立足教材，充分挖掘教材中蘊含的數(shù)學思想

張輝

【摘要】高中階段的數(shù)學教材中蘊含著非常豐富的數(shù)學思想，有數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想等等.本文強調(diào)了高中數(shù)學教學中教材內(nèi)容的重要性，并結(jié)合數(shù)學教學案例，探討了如何挖掘教材中的數(shù)學思想的方法，以期為培養(yǎng)具有數(shù)學思想的學生做參考.

【關鍵詞】高中數(shù)學教材；數(shù)學思想；運用策略

數(shù)學的精髓不在于知識本身，而在于數(shù)學知識中所蘊含的數(shù)學思想方法；數(shù)學教學的目的不在于學生掌握多少數(shù)學知識，而在于掌握和運用數(shù)學思想方法來解決實際問題.可見，讓學生確立數(shù)學思想和思維方式來思考與解決現(xiàn)實問題、促進學生的終身發(fā)展才是數(shù)學教育的最終目的.而教師該如何做才能讓學生學會重視數(shù)學思想，形成數(shù)學思維方式呢？深挖高中數(shù)學教材中的數(shù)學思想.本文就此問題提出了教師深入挖掘教材數(shù)學思想的策略.

一、教師應該充分挖掘數(shù)學教材中的數(shù)學思想方法

數(shù)學教材中蘊含的數(shù)學思想相當豐富，包含了有形的與無形的思想，有形的是各種概念、定理、公式、法則等，無形的是一些比較抽象而具有實際意義的數(shù)學思想和邏輯思維，如數(shù)形結(jié)合思想、極限思想、化歸思想等.以下是高中數(shù)學教材中數(shù)學思想的具體介紹.

（一）數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合即數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化、相互對應，所以也可以將數(shù)形結(jié)合思想稱為轉(zhuǎn)化思想.數(shù)形結(jié)合使得代數(shù)方法的一般性與機械性和幾何圖形的直觀性、形象性結(jié)合在一起，方便學生理解和掌握.該思想有三個要求：一是吃透概念和運算的幾何意義；二是恰當設參，合理用參；三是正確確定參數(shù)的取值范圍.最典型的是使用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題.

（二）分類討論思想

在解決數(shù)學題目時，遇到不能進行統(tǒng)一解決的問題時，就需要對研究對象進行分類解決，即分情況討論具體問題，然后對每一種情況進行專門研究，給出相應結(jié)果，最后綜合各種結(jié)果得到最終的答案.化整為零、歸零為整等思想都是分類討論思想的典例.運用分類討論思想應注意：在概念方面，涉及的概念有可能是分類的；運用到的各種公式與法則有分類情況；需要解出來的結(jié)果有多種可能性等.其具體的解題思路是：首先，確定概念是否有分類情況；其次，對需要分類的情況做具體的劃分；再次，對劃分的情況逐個探討；最后，進行歸納總結(jié).分類討論思想在解決函數(shù)分段求值時發(fā)揮的作用特別明顯，如在解決含絕對值的函數(shù)問題時，至少可以分三類探討：|a|中a分為a>0，a=0，a<0三種情況.因此，在解決絕對值的問題時，千萬不能忽視了這三種情況，不然就會出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象.

（三）化歸與轉(zhuǎn)化思想

該思想方法的原則是化繁為簡、化難為易，通過變換數(shù)量關系和空間關系，將難以求解的問題轉(zhuǎn)化為簡單明了的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題.這類思想除了在上述數(shù)形結(jié)合思想中有所體現(xiàn)，在多種情況下都可能會出現(xiàn).如，在立體幾何中的運用：運用轉(zhuǎn)化思想，可以將空間幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，可以實現(xiàn)點與點之間，點、線、面位置之間的自由轉(zhuǎn)化，還能實現(xiàn)圖形的等積與割補、曲線與直線的轉(zhuǎn)化等等.轉(zhuǎn)化方法具體有消去法、二次方程中的換元法、求值求范圍法.

（四）函數(shù)方程思想

該思想就是將函數(shù)、方程的觀點和方法結(jié)合起來，處理自變量與因變量之間的關系，或者已知與未知之間的關系，根據(jù)這些數(shù)據(jù)研究它們之間相互制約關系.其步驟有：一是緊扣題意建立變量之間的函數(shù)關系式；二是根據(jù)需要構造函數(shù)；三是運用方程思想，根據(jù)變量與未知數(shù)列出方程或方程組，利用函數(shù)與方程之間的辯證關系形成函數(shù)方程思想.如，對于函數(shù)y=f（x），當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以轉(zhuǎn)化為方程式y(tǒng)-f（x）=0；立體幾何中關于面積、體積、二面角的計算，也可以通過函數(shù)方程思想建立函數(shù)表達式解決.

二、在解題過程中指導學生運用數(shù)學思想

在幫助學生確立數(shù)學思想、運用數(shù)學思想的過程中，教師扮演的是指導者、引路人的角色，因此，教師對學生只要做到點到為止就行，留點空間讓學生自由思考，在自己反復做題中體驗和實踐數(shù)學思想，形成數(shù)學精神.以函數(shù)方程思想為例，學生在解二次方程時，遇到難題，無法再往下思考，此時，教師可以指點其嘗試著轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的形式，具體怎么轉(zhuǎn)化就讓學生自己在解題實際中摸索創(chuàng)新，這樣就能起到啟發(fā)學生思維、調(diào)動學生積極性的效果.如，利用換元法證明不等式，可以運用三角函數(shù)的思想，使得更容易進行轉(zhuǎn)化，而將不等式證明出來了.

數(shù)學思想方法是人們從事教學活動思維過程中逐步積累形成的總的看法和觀點，是數(shù)學的靈魂，是學生形成良好認知結(jié)構的紐帶，是由數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁和向?qū)?這反映了挖掘教材數(shù)學思想，培養(yǎng)學生數(shù)學思想方式的重要性.本文重點探討了幾個從教材中深挖的數(shù)學思想，并從教師與學生兩方面入手分析了引導學生確立數(shù)學思想、運用數(shù)學思想的措施，以為改善高中數(shù)學教學質(zhì)量提供參考.

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