空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示的教學(xué)設(shè)計(jì)*

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(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641112)

2016年9月24—26日，全國首屆全日制教育碩士學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)教學(xué)技能大賽(決賽)在山東煙臺魯東大學(xué)舉行，筆者有幸參加了這次大賽，并榮獲二等獎(jiǎng)．此次比賽共有4個(gè)課題，“空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示”即為其中之一．選用的教材是人教社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)(選修2-1)》[1]．下面是筆者備賽期間，著眼于“平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示”與“空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示”前后教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與銜接，對教材中的課題“空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示”作了二次開發(fā)和加工，對“空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示”的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了補(bǔ)充和調(diào)整，對向量符號的含義及表示進(jìn)行了改動，對該課題的教學(xué)過程作了新的設(shè)計(jì)．

1 教材分析

“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”安排在人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》中，教學(xué)內(nèi)容的順序是：空間向量正交分解→(特殊到一般)空間向量基本定理→單位正交基底→空間向量的坐標(biāo)表示，見圖1．

圖1

本節(jié)課的核心基礎(chǔ)是“平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示”，此內(nèi)容安排在人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》中，其教學(xué)內(nèi)容的順序?yàn)椋浩矫嫦蛄炕径ɡ怼?受力分析)向量的正交分解→平面向量的坐標(biāo)表示，見圖2．

圖2

基于“用教材教”和“創(chuàng)造性地使用教材”等理念，對“平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示”與“空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示”等教材內(nèi)容進(jìn)行了認(rèn)真研讀，在準(zhǔn)確理解教材編寫意圖的情況下，對本課題教材內(nèi)容作了補(bǔ)充和調(diào)整如下：根據(jù)化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將空間向量分解為2個(gè)平面向量，運(yùn)用平面向量基本定理→空間向量的正交分解→(通過聯(lián)想和類比)空間向量坐標(biāo)表示得到“初定義”→(通過類比)空間向量基本定理→單位正交基底→空間向量坐標(biāo)表示得到“定義”→范例與練習(xí)(練習(xí)運(yùn)用空間向量基本定理解決問題)，如圖3．

圖3

2 教學(xué)設(shè)計(jì)說明

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以“重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的揭示與思維過程的暴露、重知識的形成過程與知識間的邏輯關(guān)系、重?cái)?shù)學(xué)概念的理解與內(nèi)化、重?cái)?shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉”[2]為理念．據(jù)此，首先是整體把握高一和高二教材，弄清楚各個(gè)知識單元板塊之間的內(nèi)在聯(lián)系；其次是準(zhǔn)確把握所教內(nèi)容與學(xué)生已有的知識水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系，使教學(xué)內(nèi)容、知識順序更加符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯．

基于理解教材、尊重教材，但也不拘泥于教材的二次開發(fā)、加工與改動，在“空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示”的教學(xué)設(shè)計(jì)中，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序．為了學(xué)生能夠在高一學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上積極主動地建構(gòu)高二新知識，一些向量的符號仍用高一的符號(詳見教學(xué)過程設(shè)計(jì))，這樣做的好處在于：學(xué)生能夠充分利用已有知識經(jīng)驗(yàn)同化新知識，否則，高一的符號系統(tǒng)對高二新學(xué)內(nèi)容不僅沒有正面幫助反而有負(fù)遷移，這顯然不符合認(rèn)知邏輯．

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 復(fù)習(xí)舊知

1)平面向量基本定理：平面內(nèi)任意一個(gè)向量a，都可以用兩個(gè)不共線的向量表示，即有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量．

2)平面向量的坐標(biāo)表示：設(shè)i，j是與x軸、y軸方向相同的單位向量，對于平面內(nèi)任意一個(gè)向量a，若a=xi+yj，則有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x，y)．

設(shè)計(jì)意圖將已學(xué)過的知識不斷提取和再現(xiàn)，對舊知進(jìn)行歸納整理、鞏固提高、融會貫通，這樣做的目的是為了恢復(fù)或強(qiáng)化頭腦里已形成的知識經(jīng)驗(yàn)，從而對其進(jìn)行組塊的再加工，以期將新知識與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立起實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系．

問題1平面向量的坐標(biāo)能否推廣到空間？

設(shè)計(jì)意圖布魯納發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：認(rèn)識是一個(gè)過程而不是一種結(jié)果，因此讓學(xué)生依據(jù)所獲得的“感性材料”(如平面向量的坐標(biāo)表示)，借助推理和直覺思維提出試探性的假設(shè)(如平面向量坐標(biāo)的推廣)，無疑是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)能力的重要環(huán)節(jié)．

3.2 探究新知

3.2.1 空間向量的正交分解

圖4

在i，j所確定的平面上，存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得

設(shè)計(jì)意圖1)此處向量i，j，k與教材中采用的符號不同，我們采用的i，j，k不僅兩兩垂直，而且都是單位向量．追本溯源，向量i，j曾以“與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底”首次出現(xiàn)在人教A版《數(shù)學(xué)(必修4)》“平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”中[3]．為避免引起學(xué)生混亂，以及預(yù)防學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，故仍沿用向量i，j，k是兩兩垂直的單位向量．

2)將空間中任意一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量：一個(gè)是xOy平面上的向量，一個(gè)是與z軸共線的向量(或是與k所確定的平面上的向量)；再由平面向量基本定理，將空間中的任意一個(gè)向量分解為3個(gè)互相垂直的向量，叫做空間向量的正交分解．

3)讓學(xué)生充分體會蘊(yùn)涵在問題解決過程中的化歸與轉(zhuǎn)化、符號化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，以及欣賞演繹推理、邏輯證明的數(shù)學(xué)魅力，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣．

3.2.2 空間向量坐標(biāo)表示的定義(此定義稱為“初定義”)

3)這里所給的定義是基于聯(lián)想和類比得到的，屬于直覺性的定義．

3.2.3 空間向量基本定理

問題3平面向量基本定理能否推廣到空間？

定理1如果3個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使得p=xa+yb+zc．其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c叫做基向量．

設(shè)計(jì)意圖開普勒說：我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密[4].類比作為一般的科學(xué)方法，是人們探索問題、尋求和發(fā)現(xiàn)真理的重要方法．學(xué)生認(rèn)為新的數(shù)學(xué)問題情境與先前的問題情境類似或相仿，就可能產(chǎn)生類比[5]．通過類比平面向量基本定理，進(jìn)而推廣得到空間向量基本定理．注意：空間任何3個(gè)不共面的向量都可作為一個(gè)基底．

3.2.4 空間向量坐標(biāo)表示的“定義”

問題4能否直接用空間向量基本定理推出空間向量的坐標(biāo)表示？

1)單位正交基底.

“定義” 設(shè)i，j，k為有公共起點(diǎn)O的3個(gè)兩兩垂直的單位向量，則i，j，k稱為單位正交基底．

設(shè)計(jì)意圖此處將教材中“設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)O的3個(gè)兩兩垂直的單位向量，稱為單位正交基底[1]”中的“e1，e2，e3”更改為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的i，j，再添上新符號k，就構(gòu)成“i，j，k”．這樣做的原因是:若在40分鐘的同一節(jié)課中，“e1，e2，e3”中的“e1，e2”就以“兩兩垂直的單位向量”出現(xiàn),則違背邏輯學(xué)中的同一律，即同一個(gè)詞語、同一個(gè)符號它們的意義(含義)必須保持同一性，即同一詞語意義的同一性，相同符號含義的一致性[6]．

為遵循同一性，避免學(xué)生引起混亂，以學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，將“e1，e2，e3”更改為“i，j，k”．需要說明的是，符號這樣更改，高一的符號系統(tǒng)對高二新學(xué)內(nèi)容能夠產(chǎn)生正遷移，符合認(rèn)知邏輯．

2)空間向量的坐標(biāo)表示.

因?yàn)辄c(diǎn)P的位置由空間向量p唯一確定,所以向量p的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)(x，y，z)，這樣便有了從正交基底到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換．

設(shè)計(jì)意圖聯(lián)想一些形式相同、思考方法接近、結(jié)構(gòu)特征相似的熟悉問題或常規(guī)問題，通過遷移將會頓悟出解決問題的思路和方法[6]．聯(lián)想空間向量基本定理與平面向量的坐標(biāo)表示等“熟悉問題”，通過從一般到特殊的演繹推理，得到空間向量坐標(biāo)表示的再定義．需要特別強(qiáng)調(diào)的是，雖然與前面引出空間向量坐標(biāo)定義的方式不同，但其本質(zhì)是相同的．

思考由空間向量基本定理知p=xi+yj+zk，及空間向量的坐標(biāo)表示知p=(x,y,z)，是否有xi+yj+zk=(x,y,z)？

設(shè)計(jì)意圖解題的靈活性來源于概念的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，因此從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的思路[7]．如上恒等式，在解題過程中經(jīng)常反復(fù)互用，將其單獨(dú)提取出來，一是為了培養(yǎng)學(xué)生從概念間建立聯(lián)系的意識，二是為了在已知和未知的多元表征中建立直觀刺激．

圖5

3.3 范例與練習(xí)

設(shè)計(jì)意圖空間任意一個(gè)向量都可以用3個(gè)不共面的向量表示出來，這能為解決問題帶來方便．范例與練習(xí)是理解數(shù)學(xué)概念的必要步驟．

3.4 總結(jié)提煉

1)歸納“空間向量正交分解—坐標(biāo)表示初定義—空間向量基本定理—單位正交基底及坐標(biāo)表示再定義”的研究過程，使學(xué)生頭腦中形成關(guān)于本課內(nèi)容的一個(gè)清晰的知識結(jié)構(gòu)，包括相關(guān)知識的聯(lián)系．

2)以空間與平面之間的相互關(guān)聯(lián)為載體，概括用猜想法、聯(lián)想法、類比法、歸納法、演繹法等研究空間問題的基本方法，以及數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、符號化等基本思想，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想和方法蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中．

設(shè)計(jì)意圖圍繞本課的內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想方法，以知識的發(fā)生、發(fā)展過程為線索展開，以期及時(shí)歸納本課內(nèi)容，提煉思想方法，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，方能維持其時(shí)效性和鮮活性．

3.5 課后作業(yè)

1)復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.

2)作業(yè)：教材第97頁習(xí)題A組第1～3題.

4)預(yù)習(xí)：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)是記憶之母，復(fù)習(xí)是理解之父，充分理解和記憶所學(xué)知識后，能提高應(yīng)用該知識解決新問題的效率；數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題是精挑細(xì)選的，且難度循序漸進(jìn)遞增，適量練習(xí)是檢驗(yàn)所學(xué)知識運(yùn)用和實(shí)踐情況的有效途徑；思考題將思考延伸到課外，培養(yǎng)學(xué)生更深層次的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了分層教學(xué)理念，且具有探究意味；預(yù)習(xí)的主要任務(wù)是初步感知新知識，并找出疑難點(diǎn)，為學(xué)習(xí)新知識埋下伏筆，以達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果．

[1] 劉紹學(xué)，王申懷.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-1)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 趙思林．一道公式推導(dǎo)試題引發(fā)的爭論與思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2011，50(9)：16-18.

[3] 劉紹學(xué)，章建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(必修4)[M].北京：人民教育出版社，2007：93-96.

[4] 錢珮玲，章建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修2-2)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5] 趙思林，朱德全．試論數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)策略[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19(1)：23-26.

[6] 趙思林，王佩，徐小琴．高中函數(shù)定義存在的問題和修訂建議[J]．教學(xué)與管理，2017(1)：41-43.

[7] 章建躍．“卡西歐杯”第五屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動總結(jié)暨大會報(bào)告——理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)[J]．中國數(shù)學(xué)教育，2010(12)：3-7;15.