雙重編碼理論支持下的小學(xué)數(shù)學(xué)直觀教學(xué)路徑例談

張敏

摘 要：雙重編碼理論帶給教學(xué)重要的啟示：可通過(guò)同時(shí)用視覺和語(yǔ)言的形式呈現(xiàn)信息來(lái)增強(qiáng)信息的記憶和識(shí)別。雙重編碼理論為數(shù)學(xué)直觀教學(xué)提供了理論支持，在知識(shí)形成的各個(gè)階段，要同時(shí)運(yùn)用兩套編碼系統(tǒng)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、原理的視覺映象和視覺表征，以降低認(rèn)知負(fù)荷，降低學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)理解能力，提高學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：雙重編碼；言語(yǔ)表征；視覺表征

美國(guó)心理學(xué)家佩維奧（Paivio.1986）是雙重編碼理論的提出者，他認(rèn)為長(zhǎng)時(shí)記憶可以分為兩個(gè)系統(tǒng)，即表象系統(tǒng)和語(yǔ)義系統(tǒng)。表象和語(yǔ)義是兩個(gè)既相平行又相聯(lián)系的認(rèn)知系統(tǒng)，表象系統(tǒng)以表象代碼來(lái)存儲(chǔ)信息，語(yǔ)義系統(tǒng)以語(yǔ)義代碼來(lái)貯存信息。

雙重編碼理論認(rèn)為，當(dāng)學(xué)習(xí)者用言語(yǔ)和表象兩種認(rèn)知系統(tǒng)表征相同的材料時(shí)，如果言語(yǔ)信息和圖畫信息在時(shí)間和空間上一致，則在編碼的過(guò)程中就會(huì)形成言語(yǔ)表征和視覺表征的連接，從而增加學(xué)習(xí)者提取信息的路徑，形成有效的學(xué)習(xí)并提高學(xué)習(xí)效果。

雙重編碼理論帶給我們最重要的啟示就是：可通過(guò)同時(shí)用視覺和語(yǔ)言的形式呈現(xiàn)信息來(lái)增強(qiáng)信息的記憶和識(shí)別。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該特別重視幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念、原理的視覺映象和視覺表征。即在知識(shí)的形成階段、聯(lián)系階段、深化階段和再現(xiàn)階段，同時(shí)運(yùn)用兩套編碼系統(tǒng)，以降低認(rèn)知負(fù)荷與學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)習(xí)效率。

一、知識(shí)形成階段：對(duì)比呈現(xiàn)，互相轉(zhuǎn)譯

在知識(shí)的形成階段，為了幫助學(xué)生在頭腦中形成關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征與表象表征，要充分利用提供的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料數(shù)與形兩個(gè)方面的特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)材料中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)方法以形的方式顯現(xiàn)，并引導(dǎo)學(xué)生再以數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述、內(nèi)化，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)言語(yǔ)表征與表象表征的互譯后，再進(jìn)行抽象、概括，從而形成對(duì)知識(shí)的深刻理解和感悟，并通過(guò)同化或順應(yīng)納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。例如四年級(jí)下冊(cè)《近似數(shù)》教學(xué)片段：

師：有時(shí)，我們不需要統(tǒng)計(jì)出人口的準(zhǔn)確數(shù)，只需要統(tǒng)計(jì)到“萬(wàn)”做單位的近似數(shù)就可以了。那么，男性人數(shù)和女性人數(shù)分別大約是多少萬(wàn)人？

生：男性大約是38萬(wàn)人，女性大約是39萬(wàn)人。

師：這兩個(gè)人數(shù)都是38萬(wàn)多，為什么男性大約38萬(wàn)，女性大約39萬(wàn)？

生：男性人數(shù)更加接近38萬(wàn)，女性人數(shù)更加接近39萬(wàn)。

師：（出示數(shù)軸）在這條數(shù)直線上用兩個(gè)點(diǎn)表示38萬(wàn)和39萬(wàn)，那么男生人數(shù)大約在什么位置？女生人數(shù)大約在什么位置？（學(xué)生上臺(tái)指）

師：為什么會(huì)在這個(gè)位置上？你確定點(diǎn)的位置的依據(jù)是什么？

生：因?yàn)槟行匀藬?shù)不到38萬(wàn)5千，而女性人數(shù)超過(guò)了38萬(wàn)5千。

師：也就是看千位上的數(shù)字。千位上是幾的時(shí)候，這個(gè)數(shù)會(huì)離38萬(wàn)更近？（0、1、2、3、4）是幾的時(shí)候，離39萬(wàn)更近？（5、6、7、8、9）

師：那么男女人口的總?cè)藬?shù)770889，你會(huì)在數(shù)直線上想到什么樣的畫面？請(qǐng)?jiān)诩埳袭嫵鰜?lái)。

師：說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

生：770889在77萬(wàn)到78萬(wàn)之間，因?yàn)榍簧鲜?，所以離77萬(wàn)更近，大約是77萬(wàn)。

師呈現(xiàn)三組圖畫與式子（如圖）：能不能說(shuō)說(shuō)，你們是怎么求這三個(gè)數(shù)的近似數(shù)的？

生：以萬(wàn)為單位，就看千位上的數(shù)字，千位上的數(shù)字是0、1、2、3、4時(shí)就直接把后面的數(shù)全部去掉改成“萬(wàn)”，千位上的數(shù)字是5、6、7、8、9時(shí)，去掉后面的數(shù)時(shí)要在萬(wàn)前面的數(shù)字加上1.

師：大家總結(jié)的這種求近似數(shù)的方法就叫“四舍五入”法。

四舍五入法求近似數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)則用語(yǔ)言描述是比較復(fù)雜的，學(xué)生不太容易理解、內(nèi)化。上述片段的教學(xué)中，教師并不必急于引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生將材料中提供的準(zhǔn)確數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，在學(xué)生頭腦中形成準(zhǔn)確數(shù)在數(shù)軸上位置的心理圖像模式，并通過(guò)教師引導(dǎo)性的語(yǔ)言將心理圖像轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)，發(fā)現(xiàn)心理圖像與數(shù)學(xué)表達(dá)之間的共同點(diǎn)是看千位上的數(shù)字是否滿5，在這樣的“多維聯(lián)系表征”所積累的深刻、清晰的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，四舍五入法的規(guī)律就呼之欲出了，這樣的結(jié)論得出就顯得水到渠成、自然順暢。

二、知識(shí)聯(lián)系階段：建立模型，多維解讀

在數(shù)學(xué)知識(shí)的深化理解階段，要實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的“精加工”，需要幫助學(xué)生建立起新舊知識(shí)之間聯(lián)系的視覺模型，并引導(dǎo)學(xué)生從不同的維度分析、解讀模型的特征，用言語(yǔ)信息表征新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，在深層理解的基礎(chǔ)上再與更多的知識(shí)建立更加廣泛的聯(lián)系，甚至獲得新信息，在以后需要運(yùn)用時(shí)增加提取線索，便于檢索和在不同情境中有效運(yùn)用。例如六年級(jí)下冊(cè)《圓錐的體積》教學(xué)中，當(dāng)體積計(jì)算公式被推導(dǎo)出之后，組織學(xué)生建立關(guān)系模型并進(jìn)行解讀：

師：根據(jù)剛才操作與推導(dǎo)，當(dāng)你看到一個(gè)圓錐時(shí)，會(huì)想到一個(gè)什么樣的圓柱？

生：我會(huì)想到和它等底等高的圓柱，這個(gè)圓柱的體積是圓錐的3倍。

生：我會(huì)想到和它底面積相等的圓柱，但是高只有它的，這個(gè)圓柱的體積和它相等。

師出示圖：是的，在研究圓錐的體積時(shí)，我們?cè)陬^腦里要想到這樣一個(gè)圖像——一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，閉上眼睛，把這個(gè)圖像印到自己的腦子里。

師：從這幅圖中，你還能怎么描述這個(gè)圓柱和圓錐的關(guān)系？

生：圓錐比和它等底等高的圓柱體積小2/3。

生：圓柱比和它等底等高的圓錐體積多2倍。

生：等底等高的情況下，圓柱體積與圓錐體積的比是3∶1。

生：等底等高的情況下，圓錐體積與圓柱體積的比是1∶3。

師：如圖，圓柱形的木料加工成最大的圓錐，你會(huì)想到什么？

生：圓錐的體積是圓柱的1/3。

生：削去的部分是圓柱的2/3。

通過(guò)以上的教學(xué)環(huán)節(jié)，在學(xué)生頭腦中深深留下了圓錐與同底圓柱進(jìn)行對(duì)比的視覺圖像，在用不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋這個(gè)圖像的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)圓錐與圓柱之間的聯(lián)系，有了更多角度更多層次的認(rèn)識(shí)與更深刻的把握，更加有利于學(xué)生以聯(lián)系的觀點(diǎn)從數(shù)學(xué)的角度去看待不同的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而為后面開展高水平的、深層次的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了可能。

三、知識(shí)深化階段：深度體驗(yàn)，開拓思維

學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升有賴于深度學(xué)習(xí)，只有學(xué)習(xí)的深度開展，學(xué)生才有可能真正理解知識(shí)，獲得多元發(fā)展。在知識(shí)的深化階段，如果學(xué)習(xí)者能夠?qū)⒘?xí)得的知識(shí)推廣至新的情境里加以應(yīng)用，這就體現(xiàn)出對(duì)知識(shí)的“理解”了。要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，可行的策略之一是在知識(shí)形成并建立相關(guān)聯(lián)系之后，根據(jù)學(xué)習(xí)材料的特點(diǎn)，呈現(xiàn)與知識(shí)相關(guān)的具有共同深層結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題及數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所獲得的數(shù)學(xué)概念、原理等，從數(shù)與形兩個(gè)角度互相解釋、啟發(fā)，以引發(fā)深度體驗(yàn)、開拓思維。例如六年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)倒數(shù)》教學(xué)中，在通過(guò)算式辨析、感知等活動(dòng)對(duì)倒數(shù)概念有了一定認(rèn)識(shí)與理解的基礎(chǔ)上，可以呈現(xiàn)面積為1的長(zhǎng)方形模型，引導(dǎo)學(xué)生從圖像的角度進(jìn)一步深化理解：

師：（逐一出示長(zhǎng)方形）下面的長(zhǎng)方形面積都是1，長(zhǎng)和寬都是什么關(guān)系？

生：長(zhǎng)和寬互為倒數(shù)。

師：你是怎么想到的？

生：長(zhǎng)乘寬的積都等于1，所以長(zhǎng)和寬互為倒數(shù)。

師：（出示數(shù)據(jù)和括號(hào)）你能寫出括號(hào)里的數(shù)據(jù)嗎？（學(xué)生填寫）

師：像這樣的長(zhǎng)方形有很多，把它們都放到一張圖中（動(dòng)態(tài)出示圖7），每個(gè)長(zhǎng)方形右上方的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)，里面的兩個(gè)數(shù)正好是長(zhǎng)方形的什么？

生：長(zhǎng)和寬。

師：觀察，這些表示長(zhǎng)和寬的數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)，有什么樣的變化規(guī)律？

生：第一個(gè)數(shù)越大，第二個(gè)數(shù)越?。坏谝粋€(gè)數(shù)越小，第二個(gè)數(shù)就越大。

師：這就是互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn)。這些點(diǎn)向右和向上延伸來(lái)越接近橫軸和縱軸，但是會(huì)不會(huì)和橫軸、縱軸重合？

生：不會(huì)。

師：為什么，能不能用倒數(shù)的知識(shí)來(lái)解釋一下？

生：每個(gè)數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)都互為倒數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)，所以兩個(gè)數(shù)都不可能是0，那么就不會(huì)與橫軸、縱軸重合。

師：從面積的意義來(lái)說(shuō)，只要長(zhǎng)方形的面積是1，無(wú)論長(zhǎng)有多長(zhǎng)、寬有多短，但終究存在，所以長(zhǎng)和寬都不可能為0。

根據(jù)在前一教學(xué)環(huán)節(jié)中所獲得的對(duì)倒數(shù)概念的語(yǔ)義理解，結(jié)合長(zhǎng)方形的面積計(jì)算模型，將二者建立起有效聯(lián)系。再進(jìn)一步將長(zhǎng)與寬的數(shù)對(duì)及其圖像重疊在坐標(biāo)上，對(duì)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的變化趨勢(shì)與規(guī)律進(jìn)行深度討論，一方面利用0沒(méi)有倒數(shù)的特征來(lái)說(shuō)明圖像的特征，另一方面根據(jù)長(zhǎng)方形面積的特點(diǎn)反過(guò)來(lái)加深對(duì)0沒(méi)有倒數(shù)的結(jié)論的理解。這樣的直觀圖像與言語(yǔ)信息的互相解釋與互相理解，會(huì)使學(xué)生更進(jìn)一步深化對(duì)倒數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也滲透了函數(shù)思想，拓展了學(xué)生的思維空間和數(shù)學(xué)視野。

四、知識(shí)再現(xiàn)階段：圖文并茂，點(diǎn)面結(jié)合

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終成果是形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)是由知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)點(diǎn)之間有意義的聯(lián)結(jié)組成的。清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性強(qiáng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有意義學(xué)習(xí)產(chǎn)生的最重要的條件之一。所以，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要致力于幫助學(xué)生構(gòu)造每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的視覺表征與言語(yǔ)表征，以及整個(gè)知識(shí)單元的視覺表征與言語(yǔ)表征，形成關(guān)于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的心理映象，這將有利于增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)的信息提取線索，建立知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系通道、形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1. 知識(shí)點(diǎn)的雙重表征——數(shù)學(xué)圖畫

在某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)完成之后，為進(jìn)一步強(qiáng)化在認(rèn)知中的痕跡，可以引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)以圖文結(jié)合的方式“畫”出來(lái)，錨圖（Anchor Chart）即是有效的形式之一。錨圖也叫要點(diǎn)圖，在美國(guó)中小學(xué)課堂上很常見。它是將知識(shí)、邏輯、思維進(jìn)行抽絲剝繭后搭配簡(jiǎn)單的圖文視覺化地呈現(xiàn)出來(lái)，基本上是“要點(diǎn)+圖形”的展現(xiàn)方式，能幫孩子直觀地理解數(shù)學(xué)概念、原理，快速地梳理思維，領(lǐng)略重點(diǎn)。如圖8所示即學(xué)生學(xué)習(xí)立方分米和表面涂色的正方體后制作的錨圖，圖像、符號(hào)、文字等多種形式的表征相結(jié)合，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的個(gè)性化理解。

在小學(xué)階段，可以根據(jù)不同年段學(xué)生的特點(diǎn)提出不同的要求。低段可以采用教師演示、學(xué)生再創(chuàng)作的方式，中高段可以逐漸放手讓學(xué)生自由創(chuàng)作?？梢砸罁?jù)知識(shí)的特點(diǎn)和理解的需要，制作有針對(duì)性的錨圖。學(xué)生在制作錨圖時(shí)，家長(zhǎng)和老師可以不用給予過(guò)多幫助與干涉，不同的孩子會(huì)繪制出不同的錨圖，這也展現(xiàn)出思維方式的差異性。繪制好的錨圖可以展示在教室內(nèi)的學(xué)習(xí)區(qū)域，孩子可以隨時(shí)互相比較、參考、鞏固。

2. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)雙重表征——思維導(dǎo)圖

當(dāng)一個(gè)單元的知識(shí)學(xué)習(xí)之后，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)單元內(nèi)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行圖文結(jié)合的整理——繪制數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖。思維導(dǎo)圖由形象直觀的圖片和相應(yīng)的文字、符號(hào)等元素組成，側(cè)重于知識(shí)的整理與聯(lián)系，如圖8所示是兩個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)了五年級(jí)下冊(cè)《多邊形的面積》單元后所作的思維導(dǎo)圖。學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖的過(guò)程，就是進(jìn)行知識(shí)整合的過(guò)程，學(xué)生將零散的知識(shí)點(diǎn)按照知識(shí)的邏輯順序結(jié)合自己個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這樣的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中，一觸即發(fā)，從中心詞發(fā)散，聯(lián)想到越來(lái)越多的知識(shí)點(diǎn)，圖像與言語(yǔ)兼具，十分有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶。

在復(fù)習(xí)課中，可以小組為單位，討論交流自己制作的思維導(dǎo)圖中各個(gè)概念的具體含義及各概念間的關(guān)系，加深對(duì)概念的理解；同時(shí)要評(píng)價(jià)他人的思維導(dǎo)圖。通過(guò)交流，組內(nèi)完善思維導(dǎo)圖，進(jìn)一步鞏固知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行交流的過(guò)程中，學(xué)生不僅能對(duì)同學(xué)制作的思維導(dǎo)圖進(jìn)行評(píng)價(jià)，幫助同學(xué)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，而且能發(fā)現(xiàn)自己概念、原理理解上的不足，進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，從而完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)讀圖—賞圖—完善圖活動(dòng)，學(xué)生進(jìn)一步從整體上把握知識(shí)的框架結(jié)構(gòu)。

結(jié)語(yǔ)：

從雙重編碼理論可以看出，同時(shí)運(yùn)用兩套編碼系統(tǒng)，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中可以降低認(rèn)知負(fù)荷，拓寬信息輸入渠道，提高學(xué)習(xí)效率。雙重編碼理論為數(shù)學(xué)直觀教學(xué)提供了理論支持，在知識(shí)形成的各個(gè)階段，教師應(yīng)該為學(xué)生提供數(shù)量豐富的、典型性好的數(shù)學(xué)材料的視覺映象，或者由學(xué)生根據(jù)符號(hào)、語(yǔ)義主動(dòng)創(chuàng)建視覺映象，使抽象語(yǔ)言符號(hào)獲得視覺信息的支持，從而使得數(shù)學(xué)知識(shí)所具有的雙重表象的作用得到發(fā)揮，既可以形成言語(yǔ)記憶痕跡，又可以形成視覺記憶痕跡，以便順利地實(shí)現(xiàn)同化或順應(yīng)，并在需要時(shí)以合適的形式從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中被提取出來(lái)用以解決問(wèn)題，進(jìn)一步產(chǎn)生新的有意義的學(xué)習(xí)。