淺談反證法的原理及應(yīng)用

張雙紅+李犀子

【摘要】反證法之妙用，使其被譽為“數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?在數(shù)學(xué)解題中，會有一些用直接證明方法仍然無從下手和突破的命題，此時如果我們運用反證法這種間接方法來證明，效果往往出人意料.本文深入淺出，開篇簡單介紹反證法由來、概念、原理、分類和作用；重點論述反證法的應(yīng)用，其中包括反證法在高等數(shù)學(xué)中的使用和實踐，并提出應(yīng)用反證法應(yīng)該注意的問題和方法.

【關(guān)鍵詞】反證法；原理；應(yīng)用

反證法作為一種證明方法是重要的，而教材中忽略了對反證法的詳細(xì)介紹，導(dǎo)致反證法在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維方面的作用往往也被忽略.反證法雖然巧妙，但對于初學(xué)者來說，應(yīng)該在什么情況下使用是不容易判斷的，所以本文旨在從反證法的精神實質(zhì)、論證步驟、具體方法等詳解反證法.

一、反證法簡介

對于反證法的來源并沒有準(zhǔn)確的文獻記載.嚴(yán)格推理的起源和誕生是古典邏輯與歐幾里得幾何學(xué)，此時西方數(shù)學(xué)開始轉(zhuǎn)變，逐漸推崇以證明為主，強調(diào)數(shù)學(xué)的精確性.希臘人由此重視邏輯的證明，同時反證法的舉例和類型也出現(xiàn)在歐幾里得編寫的《幾何原本》中.

反證法有諸多不同版本的定義以及描述，但其本質(zhì)都是大同小異的.反證法可分為歸謬法和窮舉法，分類的依據(jù)是命題否定形式的多少.所謂歸謬法，即：若原命題只有一種否定形式，只需要證明這一種情形不成立，便可證明出原命題是正確的.而窮舉法則指的是若原命題的否定形式不單單只有一種，則必須逐個證明其不成立，得出原命題結(jié)論正確的方法.

反證法是數(shù)學(xué)中既常用又重要的一種間接證明方法，在數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位，應(yīng)用也是相當(dāng)廣泛.在數(shù)學(xué)證明中，會遇到一些通過直接證明證明極其煩瑣的命題，經(jīng)?？捎梅醋C法進行間接證明.反證法包含了較豐富的辯證思維原理，從反證法觀點出發(fā)，運用反向思維，可以克服思維定式，因此，對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓展學(xué)生的解題思路都很有幫助，并且在解題中也有重要的作用.

與直接證明法相同，反證法的推理過程也嚴(yán)格按照形式邏輯，遵循其基本規(guī)則.它能概括為“先否定，繼而得出矛盾后再次否定”，即從否定結(jié)論開始，歸納出矛盾，從而形成新的否定.

通過證明命題的否定形式是假命題，再根據(jù)排中律證明已知命題成立的一種間接證法即是反證法，其通常包含反證假設(shè)、反正推理及反證結(jié)論三個步驟.如果命題結(jié)論的反面情況多種多樣或隱晦不容易判斷時，往往不容易做出假設(shè)，所以可以適當(dāng)對命題變形后做出精準(zhǔn)的假設(shè).

二、反證法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)命題難度加深，更具復(fù)雜性，人為判斷反證法適用于哪些命題是困難的.下面分別抓住數(shù)學(xué)分析及高等代數(shù)命題結(jié)論的特點，配合上相應(yīng)例題，介紹幾種可行性強的應(yīng)用方法.

（一）反證法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

命題的結(jié)論中含有“唯一”形式，采用反證法比較簡單.endprint