簡單曲線回歸分析及其應用

谷恒明，胡良平,2*

(1.軍事醫(yī)學科學院生物醫(yī)學統(tǒng)計學咨詢中心，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu812@sina.com)

簡單曲線回歸分析及其應用

谷恒明1，胡良平1,2*

(1.軍事醫(yī)學科學院生物醫(yī)學統(tǒng)計學咨詢中心，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu812@sina.com)

本文目的是介紹可以直線化的曲線回歸分析相關內容及如何使用SAS軟件來實現(xiàn)。一般來說，采用回歸分析研究專業(yè)上確實存在聯(lián)系的兩個定量變量之間的依存關系。如果兩定量變量之間是直線關系，那么直接采用直線回歸分析即可；但在醫(yī)學實驗中，兩定量變量之間的關系常常不是直線關系而是曲線關系，此時就應采用曲線回歸分析。本文重點講述可以直線化的曲線回歸分析的種類及其SAS軟件實現(xiàn)。

回歸分析；曲線擬合；SAS軟件；曲線直線化

*Correspondingauthor:HuLiangping,E-mail:lphu812@sina.com)

1 概 述

可直線化的曲線回歸分析一般是通過變量變換的方法[1]，將原本是曲線關系的兩個定量變量轉化為直線關系，再對新變量進行簡單線性回歸分析得到直線回歸方程，最后再回代到原始變量。此方法的關鍵是找到原始變量的合理變換方法，不恰當?shù)淖兞孔儞Q只會產(chǎn)生錯誤的結果。

曲線回歸分析的步驟：①在直角坐標系內繪制兩個定量變量的散點圖；②根據(jù)散點圖全部散點的變化趨勢，判斷合適的曲線類型；③根據(jù)所選的曲線類型，進行變量變換，使變換后的兩定量變量之間呈直線變化趨勢；④對兩個新變量建立直線回歸方程，并作假設檢驗；⑤還原到初始變量，得到曲線回歸方程；⑥若同一資料適合多種曲線類型，需要進行曲線擬合優(yōu)度檢驗(當自變量只以一次項出現(xiàn)在回歸方程中時，也可直接比較對整個回歸方程所做的假設檢驗對應的F統(tǒng)計量，大者為優(yōu)；也可看R2，大者為優(yōu))，比較其差異；⑦選擇擬合最好的曲線回歸方程，并從專業(yè)角度上判斷其是否成立。

2 二項式曲線回歸分析

當因變量與自變量不是簡單的一階關系，而是與自變量的二階甚至高階存在線性關系時，就需要使用多項式回歸分析方法。本文介紹因變量與自變量的二階存在線性關系的曲線擬合問題。散點圖一般呈拋物線形狀，因此，二次多項式曲線亦稱二次拋物線。

【例1】研究某氧化酶活性與pH值之間的關系[2]，數(shù)據(jù)見表1。

表1 酶活性(y)與pH值(x)數(shù)據(jù)

【分析與解答】試采用二次拋物線函數(shù)來擬合表1資料，其所需要的SAS程序如下：

data pwx; input id x y@@; x2=x*x; cards;

16．0201526．3252036．6349846．9367557．2378567．5362477．8316588．1251698．42128

;

run;

axis1label=('PH值(x)') order=(5.5 to 8.5 by 0.5);

axis2 label=(angle=90'(酶活性(y))') order=(1800 to 4000 by 200) minor=none offset=(0.5,0.5) major=(height=0.8);

symbolcolor=black interpol=join value=circle width=1.5;

proc gplot data=pwx;

plot y*x/haxis=axis1 vaxis=axis2;

run;

proc reg data=pwx; model y=x x2; run;

以上程序可分為三部分：第一部分創(chuàng)建臨時SAS數(shù)據(jù)集；第二部分繪制散點圖；第三部分構建二次拋物線回歸方程并進行假設檢驗。散點圖顯示，兩定量變量之間呈二次拋物線變化趨勢。見圖1。

圖1 酶活性(y)與pH值(x)之間的散點圖

對模型進行假設檢驗的結果見表2。

表2 方差分析

對模型中各參數(shù)進行估計和假設檢驗的結果見表3。

表3 參數(shù)估計

3 雙曲線形式的曲線回歸分析

當因變量與自變量的關系不是直線，而是曲線時，對變量進行適當變換，使曲線直線化。

【例2】資料來源于《中國衛(wèi)生統(tǒng)計》的一篇文章，研究鉤蟲病患者治療次數(shù)與復查陽性率之間的變化規(guī)律。見表4。

【分析與解答】在例1中，已給出繪制散點圖的程序，讀者自行修改即可，此處就不重復了。繪制的散點圖見圖2。

表4 鉤蟲病患者治療次數(shù)(x)與復查陽性率(y)數(shù)據(jù)

圖2 鉤蟲病患者治療次數(shù)(x)與復查陽性率(y)散點圖

如圖2所示，資料的散點圖不呈直線變化，鉤蟲陽性率隨著治療次數(shù)越多陽性率越小，最后鉤蟲陽性率趨近于0?？梢詫ψ宰兞縳進行倒數(shù)變換，重新擬合直線回歸方程。

對自變量x進行倒數(shù)變換后的散點圖(在例1中，已給出繪制散點圖的程序，讀者自行修改即可，此處就不重復了)見圖3。

圖3 鉤蟲病患者治療次數(shù)的倒數(shù)(1/x)與復查陽性率(y)散點圖

由圖3可知，基本上實現(xiàn)了曲線直線化。接下來可以擬合雙曲線回歸方程。

所需的SAS程序如下：

data gouchong; input x y; x1=1/x; x2=log(x);

y1=log(y); cards;

163．9236．0317．1410．557．364．572．881．7

;

run;

proc reg data=gouchong; model y=x1; run;

由model語句可知，此處選擇了對自變量進行倒數(shù)變換的方式。

此處省略了對模型進行假設檢驗的結果。參數(shù)估計結果見表5。

表5 參數(shù)估計

4 冪函數(shù)曲線回歸分析

當因變量y隨著x的變化符合冪函數(shù)曲線規(guī)律時，可以對自變量x和因變量y同時取對數(shù)變換，使冪函數(shù)曲線直線化。冪函數(shù)的一般形式為：

y=axb+k(a>0,x>0)

當不考慮k時，對等號兩端同時取對數(shù)，

得：lny=lna+blnx，即lny與lnx之間呈直線關系。

【例3】沿用例2的資料，試擬合冪函數(shù)曲線回歸方程。

【分析與解答】對因變量y和自變量x都進行對數(shù)變換后的散點圖(在例1中，已給出繪制散點圖的程序，讀者自行修改即可，此處就不重復了)見圖4。

圖4 鉤蟲病患者治療次數(shù)的對數(shù)(lnx)與復查陽性率對數(shù)(lny)散點圖

由圖4可知，曲線直線化的效果較好。接下來可以擬合冪函數(shù)曲線回歸方程。沿用前面的SAS數(shù)據(jù)步程序，現(xiàn)在所需要的SAS過程步程序如下：

Proc reg data=gouchong; model y1=x2; run;

由model語句可知，此處選擇了對因變量和自變量都進行對數(shù)變換的方式。

表6 參數(shù)估計

5 指數(shù)函數(shù)曲線回歸分析

當因變量y隨著x的變化符合指數(shù)函數(shù)曲線規(guī)律時，可以對因變量y取對數(shù)變換，使指數(shù)曲線直線化。指數(shù)函數(shù)的一般形式為：

y=aebx+k或y=aexp(bx)+k

在不考慮k時，等號兩端同時取對數(shù)，得：

lny=lna+bx

如果以lny與x在直角坐標系內繪制的散點圖呈直線變化趨勢時，就可以考慮采用指數(shù)函數(shù)曲線來擬合和解釋y與x之間的關系。

【例4】沿用例2的資料，試擬合指數(shù)函數(shù)曲線回歸方程。

【分析與解答】對因變量y進行對數(shù)變換后的散點圖(在例1中，已給出繪制散點圖的程序，讀者自行修改即可，此處就不重復了)見圖5。

圖5 鉤蟲病患者治療次數(shù)(x)與復查陽性率對數(shù)(lny)散點圖

由圖5可知，曲線直線化的效果較好。接下來可以擬合指數(shù)函數(shù)曲線回歸方程。

沿用前面的SAS數(shù)據(jù)步程序，現(xiàn)在所需要的SAS過程步程序如下：

Proc reg data=gouchong; model y1=x; run;

由model語句可知，此處選擇了對因變量進行對數(shù)變換的方式。

參數(shù)估計結果見表7。

表7 參數(shù)估計

6 對數(shù)函數(shù)曲線回歸分析

當因變量y隨著x的變化符合對數(shù)函數(shù)曲線規(guī)律時，可以對自變量x取對數(shù)變換，使對數(shù)函數(shù)曲線直線化。對數(shù)函數(shù)的一般形式為：

y=alnx+k

如果以y和lnx在直角坐標系內繪制的散點圖呈直線變化趨勢時，就可以考慮采用對數(shù)曲線來擬合和解釋y與x之間的關系。

圖6 鉤蟲病患者治療次數(shù)對數(shù)(lnx)與復查陽性率(y)散點圖

【例5】沿用例2的資料，試擬合對數(shù)函數(shù)曲線回歸方程。

【分析與解答】對自變量x進行對數(shù)變換后的散點圖(在例1中，已給出繪制散點圖的程序，讀者自行修改即可，此處就不重復了)見圖6。

由圖6可知，基本上實現(xiàn)了曲線直線化。接下來可以擬合對數(shù)函數(shù)曲線回歸方程。

沿用前面的SAS數(shù)據(jù)步程序，現(xiàn)在所需要的SAS過程步程序如下：

Proc reg data=gouchong; model y=x2; run;

由model語句可知，此處選擇了對自變量進行對數(shù)變換的方式。

表8 參數(shù)估計

對模型檢驗結果F=99.45，P<0.0001，說明所建立的回歸模型有統(tǒng)計學意義，表格略。調整R2=0.9336，由表8參數(shù)估計結果可得曲線回歸方程為：y=57.60-29.89x2，還原到原始變量，得到曲線回歸方程為：y=57.60-29.89lnx

小結：由本文后四種曲線回歸分析可知，有時一組數(shù)據(jù)可以通過多種變量變換方式得到直線回歸方程，此時需要根據(jù)各種不同方法擬合的效果來得出最優(yōu)的變換方式。本文中，指數(shù)函數(shù)的調整R2=0.9914，是四種曲線類型中最大的，因此應該選擇指數(shù)函數(shù)曲線來進行曲線擬合為宜。

[1] 胡良平.科研設計與統(tǒng)計分析[M].北京: 軍事醫(yī)學科學出版社, 2012: 401-426.

[2] 徐天和, 柳青.中國醫(yī)學統(tǒng)計百科全書 多元統(tǒng)計分冊[M].北京: 人民衛(wèi)生出版社, 2004: 147-149.

[3] 徐勇勇,陳長生,張成崗,等.曲線擬合中的幾個問題[J].中國衛(wèi)生統(tǒng)計,1994,11(2): 58-60.

Simplecurveregressionanalysisanditsapplication

GuHengming1,HuLiangping1,2*

(1.ConsultingCenterofBiomedicalStatistics,AcademyofMilitaryMedicalSciences,Beijing100850,China;2.SpecialtyCommitteeofClinicalScientificResearchStatisticsofWorldFederationofChineseMedicineSocieties,Beijing100029,China

The paper is to introduce how to fit a curve regression equation by the variable transformation and how to perform it by using SAS software. In general, the regression analysis should be applied when there is the relationship between two quantitative variables in profession. If the two variables are linear, then the linear regression analysis can be used directly. However, in medical experiments, the relationship between the two quantitative variables is often not linear, so it is necessary to use curve regression analysis. This article focuses on fitting curve by variable transformation and the corresponding SAS software operation.

Regression analysis; Curve fitting; SAS software; Curve linearization

國家高技術研究發(fā)展計劃課題資助(2015AA020102)

R195.1

A

10.11886/j.issn.1007-3256.2017.06.003

2017-12-03)

陳 霞)