數(shù)形結(jié)合思想方法*

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(蕭山中學(xué),浙江 杭州 311201)

1 考點(diǎn)回顧

數(shù)形結(jié)合作為重要的數(shù)學(xué)思想方法，歷來是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.許多數(shù)學(xué)問題只有從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度去理解才能更好地把握其數(shù)學(xué)本質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，既要分析其代數(shù)意義，又要揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，這樣才能使問題化難為易、化繁為簡(jiǎn).

數(shù)形結(jié)合解題操作包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面：一是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性.在運(yùn)用“以形助數(shù)”時(shí)，需要深諳某些特定的代數(shù)結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的圖形意義，并熟練掌握常見圖形的畫法及圖形變換過程；在運(yùn)用“以數(shù)輔形”時(shí)，需要正確轉(zhuǎn)化圖形與符號(hào)兩種語言，并具備較強(qiáng)的運(yùn)算求解、邏輯思維、綜合運(yùn)用等能力.

2 典題剖析

2.1 以形助數(shù)

分析將函數(shù)解析式化為

y=a·b=|a|·|b|·cos=

圖1

評(píng)注如果根號(hào)內(nèi)部二次函數(shù)能夠配方，那么可以將根式看作兩點(diǎn)間距離來觀察值域.本題別出新裁，利用向量數(shù)量積來轉(zhuǎn)化問題.

( )

A.{Sn}為遞增數(shù)列 B.{Sn}為遞減數(shù)列

C.{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D.{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

……

不難得到

bn+cn=2a1.

而BnCn長為定值a1，若固定三角形的兩頂點(diǎn)Bn,Cn，則頂點(diǎn)An在以Bn,Cn為兩焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng).又因?yàn)?/p>

所以點(diǎn)An在橢圓短軸兩側(cè)擺動(dòng)并逐步趨近于短軸頂點(diǎn)(如圖2)，故選A.

圖2

評(píng)注本題中面積Sn的數(shù)量并不需要求出，關(guān)鍵在于利用△AnBnCn三邊長滿足的特定關(guān)系，結(jié)合橢圓定義,通過觀察圖形便能直接解決.

小結(jié)以形助數(shù)解題的關(guān)鍵是揭示代數(shù)式表達(dá)的幾何圖形含義，比如一次函數(shù)式的系數(shù)代表直線的斜率和截距，構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)單調(diào)性解不等式等.

2.2 以數(shù)輔形

分析由正弦定理易知C=90°，a=6,b=8.分別以CB,CA所在直線為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖3)，則C(0,0),B(6,0),A(0,8),內(nèi)切圓方程為

(x-2)2+(y-2)2=4.

可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+2cosA,2+2sinA)，則

|PA|2+|PB|2+|PC|2=80-8sinA≤88，

即點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C的距離平方和的最大值為88.

評(píng)注解析法是典型的以數(shù)輔形的方法，通過建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

圖3 圖4

例4在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是正方形BB1C1C的中心，P是△A1C1D內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P軌跡的長度等于______.

評(píng)注在空間直角坐標(biāo)系中,要求出線段的長度，只需求出線段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo).在立體幾何中，用坐標(biāo)法來解決幾何問題也充分體現(xiàn)了以數(shù)輔形的方法.

例5在四面體P-ABC中，已知PA⊥BC,PB⊥AC，求證：PC⊥AB.

故

PC⊥AB.

評(píng)注向量兼具幾何特性和代數(shù)特性,引入向量來解決幾何問題也體現(xiàn)了以數(shù)輔形的方法，坐標(biāo)法的實(shí)質(zhì)是向量法的特殊情形(當(dāng)向量用單位正交基表示時(shí)).

小結(jié)運(yùn)用代數(shù)方法不僅可對(duì)圖形作出定性分析(如平行、垂直等)，也能對(duì)圖形進(jìn)一步作定量計(jì)算(如長度、角度、定值、最值等).

2.3 數(shù)形互助

圖5

評(píng)注先將函數(shù)問題化為圖形問題，再用代數(shù)計(jì)算分析圖形關(guān)系，而在(-∞,-2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)又可用指數(shù)增長的特性來直觀判斷.

圖6

從而

即

kOD=-kEF，

同理可得

kOE=-kDF，

于是

∠DOE+∠DFE=π，

因此原點(diǎn)O在△DEF的外接圓上.

評(píng)注先利用圖形的對(duì)稱性給出猜想，再對(duì)猜想的結(jié)果進(jìn)行證明，常需要用解析法(代數(shù)化)，而運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算結(jié)果作判斷時(shí)又要用到代數(shù)結(jié)果所反映的圖形特征.

小結(jié)利用數(shù)形結(jié)合思想方法解題時(shí)，需不斷根據(jù)圖形觀察來確定代數(shù)運(yùn)算思路(以形助數(shù))、用代數(shù)運(yùn)算結(jié)果分析圖形的細(xì)節(jié)特征(以數(shù)輔形)，由此在數(shù)與形的反復(fù)轉(zhuǎn)化中解決問題.當(dāng)然，對(duì)圖形的變化規(guī)律需要有正確的把握，否則會(huì)被圖形誤導(dǎo)，產(chǎn)生錯(cuò)誤(如例6，不少學(xué)生誤認(rèn)為只有兩個(gè)零點(diǎn)).

3 精題集萃

1.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是

( )

A.直線 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

( )

圖7

3.如圖7，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x,D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折.若在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是

( )

4.在等差數(shù)列{an}中，a1∈[0,1]，a2∈[1,2]，a3∈[2,3]，則a4的取值范圍為

( )

8.正△ABC頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B,C在α外同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn).若△ABC在α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，求出直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍.

9.已知過點(diǎn)A(0,1)和B(4,a)(其中a≠0)且與x軸相切的圓只有一個(gè)，求該圓的方程.

參考答案

1.D 2.D 3.A 4.C

圖8

因此

從而

故

9.解設(shè)圓心C(m,n)，因?yàn)閳A與x軸相切，所以半徑r=|n|.又因?yàn)閳A過點(diǎn)A(0,1)和B(4,a)，所以

r2=n2=m2+(n-1)2=(m-4)2+(n-a)2,

整理得

將式(1)代入式(2),消去m,得

(1-a)m2-8m+16-a+a2=0.

因?yàn)榉蠗l件的圓只有一個(gè)，所以上述關(guān)于m的方程只有一個(gè)解，可得

解得

a=1或a=0(舍去),

故

從而圓的方程為