費(fèi)時(shí)費(fèi)力，沒有好的成效.我們認(rèn)為，一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該有4個(gè)理想的模式：①恒大于0或者恒小于0;②可求出具體零點(diǎn);③有單調(diào)性(可直接觀察出或者二次導(dǎo)恒正或恒負(fù))；④二階導(dǎo)函數(shù)可求出零點(diǎn).而此處一階導(dǎo)數(shù)并沒有看到上述理想的4種狀態(tài)，顯然二次導(dǎo)(除去恒正的項(xiàng)ex-1,x2)再求導(dǎo)也沒利用價(jià)值(四階導(dǎo)數(shù)才恒正)，因此考慮放棄此方法.有些情況沒能看出有這4種理想狀態(tài)，但是照樣能解出題目，稱其為理想狀態(tài)，意思就是能理想最好，不理想也無妨，也能解題.

g(x)min>h(x)max.

g″(x)=ex(ex+e-2)+2ex>0,

故f(x)>1.

評(píng)注證法1是處理不等式恒成立問題常用的通法，也就是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為差函數(shù)最值問題.這里采用“設(shè)而不求”的方法處理，此種方法共需求導(dǎo)3次，難度不可謂不大.

將ex≥x+1中的x用x-1替換，可得ex-1≥x，從而

因此只要證不等式

即證

因?yàn)閮蓚€(gè)不等式不能同時(shí)取到等號(hào)，所以

從壓軸題的多種證法出發(fā)，主要說解題思維的全過程、最常見的解法碰壁后如何處理(化歸)、學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累運(yùn)用等方面，目的是培養(yǎng)學(xué)優(yōu)生善于發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、歸納總結(jié)的能力，克服解決難題的心理畏懼感，深化學(xué)生思維，為成功拿下壓軸題奠定良好的知識(shí)儲(chǔ)備和心理基石.

3 說題的思考

3.1 說題的形式

3.1.1 一題一說

在教研活動(dòng)中，不事先給說題者指定題目，由說題者根據(jù)自身需要，選擇所說的試題.說題者可查閱相關(guān)資料，認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論，深刻研究試題所涵蓋數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與分類，圍繞試題來源、考查目標(biāo)、解法分析、拓展價(jià)值分析等方面進(jìn)行充分準(zhǔn)備，然后在教研活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)向評(píng)委(專家)示說.

圖1

(2016年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

評(píng)注說題者可從試題的來源、解法探究(3種解法)、試題的推廣(簡(jiǎn)單改編)、命題思路探尋、試題的實(shí)質(zhì)性改造、教學(xué)啟示等方面進(jìn)行說題[1].

3.1.2 一題多說

在教研活動(dòng)中，組織者指定說題者針對(duì)同一習(xí)題(試題)，在同一次活動(dòng)中展開示說.在活動(dòng)中，教師可以展示自身教育理論功底、學(xué)科知識(shí)掌握程度、解題方法理解能力、對(duì)教學(xué)前瞻性理念的探求等，參與者能得到案例示范和理論滋養(yǎng)兩個(gè)方面的收益，營(yíng)造良好的教研氛圍.學(xué)生在說題時(shí)，能展現(xiàn)其解答及思考過程，暴露對(duì)試題的思維過程.長(zhǎng)期堅(jiān)持說題，能提升其數(shù)學(xué)語言交流能力，培養(yǎng)學(xué)生敢于探索和創(chuàng)新的精神.

圖2

1)求甲、乙兩人奔跑t秒后，他們各自所處位置的坐標(biāo)；

2)試問：甲、乙兩人出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近，最近距離為多少米？

(2011年福建省三明市質(zhì)檢文科試題第21題)

評(píng)注對(duì)于本題，組織者可對(duì)說題者提出如下的說題要求:1)試題及解法展示；2)試題的評(píng)析(優(yōu)、劣、存在的問題)；3)改編說明(主要闡述思路和理由)；4)改編題展示；5)改編題期望說明(主要考查目標(biāo)，試題預(yù)設(shè)難度和區(qū)分度)；6)改編題的解法(以通性通法為主)；7)其他需要說明的問題.

比如對(duì)本題可以進(jìn)行這樣的試題評(píng)析：本題以學(xué)生熟悉的足球場(chǎng)為背景，背景公正、合理，考查三角問題的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力;問題解決的過程中要求學(xué)生能利用圖形結(jié)合實(shí)際問題，建立坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想;利用兩點(diǎn)間距離公式，把最近距離問題化為二次函數(shù)的最小值問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想;存在的問題是試題中沒有指出甲在足球場(chǎng)的具體位置，t的范圍如何進(jìn)行具體限制？

1)求甲、乙兩船航行4小時(shí)后，他們各自所處位置的坐標(biāo)；

2)試問在第1)小題的條件下，如何確定乙船航行的方向使兩船此時(shí)距離最近，最近距離是多少？

改編說明把足球場(chǎng)改為海域，避免t的進(jìn)一步限制，把行駛的時(shí)間設(shè)為定值，把乙行駛的方向角設(shè)置為變量，難度設(shè)置成“易”，使中等偏下的學(xué)生都能求解;第2)小題難度中等，使中等程度的學(xué)生能順利求解.改編后的試題環(huán)環(huán)相扣、梯度分明，較好地體現(xiàn)了試題的區(qū)分度，能有效區(qū)分出知識(shí)掌握程度不同的學(xué)生，體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念.

3.1.3 多題一說

圖3

在教研活動(dòng)中，說題者針對(duì)多道試題，就其共性方面(通解、數(shù)學(xué)思想方法等)展開示說.如圍繞以下4道高考試題可就“數(shù)形結(jié)合”思想來進(jìn)行多題一說.

( )

(2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

說題1利用對(duì)稱性，由形到數(shù).

( )

A.{3,4} B.{2,3,4}

C.{3,4,5} D.{2,3}

(2013年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

圖4 圖5

說題2“由數(shù)思形”，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例6若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2，且f(x1)=x1，則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

(2013年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

說題3由數(shù)思形，以形助數(shù).

由數(shù)思形：由極值點(diǎn)的意義可得x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，再由該方程的結(jié)構(gòu)特征(二次項(xiàng)系數(shù)為正)可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性(先增后減再增)，從而可利用單調(diào)性作出該函數(shù)的草圖.因此要判斷方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)，只需觀察直線y=x1,y=x2與函數(shù)f(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況(如圖6).以形助數(shù)：作出直線y=x1,y=x2以及函數(shù)f(x)的草圖即可得解.

圖6 圖7

例7設(shè)a∈R，若當(dāng)x>0時(shí)，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,則a=______.

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

說題4由數(shù)到形，數(shù)形結(jié)合.

按照常規(guī)思路，本題求解時(shí)通?？煞譃閮煞N情況：

受傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)的影響，很多人可能會(huì)認(rèn)為本題是錯(cuò)題或解不出來.事實(shí)上，本題可先“由數(shù)到形”，即將所給含參不等式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)值的符號(hào)相同問題，然后通過分別作圖(如圖7)，觀察它們的共同特征，“數(shù)形結(jié)合”得出它們的另一個(gè)交點(diǎn)位置是確定的，從而有效地避免了傳統(tǒng)解法的分類及繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算及推理，順利求出參數(shù)a的值.

4 結(jié)論

通過近幾年教師現(xiàn)場(chǎng)“說題”比賽的開展，筆者發(fā)現(xiàn)：教師在說題前進(jìn)行的一系列準(zhǔn)備工作，如查閱資料、理論學(xué)習(xí)、中(高)考試題研究等，有利于提高教師解題、命題水平，有利于提升教師的教研水平;在現(xiàn)場(chǎng)說題時(shí)，他們能充分展現(xiàn)自身數(shù)學(xué)教育的理論功底、數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度、數(shù)學(xué)方法的理解能力及對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).通過多次教師現(xiàn)場(chǎng)說題比賽的開展，參賽教師能很快成為教改教研的骨干力量.

本課題研究開展一年以來，能充分調(diào)動(dòng)各中學(xué)的積極性，課題組成員所在學(xué)校數(shù)學(xué)組教師開設(shè)片區(qū)級(jí)以上的展示課20多節(jié)，課題組成員所在學(xué)校教師和學(xué)生均取得了較好的成績(jī).

[1] 陳俊斌.一道高考數(shù)學(xué)試題引發(fā)的探究與思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2017(1)：30-33.