基于改進型PASTd雙基地MIMO雷達角度跟蹤算法

張正言, 張劍云

(國防科技大學電子對抗學院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

隨著戰(zhàn)場環(huán)境的日益復雜,傳統(tǒng)雷達性能難以充分發(fā)揮,越來越難以適應戰(zhàn)爭需求。因此近年來越來越多的新體制雷達被提出,多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達是新體制雷達中的典型代表,引起了眾多研究機構(gòu)和學者的重點關(guān)注,公開發(fā)表了大量的研究成果。MIMO雷達有多個發(fā)射和多個接收雷達,發(fā)射雷達發(fā)射相互正交的信號,經(jīng)目標反射后到達接收雷達,經(jīng)過匹配濾波器后得到了多個路徑的信號。MIMO雷達充分利用了多個傳感器的優(yōu)勢,與經(jīng)典的相控陣雷達不同,MIMO雷達能夠明顯地提高目標檢測、定位、跟蹤等性能[1-5]。雙基地MIMO雷達在MIMO雷達體制中工程實現(xiàn)性最強,因此本文針對雙基地MIMO雷達展開研究。雙基地MIMO雷達是通過估計目標的發(fā)射角度(direction of departure, DOD)和接收角度(direction of arrival, DOA)來確定目標位置,因此有大量關(guān)于雙基地MIMO雷達收發(fā)角度估計的算法[6-13]。

上述算法都是針對靜止目標收發(fā)角度的估計,需要大量的快拍數(shù)據(jù),并且復雜度較高,當目標運動時,每個快拍數(shù)據(jù)對應的目標角度不同,因此上述算法性能急劇下降甚至失效。實際戰(zhàn)場環(huán)境中,目標往往不是靜止的,運動目標相鄰時刻角度是相關(guān)的,相應的接收數(shù)據(jù)對應的角度不同,因此角度估計算法無法解決跟蹤問題,成為制約雙基地MIMO雷達實際應用的關(guān)鍵問題。目前公開發(fā)表跟蹤方面的文獻多是關(guān)于統(tǒng)計MIMO雷達的,而雙基地MIMO雷達跟蹤問題研究還較少,仍然沒有得到很好的解決。

關(guān)于MIMO雷達跟蹤方面的公開發(fā)表的文獻較少,文獻[14]中給出的單基地MIMO雷達跟蹤算法,算法復雜度較低,但是代價是跟蹤性能的降低。文獻[15]將Kalman引入到緊縮投影近似子空間跟蹤(projection approximation subspace tracking deflation, PASTd)算法,用Kalman濾波技術(shù)實現(xiàn)數(shù)據(jù)相關(guān),并且算法收斂速度快。上述文獻都是關(guān)于單基地MIMO雷達目標跟蹤問題。

雙基地MIMO雷達與單基地MIMO雷達不同,由收發(fā)基地組成,對應的接收角和發(fā)射角不相等,因此聯(lián)合導向矢量更加復雜,上述文獻算法無法解決雙基地MIMO雷達目標跟蹤問題。文獻[16]針對地面干擾源定位問題,建立了新的信號模型,利用分數(shù)階模糊函數(shù)峰值點搜索實現(xiàn)速度估計,結(jié)合投影近似子空間跟蹤(projection approximation subspace tracking, PAST)算法實現(xiàn)對飛機運動狀態(tài)的實時估計,但是算法不具有一般性。文獻[17]推導了相鄰時刻協(xié)方差矩陣差公式,從中提取與角度差的關(guān)系式,進而實現(xiàn)目標角度跟蹤。該算法計算量小,但跟蹤性能差。文獻[18]提出了基于自適應非對稱聯(lián)合對角化(adaptive asymmetric joint diagonalization, AAJD)目標角度跟蹤算法。算法不需要額外的關(guān)聯(lián)算法,但是求解角度時利用了上一時刻的估計角度,降低了算法的性能。

文獻[19]將陣列信號中的PASTd算法引入到雙基地MIMO雷達,成功解決了雙基地MIMO雷達目標跟蹤問題。該算法跟蹤性能優(yōu)于文獻[17]和文獻[18],但需要額外的數(shù)據(jù)相關(guān)運算,并且不能跟蹤相同收發(fā)角的目標。

因此本文針對文獻[19]存在的問題,提出了相鄰時刻收發(fā)角度自動關(guān)聯(lián)算法,同時實現(xiàn)了收發(fā)角度自動配對,利用估計出的目標收發(fā)角度,得到收發(fā)導向矢量,作為下一時刻跟蹤尋優(yōu)算法的初始矢量,因此能夠成功跟蹤相同接收角或發(fā)射角的目標。

1 信號模型

本文用雙基地MIMO雷達觀察空中運動目標,目標與基地距離較遠,符合點目標模型。雙基地MIMO雷達有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元組成,收發(fā)陣元平均分布,間隔相同且為波長λ的一半。雙基地MIMO雷達的配置如圖1所示。

圖1 雙基地MIMO雷達收發(fā)陣元配置Fig.1 Bistatic MIMO radar transceiver element configuration

假設(shè)第m個發(fā)射陣元的發(fā)射窄帶正交信號為sm(t)·exp(j2πfct),sm(t)為基帶信號,fc為載波的頻率。m個發(fā)射陣元發(fā)射的信號輻射到P個目標,散射后到達接收陣元的信號為

(1)

(2)

式中,εiexp(jωit)與εi的統(tǒng)計特性相同,ε=[ε1exp(jω1t),…,εPexp(jωPt)]T仍滿足SwerlingⅡ模型;n(t)均值為零,協(xié)方差矩陣為σ2IMN。

進一步簡化式(2)得

(3)

對式(3)進行取直操作

x(t)=At(φ)⊙Ar(θ)vec(diag(ε))+n(t)=

W(φ,θ)ε+n(t)

(4)

式中,W(φ,θ)=[at(φt,1)?ar(θt,1),at(φt,2)?ar(θt,2),…,at(φt,P)?ar(θt,P)]為MN×P維的收發(fā)方向矢量；⊙和?分別代表Khatri-Rao積和Kronecker積。

2 算法描述

PASTd算法通過求解目標函數(shù)最小值求出估計特征矢量,結(jié)合旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via invariance techniques, ESPRIT)算法估計出目標收發(fā)角度。PASTd算法的計算復雜度低,估計精度能滿足跟蹤要求。但是算法不能實現(xiàn)角度自動關(guān)聯(lián),且當目標發(fā)射角或接收角相同時,算法將失效。

改進PASTd算法在原算法的基礎(chǔ)上,通過PASTd算法的求優(yōu)過程,估計出目標的特征矢量,然后增加目標角度的關(guān)聯(lián)算法,關(guān)聯(lián)算法同時實現(xiàn)了同一目標收發(fā)角度的自動配對。通過目標角度自動關(guān)聯(lián)配對算法估計出此時的目標角度,利用得到的目標收發(fā)角度,代入收發(fā)導向矢量公式,得到準確的收發(fā)導向矢量,替代求優(yōu)過程估計出的特征矢量,作為下一時刻求優(yōu)過程的初始矢量。

因此,改進PASTd算法將跟蹤過程分為兩步,第一步通過目標函數(shù)尋優(yōu)算法估計出目標特征矢量,第二步利用得到的特征矢量結(jié)合自動關(guān)聯(lián)配對算法,實現(xiàn)對目標角度的估計,配對及關(guān)聯(lián)運算,然后求出收發(fā)導向矢量,值得注意的是求出的收發(fā)導向矢量比第一步估計出的特征矢量更接近真實方向矢量,并且滿足收發(fā)導向矢量的標準形式,因此用來更新特征矢量,作為下一時刻跟蹤算法的初始矢量。

文獻[20]指出PASTd算法的基礎(chǔ)是投影降維,每一次循環(huán)迭代相當于對一個目標的收發(fā)導向矢量進行更新,從而完成跟蹤過程。本文中的改進PASTd算法t時刻的初始矢量是通過t-1時刻算法步驟2得到的,即特征矢量的每一列對應于一個目標,因此經(jīng)過PASTd算法求出的特征矢量的每一列也對應于一個目標。

2.1 特征矢量的估計

改進PASTd算法的最小目標函數(shù)與PASTd算法的最小目標函數(shù)相同[20],其表達式為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

y(t)=WH(t-1)x(t)

(10)

y(t)=W-1(t-1)x(t)

(11)

(12)

(13)

然后給出估計誤差

e(t)=x(t)-W(t-1)y(t)

(14)

由遞歸最小二乘法可得特征矢量的更新，即

(15)

2.2 目標收發(fā)角度的估計、配對及相關(guān)算法

(16)

此時,存在一個唯一的非奇異矩陣T(t),使得

(17)

(18)

式(18)等式兩邊同時乘以y(t)得

(19)

為了表達方便,令α=yH(t)PH(t-1)y(t),簡化式(19)得

(20)

進一步化簡得

(21)

(22)

化簡得

(23)

對比式(23)兩邊可以得出

(24)

Us(t)T(t)=Us(t-1)T(t-1)

(25)

PASTd算法假設(shè)相鄰時刻角度變化較少,即Us(t)?Us(t-1)代入式(25)得

T(t)=T(t-1)=T

(26)

W(t-1)是t-1時刻改進PASTd算法第二步得到的收發(fā)導向矢量,則W(t-1)與Us(t-1)僅僅是經(jīng)過列變換,經(jīng)過t時刻跟蹤算法得到W(t),不改變列的順序,W(t)與W(t-1)兩個矩陣每一列都對應一個相同的目標。由此可知T=QE,Q為比例因子矩陣,E為列交換矩陣。

證畢

值得注意的是當t=1時,命題一不成立,因此本文算法在t=1直接利用ESPRIT算法估計角度,確定估計目標角度的順序。

下面給出目標收發(fā)角度自動關(guān)聯(lián)配對算法。

Ift==1

對Ψr進行特征值分解:Ψr=TΦrT-1

取Φr的對角線元素組成ωr

取Φt的對角線元素組成ωt

Else

令Tr每一行的最大值為1,其余元素為零,得到了Er

令Tt每一行的最大值為1,其余元素為0,得到Et

End

2.3 特征矢量的更新

根據(jù)第2.2節(jié)的算法得到包含角度信息的矩陣ωr和ωt,利用公式

求出θ(t),φ(t)。將其代入收發(fā)導向矢量公式得

at(φt,i)=[1,ejπsin φt,i…,ejπ(M-1)sin φt,i]

(27)

ar(θt,i)=[1,ejπsin θt,i,…,ejπ(N-1)sin θt,i]

(28)

W(t)=[at(φt,1)?ar(θt,1),…,at(φt,P)?ar(θt,P)]

(29)

表1 改進PASTd算法流程

3 實驗仿真及結(jié)果分析

雙基地MIMO雷達收發(fā)陣元間距為波長的一半,采用高斯白噪聲。發(fā)射信號的載波頻率為1 GHz,脈沖重復頻率為10 kHz,脈沖寬度為10 ms,發(fā)射信號為哈達碼脈沖信號。

定義

RMSE(θ)=

實驗1驗證算法有效性

首先對比PASTd算法和改進PASTd算法定位固定目標,驗證算法的有效性及優(yōu)勢。假設(shè)空中有4個感興趣的點目標,目標為靜止目標,收發(fā)陣元數(shù)M=N=3,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)SNR=10 dB 時,遺忘因子λ=0.95。4個目標的位置為(θ1,φ1)=(30°,-40°),(θ2,φ2)=(40°,20°),(θ3,φ3)=(-50°,30°)和(θ4,φ4)=(-20°,-10°),所有目標的收發(fā)角度都不相同,仿真定位結(jié)果如圖2所示。4個目標的位置為(θ1,φ1)=(30°,-40°),(θ2,φ2)=(40°,20°),(θ3,φ3)=(-50°,20°)和(θ4,φ4)=(-50°,-20°),目標三的收發(fā)角分別與目標二發(fā)射角、接收角相同,定位結(jié)果如圖3所示。

圖2 算法定位收發(fā)角度不同目標結(jié)果Fig.2 Positioning results of target of different Transceiver angle

圖3 算法定位收發(fā)角度相同目標結(jié)果Fig.3 Positioning results of target of same Transceiver angle

從圖2可以看出，PASTd算法與改進PASTd算法最后的估計角度與真實角度相同,說明兩種算法的有效性,當目標收發(fā)角度都不同時能夠成功定位目標。但是改進PASTd算法估計軌跡近似成直線,收斂速度較快,而PASTd算法估計軌跡分散,收斂速度慢,這是因為改進PASTd算法增加步驟2,更新了估計的特征矢量并作為下一時刻的初始矢量。從圖3仿真結(jié)果可以看出，改進PASTd算法仍然有效,而PASTd算法已經(jīng)失效,不能成功定位相同角度的目標,驗證了理論的有效性。

設(shè)空中有5個運動點目標,目標為非勻速運動并且相互獨立,其中的兩個目標的發(fā)射角在脈沖數(shù)為319時重合,收發(fā)陣元數(shù)為M=N=4,SNR=10 dB,跟蹤脈沖數(shù)為K=500,遺忘因子λ=0.85,AAJDd算法跟蹤結(jié)果如圖4所示,改進AAJDd算法跟蹤結(jié)果如圖5所示。

圖4 PASTd算法目標跟蹤結(jié)果Fig.4 Target tracking results based on PASTd algorithm

圖5 改進PASTd算法目標跟蹤結(jié)果Fig.5 Target tracking results based on improved PASTd algorithm

圖4給出了PASTd算法跟蹤運動目標的結(jié)果。PASTd算法估計的最后角度與目標角度重合,說明算法成功跟蹤了目標。估計軌跡與真實軌跡基本重合,但是在K=319附近算法失效,這是因為脈沖數(shù)為319時,兩個目標的發(fā)射角相同。圖5中改進PASTd算法跟蹤軌跡與真實軌跡完全重合,說明改進PASTd算法解決了PASTd算法不能跟蹤相同發(fā)射角或接收角的目標的問題,并且PASTd算法初始角度到真實目標初始角度之間的連線為直線,能夠更快的跟蹤目標。

為了更好地比較PASTd算法與改進PASTd算法性能,給出跟蹤誤差定義:

仿真實驗的條件與上一實驗相同,仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 兩種算法的跟蹤性能比較Fig.6 Comparison of tracking performance of two algorithms

從圖6可以得出結(jié)論:PASTd算法和改進PASTd算法在K>50時跟蹤誤差較小,能夠成功的跟蹤目標,跟蹤誤差性能較好,說明兩種算法在K>50都成功跟蹤到了目標,算法收斂性較好。在脈沖數(shù)為319時,目標角度相同時,PASTd算法跟蹤誤差較大,算法失效,而改進PASTd算法仍能夠成功的跟蹤目標,驗證了理論的正確性。

為了進一步說明本文算法的性能,設(shè)5個目標的運動模型不變,但是脈沖數(shù)分別設(shè)為200和400,即相當于目標運動速度發(fā)生改變,其余條件與上個實驗相同,仿真結(jié)果分別如圖7和圖8所示。

圖7 脈沖數(shù)為200時本文算法跟蹤結(jié)果Fig.7 Algorithm tracing result with the number of pulses is 200

圖8 脈沖數(shù)為400時本文算法跟蹤結(jié)果Fig.8 Algorithm tracing result with the number of pulses is 400

從圖7和圖8可以看出，脈沖為200和400時本文算法都能夠成功跟蹤目標,但是算法的性能和穩(wěn)健性都隨著脈沖數(shù)的減小而變差。這是因為隨著脈沖數(shù)的降低,相當于目標運動速度變大,相鄰兩個時刻角度差變大,而本文算法假設(shè)相鄰時刻目標角度變化較小,因此跟蹤性能隨著脈沖數(shù)的降低而變差,與理論分析一致。

實驗2兩種跟蹤算法RMSE隨SNR的變化關(guān)系

為了充分說明本文算法性能,將本文算法與PASTd算法的RMSE進行比較。假設(shè)空中存在角度相同的運動目標。設(shè)遺忘因子λ=0.85,收發(fā)陣元數(shù)都為5,發(fā)射脈沖數(shù)仍設(shè)為500,SNR=-5～20 dB。非穩(wěn)定跟蹤下的性能比較是沒有意義的,因此選取100≤K≤500用于計算算法性能。仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 RMSE隨SNR的變化Fig.9 The change of RMSE along with SNR

從圖9可以看出，改進PASTd算法RMSE低于PASTd算法,而且PASTd算法跟蹤誤差較大,說明改進PASTd算法已經(jīng)失效,而改進PASTd算法能夠成功跟蹤相同角度的目標。改進PASTd算法與PASTd算法的RMSE差隨著信噪比的降低逐漸增大,這是因為信噪比較低時,由于噪聲的影響,PASTd算法中估計的特征矢量誤差更大。

4 結(jié) 論

基于PASTd的雙基地MIMO雷達目標跟蹤算法不能跟蹤相同角度的目標,并且無法完成目標收發(fā)角度配對及相關(guān)運算,影響算法的實用性。本文針對PASTd算法存在的問題,提出改進PASTd算法。改進PASTd算法在PASTd算法的基礎(chǔ)上增加了目標角度自動關(guān)聯(lián)配對算法,在此基礎(chǔ)上利用得到的目標收發(fā)角度,求出的收發(fā)導向矢量,更接近真實的信號方向矢量,并且用其代替改進PASTd算法步驟一求出的特征矢量,用于下一時刻跟蹤算法的初始矢量。本文算法解決了PASTd算法的問題,同時實現(xiàn)目標角度自動配對與關(guān)聯(lián)運算,并且本文算法具有一般性,適用于所有基于PASTd算法的一大類跟蹤算法。

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