在一個游戲問題的解決中體驗?zāi)Ｊ降膽?yīng)用

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(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004)

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂工作中，研究者們提出了中學(xué)數(shù)學(xué)教育中需要培養(yǎng)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析[1].其中“數(shù)學(xué)建模”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)過多年的實踐，已經(jīng)取得了豐碩的成果.一般認(rèn)為“數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程”[2].在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，需要有一個現(xiàn)實的問題情境，學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)等方式，經(jīng)歷“從實際問題中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,用數(shù)學(xué)方法加以解決,并在實際問題中解釋、應(yīng)用、推廣”這樣一個完整的過程.在分析核心素養(yǎng)的內(nèi)涵時，李藝等則提出了“雙基”“問題解決”“學(xué)科思維”的三層架構(gòu)，并指出：其中“雙基”層最為基礎(chǔ)，學(xué)科思維層最為高級，而問題解決層發(fā)揮著承上啟下的作用[3].

一個好的問題是開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)乃至培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在.然而，就中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而言，適合組織數(shù)學(xué)建模教學(xué)的“好的問題”并不豐富.因此，設(shè)計、開發(fā)并有效利用“好的問題”便成了中學(xué)數(shù)學(xué)教師們的一項重要任務(wù).筆者用通俗的方法分析一個Nim游戲問題的解決過程，說明一個“好的問題”將如何影響學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

1 問題提出和解決

問題甲、乙兩人玩一種游戲：現(xiàn)有3列撲克牌，第1列3張，第2列6張，第3列9張.兩人依次輪流從中取走若干張撲克牌，每次只能在其中一列中取，至少取1張，至多取完該列的所有撲克牌.取到最后1張牌者為輸.若甲先取牌，如何保證自己必贏？

為敘述方便，作如下書寫約定：將3列撲克牌數(shù)記為(3,6,9)，某列中取走若干張牌后的結(jié)果也仿此表述，例如甲從第2列取走3張牌后的結(jié)果記為：甲(3,3,9)，乙再從第3列取走2張牌后的結(jié)果記為：乙(3,3,7)；并在某些場合稱甲方為“我方”，稱乙方為“對手”.

面對該問題的一個自然想法是先作些嘗試.比如甲先將第3列的9張牌取完，即：甲(3,6,0)，此時乙只需應(yīng)對：乙(3,3,0).接著，若甲只取1張，無論甲(2,3,0)還是甲(3,2,0)時，乙都從另一列取1張，即得乙(2,2,0)，至此，不管甲怎么取，乙都可將最后1張留給甲，乙已經(jīng)穩(wěn)操勝券；若甲取2張，比如甲(1,3,0)，乙只需取走第2列的3張便贏了；若甲取3張，比如甲(0,3,0)，則乙(0,1,0)便贏了.

看來甲取完一列顯然是失策的.不過由上面的分析可以發(fā)現(xiàn)：一方只要控制了(0,2,2)，(0,3,3)中的任何一種，便能穩(wěn)操勝券，我們稱它們?yōu)椤盁o解模式”(對于對手來說是無法破解的).

于是，我們得到了第一類無解模式：(0,n,n)，其中n∈N+，且n≥2.這3列中的3個數(shù)可以任意調(diào)換，下文中的所有模式均如此.至此，我們有了解決這一問題的一個看起來很不錯的思路，即“構(gòu)建模式”:

1)先從最簡單的開始，易發(fā)現(xiàn)(1,1,1)是無解模式.進(jìn)而知(1,2,3)也是無解模式.

2)若我方(1,3,4)，對手(1,3,2)即為無解模式.因此(1,3,4)不是無解模式.

3)若我方(1,4,5)，對手(1,4,4)時，我方(0,4,4)為無解模式；對手(1,4,3)時，我方(1,2,3)為無解模式；對手取第2列時，可用同樣的無解模式破解.因此(1,4,5)是無解模式.

4)若我方(2,4,6)，對手(1,4,6)時，我方(1,4,5)為無解模式；對手(2,3,6)時，我方(2,3,1)為無解模式(其實只要有兩個數(shù)小于等于3時，一步便可獲得無解模式)；對手(2,4,5)時，我方(1,4,5)為無解模式；對手(2,4,4)時，我方(0,4,4,)為無解模式；對手的其他應(yīng)對均極易破解.因此(2,4,6)為無解模式.

利用化歸與分類，容易得到如下無解模式：(3,5,6)，(1,6,7)，(2,5,7)，(3,4,7).

現(xiàn)在，我們來分析(3,6,9)的破解方法.

利用前面得到的無解模式，容易發(fā)現(xiàn):只需在第3列取走4張，即甲控制(3,6,5)這一無解模式便贏定了.

當(dāng)然，我們還想知道，除此之外是否還有其他的取勝之道.對此，我們只能進(jìn)行詳細(xì)地分類討論：若甲(2,6,9)，則乙(2,6,4)為無解模式；若甲(1,6,9)，則乙(1,6,7)為無解模式；若甲(3,5,9)，則乙(3,5,6)為無解模式；若甲(3,4,9)，則乙(3,4,7)為無解模式；若第2列牌數(shù)小于等于3，由前面的分析，極易被破解；若甲(3,6,8)或(3,6,7)，則乙(3,6,5)為無解模式；若甲(3,6,6)，兩列數(shù)相同，則乙(0,6,6)或(3,5,6)均可破解；若甲(3,6,4)，則乙(2,6,4)為無解模式；若第3列的牌數(shù)小于等于3，同樣極易被破解.

綜上所述，我們確認(rèn)：對于(3,6,9)，甲欲贏得游戲的唯一解是從第3列中取走4張，控制(3,6,5)這一無解模式.

2 模式擴(kuò)展

改變3列撲克牌的張數(shù)，將問題一般化.為了解決一般問題，需要將現(xiàn)有無解模式擴(kuò)展，甚至構(gòu)建更一般的無解模式.為此，我們對已有模式的特征進(jìn)行分析.

一個較為明顯的特征是，已有模式中的大多數(shù)均滿足2個數(shù)之和等于第3個數(shù).于是猜想：當(dāng)a+b=c時，(a,b,c)是無解模式.然而遺憾的是，該猜想的結(jié)論并不正確.事實上，(3,6,9)便是一個反例.看來，我們只能退一步，先考察較小范圍的無解模式特征.

當(dāng)3個數(shù)互不相同，2個數(shù)之和等于第3個數(shù)，且最小數(shù)為1時，我們發(fā)現(xiàn)有如下的無解模式：(1,2,3)，(1,4,5)，(1,6,7)，(1,8,9)，(1,10,11)，……

根據(jù)其中的規(guī)律，不難得到下面的結(jié)論:

定理1當(dāng)n∈N+時，(1,2n,2n+1)是無解模式.

證明當(dāng)n=1時，結(jié)論成立，即(1,2,3)是無解模式.

假設(shè)當(dāng)n≤k(其中k∈N+)時，結(jié)論成立，即(1,2n,2n+1)是無解模式.

當(dāng)n=k+1時，撲克牌數(shù)為(1,2k+2,2k+3).

1)若對手在第1列取，取后為(0,2k+2,2k+3)，則(0,2k+2,2k+2)即為無解模式.

2)若對手在第2列取，取后為(1,2k+2-m,2k+3)，其中1≤m≤2k+2，此時：

①當(dāng)m=2k+2時，取完第3列，(1,0,0)即為無解模式；

②當(dāng)m=2k+1時，第3列留1張，(1,1,1)即為無解模式；

③當(dāng)1≤m≤2k，且m為偶數(shù)時，記m=2m1，其中m1∈N+，我方只需在第3列取m=2m1張，(1,2(k-m1+1),2(k-m1+1)+1)即為無解模式；

④當(dāng)1≤m≤2k，且m為奇數(shù)時，記m=2m1+1，其中m1∈N，我方只需在第3列取m+2=2m1+3張，(1,2(k-m1)+1,2(k-m1))即為無解模式.

3)若對手在第3列取，取后為(1,2k+2,2k+3-m)，其中1≤m≤2k+3,此時：

①當(dāng)m=1時，(0,2k+2,2k+2)即為無解模式;

②當(dāng)m=2k+3時，取完第2列，(1,0,0)即為無解模式;

③當(dāng)m=2k+2時，第2列留1張，(1,1,1)即為無解模式;

④當(dāng)2≤m≤2k+1，且m為偶數(shù)時，記m=2m1，其中m1∈N+，我方只需在第2列取m=2m1張，(1,2(k-m1+1),2(k-m1+1))即為無解模式;

⑤當(dāng)2≤m≤2k+1，且m為奇數(shù)時，記m=2m1+1，m1∈N+，我方只需在第2列取m-2=2m1-1張，(1,2(k-m1+1)+1,2(k-m1+1))即為無解模式.

綜上所述，當(dāng)n=k+1時，無論對手如何應(yīng)對，我方均可控制無解模式，即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，待證的結(jié)論成立.

當(dāng)3個數(shù)中2個數(shù)之和等于第3個數(shù)，且其中有一個數(shù)為2時，我們發(fā)現(xiàn)有如下的無解模式：(2,0,2)，(2,1,3)，(2,4,6)，(2,5,7)，(2,8,10)，(2,9,11)，(2,12,14)，(2,13,15)，……不難發(fā)現(xiàn)該類無解模式的一般形式是：(2,4k,4k+2)或(2,4k+1,4k+3)，其中k∈N(證明略).依照這樣的思路，我們還可以推廣出更多類的無解模式(此處略).

3 價值分析

我們將上述問題應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的一般過程.更重要的是，在該問題的解決中，需要充分利用模式的作用.由此，一個模式實際上就是一個較為復(fù)雜的思維過程所得結(jié)果的簡單呈現(xiàn)，而這個結(jié)果又成為思維鏈中的一環(huán).由于我們的“深層次”思維可以應(yīng)用這些模式，只需關(guān)注“環(huán)”與“環(huán)”之間相扣的方法，而暫時隱藏了“環(huán)”內(nèi)部思維的細(xì)枝末節(jié)，這就使得我們的“深層次”思維能夠較為順暢地進(jìn)行.在這里“模式”就成了一種“思維組塊”，保證了我們的思維能夠更簡捷、更清晰、更深入.

一般認(rèn)為“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”.事實上，“模式”存在于許多數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力在很大程度上取決于其識別、建構(gòu)、應(yīng)用恰當(dāng)模式的能力.從這個層面上來看，該問題的解決過程已經(jīng)在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科思維的一般形態(tài)，可以在學(xué)科思維這一層面上有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展．

在上述問題的解決中，還需要不斷地經(jīng)歷模式猜想、模式否定(證偽)、重新建構(gòu)模式并加以證明(證實)的過程.這種從證偽到證實的思維過程，正是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展乃至一般人類知識產(chǎn)生和發(fā)展的基本規(guī)律.正如喻平教授指出的：“證實性知識與證偽性知識相結(jié)合，是實現(xiàn)知識遷移和知識創(chuàng)新的必然選擇.”而“發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，關(guān)鍵是要走出‘知識理解’的圍欄，由‘知識理解’向‘知識遷移’過渡，再向‘知識創(chuàng)新’提升”[1].因此，上述問題的解決過程在“知識遷移”“知識創(chuàng)新”層面上也能很好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

[1] 喻平．發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)與策略[J]．課程·教材·教法．2017,37(1):48-53．

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M]．北京：人民教育出版社,2003．

[3] 李藝，鐘柏昌．談“核心素養(yǎng)”[J]．教育研究，2015,428(9):17-23．