近區(qū)低旁瓣的OFDM MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

柏 婷, 任修坤, 鄭娜娥

(信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院, 河南 鄭州 450001)

0 引 言

隨著雷達(dá)距離分辨力的不斷提高,臨近目標(biāo)的分辨問題已經(jīng)成為雷達(dá)系統(tǒng)的重要研究?jī)?nèi)容。衡量臨近目標(biāo)分辨能力優(yōu)劣的主要因素是距離分辨力和距離旁瓣的大小。隨著雷達(dá)工作環(huán)境的日益復(fù)雜,強(qiáng)雜波、干擾、多路徑等因素會(huì)使傳統(tǒng)波形匹配濾波后產(chǎn)生較高的距離旁瓣,導(dǎo)致了臨近目標(biāo)分辨中弱目標(biāo)淹沒和不同目標(biāo)主旁瓣混疊的問題[1]。因此,設(shè)計(jì)低旁瓣的雷達(dá)發(fā)射波形成為了亟待解決的問題。

多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達(dá)具有波形分集優(yōu)勢(shì),在波形設(shè)計(jì)方面自由度大,與傳統(tǒng)雷達(dá)相比能獲得較高分辨率和參數(shù)識(shí)別能力[2-3],在臨近目標(biāo)分辨方面潛力巨大。MIMO雷達(dá)一般采用相互正交的發(fā)射波形來抑制目標(biāo)回波之間的干擾,將正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技術(shù)運(yùn)用到MIMO雷達(dá)中[4],可以直接解決正交波形的設(shè)計(jì)問題,同時(shí)實(shí)現(xiàn)波形分集和頻率分集。另外,OFDM信號(hào)還具有高分辨性能和波形設(shè)計(jì)靈活的特點(diǎn)[5]。因此,研究如何抑制OFDM MIMO雷達(dá)的距離旁瓣為解決臨近目標(biāo)分辨問題提供了新的思路。

針對(duì)OFDM MIMO雷達(dá)的距離旁瓣抑制問題,文獻(xiàn)[6]直接采用發(fā)射波形的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)的加權(quán)組合作為目標(biāo)函數(shù),運(yùn)用遺傳算法(genetic algorithm, GA)實(shí)現(xiàn)旁瓣抑制。文獻(xiàn)[7]在設(shè)計(jì)低旁瓣波形時(shí)深入分析了FD-LFM MIMO雷達(dá)的模糊函數(shù),針對(duì)3種高旁瓣類型及其出現(xiàn)原因,綜合采用加窗和失配處理進(jìn)行旁瓣抑制,但該方法會(huì)損失信噪比;在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[8]重點(diǎn)研究了OFDM LFM信號(hào)空域合成后的旁瓣抑制問題,建立了空時(shí)優(yōu)化模型,結(jié)合GA和序列二次規(guī)劃法(sequential quadratic programming, SQP)進(jìn)行優(yōu)化,得到了較好的旁瓣特性,但該算法往往需要多次迭代,計(jì)算效率較低。

上述方法都是對(duì)全部距離旁瓣進(jìn)行抑制,但在分辨臨近目標(biāo)時(shí),不同目標(biāo)回波序列到達(dá)時(shí)間的最大差值,都遠(yuǎn)小于發(fā)射序列的持續(xù)時(shí)間[9]。因此,感興趣的距離單元不再是所有距離旁瓣,而更關(guān)注近區(qū)距離旁瓣。近區(qū)旁瓣抑制問題在MIMO雷達(dá)中的研究較少,文獻(xiàn)[10]考慮了傳統(tǒng)雷達(dá)的特定區(qū)間旁瓣抑制問題,運(yùn)用非線性最小化的子空間信賴域方法進(jìn)行優(yōu)化,但該算法在波形序列較長(zhǎng)時(shí)可能無法實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[11]創(chuàng)造性地提出了適用于MIMO雷達(dá)的WeCAN算法,以最小化加權(quán)積分旁瓣水平為準(zhǔn)則,在恒模約束條件下利用快速傅里葉變換進(jìn)行迭代,實(shí)現(xiàn)了特定區(qū)間的旁瓣抑制,抑制性能良好,該方法的不足在于運(yùn)算量巨大。

針對(duì)上述問題,本文提出了一種基于近區(qū)距離旁瓣抑制的OFDM MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法。首先,構(gòu)造一組基于相位編碼調(diào)制(phase coded modulation,PCM)的OFDM MIMO雷達(dá)發(fā)射波形集,綜合考慮各天線發(fā)射波形的積分旁瓣水平(integrated sidelobe level,ISL),利用極小化極大(min-max)思想優(yōu)化近區(qū)ISL最大的天線發(fā)射波形,以發(fā)射波形恒模為約束,最小化該天線波形的ISL來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù);然后,利用發(fā)射波形與相位的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將相位參量作為優(yōu)化對(duì)象,借此把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題;最后,推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)梯度解析式,并利用BFGS算法求解該優(yōu)化問題。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

1 信號(hào)模型

圖1 OFDM MIMO雷達(dá)發(fā)射示意圖Fig.1 Transmission schematic of OFDM MIMO radar

第m根天線上的編碼信號(hào)為

(1)

綜上,待設(shè)計(jì)的編碼矩陣為

S=[s1,s2,…,sM]∈CN×M

(2)

式中

sm=[sm(1)sm(2) …sm(N)]T

(3)

2 近區(qū)距離旁瓣抑制的波形設(shè)計(jì)

2.1 建立目標(biāo)函數(shù)

(4)

式(4)保證了任意兩子載頻之間的正交性,故OFDM信號(hào)通過頻域正交便可實(shí)現(xiàn)MIMO雷達(dá)各天線發(fā)射信號(hào)正交,每根天線上的發(fā)射信號(hào)在接收端都可依賴正交性分離開,所以不再需要優(yōu)化天線信號(hào)之間的互相關(guān)函數(shù)來提高其正交性,則本文優(yōu)化的目標(biāo)是感興趣距離單元的旁瓣特性。在此,引出發(fā)射信號(hào)的距離模糊函數(shù)定義:

(5)

m=1,2,…,M；k=0,1,…,N-1

(6)

用每根天線發(fā)射信號(hào)的ISL表征自相關(guān)旁瓣的大小,ISL表示為

(7)

對(duì)于MIMO雷達(dá)的距離旁瓣抑制問題,文獻(xiàn)[11]中采用所有天線ISL之和作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解,但是這種構(gòu)造方式無法保證每根天線的自相關(guān)旁瓣都最小。針對(duì)此問題,本文運(yùn)用min-max思想,最小化如下準(zhǔn)則:

max(ISLm)

(8)

s.t. |sm(n)|=1,m=1,2,…,M;n=1,2,…,N

(9)

式中

(10)

考慮到OFDM信號(hào)進(jìn)行了相位編碼調(diào)制,sm(n)=ejφm(n)(m=1,2，…,M;n=1,2，…,N),其中,φm(n)為相位參數(shù),Φm=[φm(1)φm(2) …φm(N)]是第m根天線的相位參數(shù)向量。將其代入式(9),將相位參數(shù)φm(n)作為優(yōu)化變量,則上述問題可以轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。綜上,本文建立優(yōu)化模型如下:

(11)

式中

(12)

2.2 基于BFGS算法的優(yōu)化方法

上述優(yōu)化模型屬于二次優(yōu)化問題,本文采用基于擬牛頓算法的優(yōu)化算法。Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)算法是目前最有效的擬牛頓算法之一,其基本思想是,在牛頓算法中用Hesse矩陣的近似矩陣來取代Hesse矩陣[13],以確保收斂速度,并提高計(jì)算效率。同時(shí),考慮到不同環(huán)境下待優(yōu)化的相位編碼序列長(zhǎng)度不同,本文在待優(yōu)化序列長(zhǎng)度較短時(shí),采用BFGS算法,保證良好的旁瓣抑制效果;序列長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí),采用有限域BFGS(limited-memory BFGS, LBFGS)算法,限定其內(nèi)存大小,消除序列長(zhǎng)度增長(zhǎng)導(dǎo)致的算法復(fù)雜度增大的影響,保證其算法效率,適應(yīng)實(shí)際環(huán)境。下面推導(dǎo)式(12)的梯度表達(dá)式:

(13)

其中

(14)

(15)

式中,⊙表示矩陣的Hadamard積。

綜上所述,本文針對(duì)近區(qū)旁瓣抑制的波形設(shè)計(jì)算法步驟如下:

步驟1根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定抑制單元范圍[1,P],給定終止誤差0≤ε≤1;

步驟3根據(jù)式(7)計(jì)算每根天線的ISL,由式(11)、式(12)求出目標(biāo)函數(shù)f(Φ0);

步驟4由式(13)～式(15)求出目標(biāo)函數(shù)的梯度g0;

步驟5判斷待優(yōu)化序列長(zhǎng)度N,若N<1 500,則采用BFGS算法,若N>1 500,采用LBFGS算法;

步驟6若當(dāng)前序列滿足停止條件,重復(fù)步驟3～步驟6,直到所有天線均滿足停止條件;否則,重復(fù)步驟5直至當(dāng)前天線信號(hào)編碼相位滿足停止條件;

步驟7將得到的碼元序列代入式(1),求出發(fā)射波形序列。

其中,步驟5的優(yōu)化算法具體流程見圖2。

圖2 步驟5算法流程圖Fig.2 Flow chart of step 5

2.3 算法性能分析

值得指出的是,本文算法的主要計(jì)算量為迭代操作,在每次迭代中計(jì)算式(11)的算法復(fù)雜度約為O((2N-P)(P-1)/2),計(jì)算式(13)的算法復(fù)雜度約為O(2PN),BFGS算法中更新Hesse矩陣近似陣Bk的復(fù)雜度約為O(N2),因此本文算法總的復(fù)雜度約為O(M((2N-P)(P-1)/2+2PN+N2))。文獻(xiàn)[8]采用GA和SQP算法,GA算法的運(yùn)算復(fù)雜度與種群大小、遺傳代數(shù)等有關(guān),故在此不通過理論分析計(jì)算其算法復(fù)雜度,著重在仿真中比較其運(yùn)行時(shí)間。對(duì)比文獻(xiàn)[11],優(yōu)化過程需要2MN次2N點(diǎn)的FFT運(yùn)算和2N次M×N維矩陣的奇異值分解(singular value decomposition, SVD),則其算法復(fù)雜度約為O(MN2log22N+N4)。故與現(xiàn)有算法相比,本文算法復(fù)雜度較低,可較好地滿足系統(tǒng)需求。

3 仿真及結(jié)果分析

本節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)考慮M=4的OFDM MIMO雷達(dá)系統(tǒng),選擇文獻(xiàn)[8,11]作為本文的對(duì)比算法。文獻(xiàn)[11]中所提算法,為經(jīng)典的MIMO雷達(dá)特定區(qū)間旁瓣抑制算法;文獻(xiàn)[8]中所提算法,是OFDM MIMO雷達(dá)全部距離旁瓣抑制的常用算法。為了定量描述旁瓣抑制水平,采用待優(yōu)化區(qū)間平均旁瓣深度、品質(zhì)因數(shù)(merit factor, MF)、迭代次數(shù)、耗時(shí)作為算法評(píng)價(jià)指標(biāo)。其中,MF表征距離模糊函數(shù)的主瓣能量與旁瓣能量和的比值,具體定義為

(16)

仿真1檢驗(yàn)算法收斂性能。算法的收斂性能是設(shè)計(jì)一個(gè)迭代算法的基本要求,而其局部收斂速度是衡量一個(gè)算法好壞的重要指標(biāo)。從理論上講,BFGS算法繼承了Newton方法的快速收斂性能。圖3給出了本文算法的收斂性能測(cè)試結(jié)果,圖3(a)表示N=100,P不同時(shí)收斂性能的比較,可以看出,不同P值并不影響收斂速度,本文波形設(shè)計(jì)算法均從第10～20次迭代后就趨于穩(wěn)定;圖3(b)表示P=39,N不同時(shí)收斂性能的比較,可以看出,收斂速度基本不因N的變化而變化,仍然在10～20次迭代后趨于穩(wěn)定。說明本算法收斂性能良好,實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論符合較好。

圖3 算法收斂性能Fig.3 Iteration convergence

仿真2檢驗(yàn)波形設(shè)計(jì)算法的旁瓣抑制效果。假設(shè)每根天線序列長(zhǎng)度為N=100,初始序列采用Golomb編碼序列。以距離模糊函數(shù)的0延遲為中心,對(duì)我們感興趣的距離旁瓣區(qū)間進(jìn)行抑制,分別選取[1,39]、[1,65]和全部旁瓣作為抑制區(qū)間。圖4給出了抑制區(qū)間為[1,39]時(shí)的距離模糊函數(shù),可以看出,本文設(shè)計(jì)算法的距離旁瓣極低,達(dá)到了-170.78 dB,優(yōu)于文獻(xiàn)[11]算法的-132.50 dB。從表1的詳細(xì)對(duì)比中能夠看到,本文算法的耗時(shí)和迭代次數(shù)都要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[11]算法,算法復(fù)雜度低,與理論分析吻合。MF遠(yuǎn)高于文獻(xiàn)[11]算法。圖5和圖6分別給出了抑制區(qū)間為[1,65]和全部距離旁瓣抑制的距離模糊函數(shù)圖,從圖5可以看出,當(dāng)抑制區(qū)間大于全部距離單元的一半時(shí),本文算法和文獻(xiàn)[11]算法的距離旁瓣抑制性能都有大幅下降,只能達(dá)到-45 dB左右,抑制性能基本平齊,但是本文算法的計(jì)算復(fù)雜度還是遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)[11]。在圖6的全部旁瓣抑制當(dāng)中,本文算法的旁瓣抑制性能和文獻(xiàn)[11]算法基本持平,在-30 dB范圍內(nèi)。但是對(duì)比文獻(xiàn)[8],旁瓣深度只有-24.74 dB,耗時(shí)也更長(zhǎng),故本文算法的旁瓣抑制性能和算法復(fù)雜度都要比文獻(xiàn)[8]算法的性能更好。

圖4 距離模糊函數(shù)(抑制區(qū)間為[1,39]) 圖5 距離模糊函數(shù)(抑制區(qū)間為[1,65]) 圖6 距離模糊函數(shù)(抑制區(qū)間為[1,100]) Fig.4 Range ambiguity function(the interval Fig.5 Range ambiguity function(the interval Fig.6 Range ambiguity function(the interval of suppression is [1,39]) of suppression is [1,65]) of suppression is [1,100])

抑制區(qū)間方法[1，39]本文算法文獻(xiàn)[11][1，65]本文算法文獻(xiàn)[11][1，100]本文算法文獻(xiàn)[11]文獻(xiàn)[8]耗時(shí)/s3．63183．819．31566．159．665．71165．96迭代次數(shù)11915132721447217617245741001所求區(qū)間平均旁瓣/dB-170．78-132．50-45．86-47．43-36．21-38．69-24．74MF8．56×10141．15×1011220．01272．4215．8015．531．04

仿真結(jié)果表明,需抑制距離旁瓣的范圍小于距離單元的一半時(shí),本文設(shè)計(jì)算法可以很好地抑制旁瓣,并且算法復(fù)雜度較低,能夠達(dá)到分辨臨近目標(biāo)的要求。但是當(dāng)區(qū)間大于全部旁瓣的一半時(shí),本文設(shè)計(jì)波形抑制效果有所下降,與理論分析結(jié)果吻合。所以,本算法在近區(qū)旁瓣抑制方面更有優(yōu)勢(shì)。

仿真3檢驗(yàn)不同初始序列對(duì)旁瓣抑制效果的影響。本文選擇了不同類型的相位編碼序列進(jìn)行對(duì)比[14],第一類是基于傳統(tǒng)線性調(diào)頻信號(hào)的相位變化的多相編碼序列;第二類是偽隨機(jī)編碼序列。分別選擇Golomb序列、Frank序列、Chu序列、P4序列、偽隨機(jī)多相編碼序列作為初始編碼序列。序列長(zhǎng)度N=100,感興趣的抑制區(qū)間為[1,39],觀察優(yōu)化結(jié)果與初始編碼序列的關(guān)系,結(jié)果見表2。

由表2可知,初始序列的相位編碼形式對(duì)旁瓣抑制效果的相對(duì)影響不大,不同初始序列優(yōu)化后旁瓣深度均能達(dá)到-160 dB以下,但是絕對(duì)深度差最大達(dá)到了20 dB,MF也有較大差異,其中,Golomb序列在旁瓣深度和MF方面表現(xiàn)最佳。實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,本文方法對(duì)初始序列的依賴性不大,但是在旁瓣深度要求極高的情況下還是應(yīng)妥善選擇初始序列。

表2 初始序列類型對(duì)旁瓣抑制的影響

仿真4檢驗(yàn)序列長(zhǎng)度對(duì)旁瓣抑制效果的影響。選擇Golomb序列作為初始序列,序列長(zhǎng)度分別選擇N=50,100,200,500,1 000,2 000,感興趣的抑制區(qū)間為[1,39],圖7給出了旁瓣抑制效果的對(duì)比情況。表3列出了具體衡量參數(shù)值。

圖7 序列長(zhǎng)度對(duì)旁瓣抑制效果的影響Fig.7 Range sidelobe suppression effect of different lengths of sequence

序列長(zhǎng)度平均旁瓣深度MF耗時(shí)/s迭代次數(shù)50-39．424376．601．5193100-189．494．44×10183．65106200-183．051．01×10188．78126500-182．559．00×101765．551571000-187．592．87×1018339．001722000-106．822．41×10102822．35400

由圖7和表3可知,當(dāng)序列長(zhǎng)度N=50時(shí),待抑制區(qū)間長(zhǎng)度P>(N+1)/2,平均旁瓣深度只能達(dá)到-39.42 dB,符合理論分析結(jié)論;當(dāng)2P1 500時(shí),為了提高運(yùn)算效率,采用LBFGS算法進(jìn)行優(yōu)化,故犧牲了一部分旁瓣性能,但仍能達(dá)到-100 dB以下。結(jié)果表明,本文算法在滿足P≤(N+1)/2時(shí),對(duì)于不同序列長(zhǎng)度要求均能設(shè)計(jì)出極低近區(qū)旁瓣的發(fā)射波形。

仿真5檢驗(yàn)優(yōu)化后波形對(duì)強(qiáng)目標(biāo)旁瓣掩蓋下的弱目標(biāo)的檢測(cè)能力。雷達(dá)的搜索、跟蹤等操作通常在規(guī)定的距離窗上進(jìn)行,稱為接收窗。接收窗內(nèi)所有目標(biāo)回波被接收并且傳輸給匹配濾波器進(jìn)行脈沖壓縮[15]。假設(shè)發(fā)射信號(hào)脈沖寬度為T=1 μs,初始序列為Golomb序列,序列長(zhǎng)度N=100,感興趣的距離單元為P=39,雷達(dá)顯示接收窗的寬度為cTP/2N=58.5 m,接收窗內(nèi)目標(biāo)數(shù)為2,強(qiáng)弱目標(biāo)在接收窗內(nèi)的相對(duì)距離分別為5 m和23 m,強(qiáng)弱目標(biāo)回波功率比為20 dB。圖8給出了優(yōu)化前信號(hào)的壓縮回波,可以看到,在弱目標(biāo)位置處無法分辨目標(biāo)有無,弱目標(biāo)被強(qiáng)目標(biāo)回波旁瓣完全掩蓋。圖9為本文算法優(yōu)化后信號(hào)的壓縮回波,兩目標(biāo)位置處回波峰值明顯,弱信號(hào)主瓣峰值比回波旁瓣峰值高出11.82 dB。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,優(yōu)化前壓縮回波中強(qiáng)目標(biāo)的旁瓣基本將臨近弱目標(biāo)完全掩蓋,無法分辨。當(dāng)采用本文算法進(jìn)行優(yōu)化后,弱目標(biāo)得以凸顯,強(qiáng)弱目標(biāo)均可被檢測(cè)。圖10為WeCAN算法優(yōu)化后的波形,可以看到,強(qiáng)弱目標(biāo)雖然可被檢測(cè),但弱信號(hào)主瓣峰值只比左側(cè)臨近旁瓣峰值高出3.96 dB,故本文算法在強(qiáng)目標(biāo)旁瓣掩蓋下的弱目標(biāo)檢測(cè)方面具有一定優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于近區(qū)距離旁瓣抑制的OFDM MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法,能夠有效解決臨近目標(biāo)分辨中近區(qū)旁瓣過高的問題,同時(shí)兼顧了雷達(dá)的高分辨性能。該方法靈活應(yīng)用BFGS方法求解恒模的發(fā)射波形矩陣,具有良好的近區(qū)旁瓣抑制效果和運(yùn)算效率。仿真結(jié)果表明,優(yōu)化后的發(fā)射波形近區(qū)距離旁瓣較低,當(dāng)待設(shè)計(jì)的編碼序列較長(zhǎng)時(shí),會(huì)犧牲一部分旁瓣特性換取計(jì)算效率,但對(duì)旁瓣深度影響不大,能保證良好的臨近目標(biāo)分辨性能;并且,本文算法對(duì)初始編碼序列形式依賴性較小,收斂速度較快,運(yùn)算復(fù)雜度小,避免了功率峰均比過高的問題,在實(shí)際應(yīng)用中具有一定參考價(jià)值。

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