線性變換張量積的Jordan-Chevalley分解

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(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

1 張量積的基本性質(zhì)

在李理論中,Jordan-Chevally分解指出任意一個線性變換可唯一地表示成它的可交換的半單部分和冪零部分的和[1].文獻(xiàn)[2] 指出該分解存在當(dāng)且僅當(dāng)所討論的基域完備.線性變換張量積在數(shù)學(xué)、物理等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用,而2個線性變換張量積的Jordan-Chevalley分解理論目前國內(nèi)外研究還比較少,本文將在代數(shù)閉域上探討2個線性變換張量積的Jordan-Chevalley分解,首先通過矩陣表示討論2個線性變換張量積的一些基本性質(zhì),接著證明該張量積的Jordan-Chevalley分解的唯一存在性,并利用這些結(jié)論給出具體表達(dá)式.

定義1[3]設(shè)是代數(shù)閉域,V,W是域上的有限維向量空間,且dimV=m,dimW=n.?x0∈V,y0∈W都有唯一的積z=x0?y0與之對應(yīng),并且對于固定y0,x0與z的對應(yīng)是線性的; 對于固定x0,y0與z的對應(yīng)是線性的.這種對應(yīng)關(guān)系稱為V與W的張量積,記為V?W,它構(gòu)成一個向量空間.

性質(zhì)1[3]?x0,x1,x2∈V,y0,y1,y2∈W,a∈,

a.0?y0=x0?0=0;

b.(ax0)?y0=x0?(ay0)=a(x0?y0);

c.(x1+x2)?y0=(x1?y)+(x2?y0);

d.x0?(y1+y2)=(x0?y1)+(x0?y2).

性質(zhì)2[3]設(shè)BⅠ:{v1,…,vm}為V的一組基,BⅡ:{w1,…,wn}為W的一組基,則BⅢ:{vi?wj:i=1,…,m;j=1,…,n}為V?W的一組基,且dim (V?W)=mn.

性質(zhì)3[4](張量積的普遍性質(zhì)) 設(shè)φ:V×W→V?W是一個雙線性映射,對任意給定的向量空間Z,若存在一個雙線性映射h:V×W→Z,那么,存在唯一的線性映射h′:V×W→Z使圖1可交換,即h=h′°φ.

圖1 交換圖Fig.1 Commutative diagram

2 End (V?W)及其矩陣表示

定義2如果線性變換x的極小多項(xiàng)式無重根,稱x是半單的.如果討論的基域是代數(shù)閉域,等價(jià)于該線性變換的矩陣可對角化.

定義3如果存在正整數(shù)k,使得xk=0,那么,稱線性變換x冪零.

式中,δsk為Kronecker函數(shù).

定理1EndV?EndW?End (V?W)

證明對?x∈EndV,y∈EndW,定義映射Tx,y:V?W→V?W,滿足

Tx,y(v?w)=x(v)?x(w),?v∈V,w∈W

由張量積的性質(zhì)易驗(yàn)證Tx,y是線性的,即Tx,y∈End (V?W).再令

φ:EndV×EndW→EndV?EndW,

φ(x,y)=x?y

h:EndV×EndW→End (V?W),

h(x,y)=Tx,y

顯然,φ,h是雙線性的.由性質(zhì)3可知,存在唯一的線性映射h′:EndV?EndW→End (V?W),使得h=h′°φ.再取EndV的一組自然基eis:1≤i,s≤m,EndW的一組自然基fjt,1≤j,t≤n,根據(jù)性質(zhì)2,EndV?EndW有基eis?ftj,且

這說明{Teis,fjt|1≤i,s≤m,1≤j,t≤n}構(gòu)成End (V?W)的一組自然基,h′將EndV?EndW的基向量eis?ftj映到End (V?W)的基向量Teis,fjt,故h′是同構(gòu)映射,定理1得證.

由定理1可知,可以將EndV?EndW中的元與End (V?W)中的元等同起來,即?z∈End (V?W),存在x∈EndV,y∈EndW,使得z=x?y且(x?y)(v?w)=x(v)?y(w).

引理1[5]若x∈EndV在基BⅠ下的矩陣為A,y∈EndW在基BⅡ下的矩陣為B,則x?y在基BⅢ下的矩陣為A?B,即A與B的Kronecker積.具體地,若A=[aij]m×n,B=[bij]p×q矩陣,則

現(xiàn)探討A?B的一些相關(guān)性質(zhì),根據(jù)線性變換與矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系,x?y有對應(yīng)的性質(zhì)4～8.

性質(zhì)4[5]a.(A?B)(C?D)=(AC)(BD); b.A?B可逆當(dāng)且僅當(dāng)A,B可逆,且(A?B)-1=A-1?B-1.

性質(zhì)6若A和B都是可對角化的矩陣,則A?B也可對角化.

證明因?yàn)?A,B可對角化,則存在可逆的矩陣P和Q,使得P-1AP=Λ1,Q-1BQ=Λ2,其中,Λ1,Λ2是對角矩陣,由性質(zhì)4可得

所以,

(P?Q)-1(A?B)(P?Q)=Λ1?Λ2

顯然,Λ1?Λ2仍是對角矩陣.

性質(zhì)7[7-8]A?B冪零當(dāng)且僅當(dāng)A和B中至少一個冪零.

證明一個矩陣冪零當(dāng)且僅當(dāng)它的所有特征值為0.現(xiàn)設(shè)α1,…,αm是矩陣A的所有特征值,β1,…,βn是矩陣B的所有特征值,由性質(zhì)5可知,A?B的特征值為{αiβj:1≤i≤m;1≤j≤n} .

充分性:若A,B中至少一個冪零,那么,所有的α1,…,αm為0,或者,所有的β1,…,βn為0,這使得的所有A?B特征值都為0,從而A?B冪零.

必要性:若A?B冪零,但A和B都不冪零,則一定存在某個αi和βj都不為0,從而αiβj不為0,這與A?B是冪零的條件矛盾.

性質(zhì)8若矩陣A與C可交換,矩陣B與D可交換,則A?B與C?D可交換.

證明若AC=CA,BD=DB,則(A?B)(C?D)=(AC)(BD)=(CA)(DB)=(C?D)(A?B).

3 x?y的Jordan-Chevalley分解

定理2設(shè)V,W是代數(shù)閉域上的2個有限維向量空間,則?x?y∈End (V?W)有唯一的Jordan-Chevalley分解:x?y=(x?y)s+(x?y)n,其中,(x?y)s是半單部分,(x?y)n是冪零部分,且(x?y)s和(x?y)n可交換.

證明設(shè)α1,…,αk是x的互不相同的特征值,重?cái)?shù)為m1,…,mk;β1,…,βs是y的互不相同的特征值,重?cái)?shù)為n1,…,ns.由性質(zhì)5可知,x?y有特征多項(xiàng)式

p(T)≡λu(mod (T-λu)lu)

p(T)≡0(modT)

設(shè)q(T)=T-p(T),顯然,p(T),q(T)是關(guān)于T的常數(shù)項(xiàng)為0的多項(xiàng)式.令

(x?y)s=p(x?y),(x?y)n=q(x?y)

則x?y,(x?y)s和(x?y)n可兩兩交換.對?u,p(T)≡λu(mod(T-λu)lu)意味著(x?y-λuidV?W)限制作用到(V?W)u為零變換,因此,(x?y)s對角地作用在(V?W)u上,其特征值只有λu.又(x?y)n=(x?y)-(x?y)s,顯然,(x?y)n是冪零的.現(xiàn)證唯一性[7],若x?y還存在另一個Jordan-Chevalley分解x?y=s+n,s半單,n冪零,且sn=ns,則有(x?y)s-s=n-(x?y)n,又因?yàn)榭山粨Q的半單或者冪零的線性變換和還是半單或者冪零的,因此,(x?y)s-s=n-(x?y)n既半單又冪零,只可能為0,因此,s=(x?y)s,n=(x?y)n.

定理3若x的Jordan-Chevalley分解為x=xs+xn,y的Jordan-Chevalley分解為y=ys+yn,那么,x?y的Jordan-Chevalley分解的半單部分是xs?ys,冪零部分是xs?yn+xn?ys+xn?yn.

證明因?yàn)?x?y=(xs+xn)?(ys+yn)=xs?ys+xs?yn+xn?ys+xn?yn,由性質(zhì)6可知,xs?ys是半單的,由性質(zhì)7可知,xs?yn、xn?ys,xn?yn是冪零的,由性質(zhì)6可知,xs?ys,xs?yn,xn?ys和xn?yn是兩兩可交換的,所以,它們的和xs?yn+xn?ys+xn?yn還是冪零的,且與xs?ys可交換.由Jordan-Chevalley分解的唯一性可得

(x?y)s=xs?ys

(x?y)n=xs?yn+xn?ys+xn?yn

由定理3可知,對任意給定的正整數(shù)k,可得

(x?y)k=xk?yk=(xs+xn)k?

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