探索流體
——記清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)中心博士羅天文

本刊記者 杜月嬌

專家簡介：

羅天文，清華大學(xué)數(shù)學(xué)中心講師，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授。2010年畢業(yè)于中山大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，獲學(xué)士學(xué)位；后畢業(yè)于香港中文大學(xué)，分別獲數(shù)學(xué)碩士與博士學(xué)位。主要研究領(lǐng)域?yàn)槠⒎址匠蹋?011年起一直從事歐拉方程弱解的唯一性相關(guān)問題的研究，主要的研究成果包含三個(gè)方面：歐拉方程具有結(jié)構(gòu)的“wild solution”的存在性、帶有穩(wěn)定效應(yīng)（如阻尼、旋轉(zhuǎn)力等)的可容許解的不唯一性以及部分粘性下弱解的存在性。同時(shí)，羅天文注重學(xué)術(shù)交流與合作，與國內(nèi)的多位專家學(xué)者保持緊密的交流與合作關(guān)系。

19世紀(jì)，麥克斯韋從數(shù)學(xué)上論證了電磁波，其后赫茲才有可能做發(fā)射電磁波的實(shí)驗(yàn)，接著，手機(jī)誕生了。20世紀(jì)，愛因斯坦相對(duì)論從數(shù)學(xué)上論證了原子反應(yīng)將釋放出巨大的能量，到今天，原子能已經(jīng)成為發(fā)達(dá)國家電力能源的主要組成部分。21世紀(jì)，電腦成為人類生活必需品，在這一重大科學(xué)技術(shù)的創(chuàng)造和推進(jìn)過程中，數(shù)學(xué)一直發(fā)揮著“引擎作用”。

可以說，數(shù)學(xué)是科學(xué)進(jìn)步的基石。

在清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)中心，一位年輕的科研工作者正坐在辦公桌前，思考著偏微分方程的問題。自2015年從香港中文大學(xué)畢業(yè)，他在這里已經(jīng)工作兩年的時(shí)間了，他的名字叫羅天文。

斬獲“金獎(jiǎng)”

2013年，羅天文站在了“新世界數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上，被授予了碩士金獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)?wù)撐牡膬?nèi)容主要是圍繞非唯一解展開的?！凹僭O(shè)流體不粘稠，那么，我們可以依據(jù)該方程計(jì)算出相關(guān)的情況。但若它是粘稠的，我們就不能直接應(yīng)用這個(gè)公式了?！绷_天文在導(dǎo)師辛周平教授的指導(dǎo)下，受De Lellis,Szekelyhidi等人的開創(chuàng)性工作啟發(fā)，考慮了歐拉方程弱解在帶邊區(qū)域下的唯一性問題，得到了否定的回答。

該成果有何實(shí)際意義呢？要了解這個(gè)問題，就要先認(rèn)識(shí)湍流。湍流是流體的一種流動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)流體流速增加到很大時(shí)，流線不再清楚可辨，流場中有許多小漩渦，層流被破壞，相鄰流層間不但有滑動(dòng)，還有混合。這時(shí)的流體作不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，有垂直于流管軸線方向的分速度產(chǎn)生，這種運(yùn)動(dòng)稱為湍流?！耙恢币詠?，沒有特別好的方法可以解釋湍流現(xiàn)象，我們的工作希望能增進(jìn) 對(duì)湍流的理解?！绷_天文說。

羅天文是一位年輕的科研者，可對(duì)于他來說，數(shù)學(xué)已經(jīng)是一位“老友”了。讓我們把時(shí)間拉回到2006年，這一年，羅天文進(jìn)入中山大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，在這所由國父孫中山于1924年創(chuàng)建的校園中，隨著學(xué)習(xí)的深入，他對(duì)數(shù)學(xué)愈發(fā)有了興趣，“數(shù)學(xué)是深邃的，當(dāng)你不了解它時(shí)，也許并不知道它的美麗，而一旦與它相處一段時(shí)間，你就必定會(huì)感受到它的魅力所在?！?010年，被數(shù)學(xué)吸引的羅天文考入香港中文大學(xué)繼續(xù)深造，師從辛周平，在老師的帶領(lǐng)下，他走進(jìn)了偏微分方程的世界。

如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個(gè)，當(dāng)我們想解決具體的物理問題的時(shí)候，就需要從中選取所需要的解，而要做到這一點(diǎn)，我們就必須知道附加條件，例如物體的初始條件和邊界條件?！芭e個(gè)例子，對(duì)于一個(gè)弦樂器來說，如果一種是以撥片撥動(dòng)弦，另一種是以弓在弦上拉動(dòng)，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于‘撥動(dòng)’和‘拉動(dòng)’的那個(gè)初始時(shí)刻的振動(dòng)情況不同，因此產(chǎn)生后來的振動(dòng)情況也就不同?！蓖ㄟ^5年時(shí)間的學(xué)習(xí)，羅天文在偏微分領(lǐng)域逐漸扎下了根，在這同時(shí)，他在科研項(xiàng)目的開展方面，也積累了一定的經(jīng)驗(yàn)。

2015年，羅天文博士畢業(yè)后，來到清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)中心工作，在偏微分方程方面，這里擁有一批著名的數(shù)學(xué)家和優(yōu)秀的年輕學(xué)者，對(duì)于羅天文來說，丘成桐數(shù)學(xué)中心再合適不過了，在這里，他踏上了新的征程。

深化歐拉方程

歐拉方程是偏微分方程領(lǐng)域的中心問題之一，吸引了Euler、Riemann等一大批數(shù)學(xué)家對(duì)其進(jìn)行深入的研究，國內(nèi)學(xué)者如李大潛、陳恕行、肖玲等也對(duì)其進(jìn)行了大量深入的研究工作。該問題的研究成果，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特別是偏微分方程理論的發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用，同時(shí)對(duì)科學(xué)計(jì)算、航空航天等領(lǐng)域的發(fā)展也提供了理論指導(dǎo)和幫助，具有廣泛的應(yīng)用前景?？蓧嚎s歐拉方程組是歐拉方程的一個(gè)重要內(nèi)容，是最典型的一類非線性雙曲守恒律系統(tǒng)，由質(zhì)量、動(dòng)量、能量三大守恒律構(gòu)成，它刻畫了理想狀態(tài)下流體的演化，描述了眾多重要的物理現(xiàn)象。

但是至今為止，人類對(duì)于可壓縮歐拉方程組的了解是還是有限的，在此方面，我們還有許多工作要做。舉例來說，因“wildsolution”的存在，可壓縮歐拉方程組的滿足熵不等式的弱解沒有唯一性，為了排除無物理意義的多解，我們需要尋找合適的函數(shù)空間與可容許條件。“同時(shí)，可壓縮歐拉方程組的Holder連續(xù)解的構(gòu)造需要進(jìn)一步發(fā)展凸積分方法，這是因?yàn)槿踅饩?xì)結(jié)構(gòu)的研究涉及幾何測度論與凸積分的結(jié)合，而且若想證明弱解在合適可容許條件下的唯一性，我們還需要對(duì)高維歐拉方程的弱解有新的理解。這些問題都兼具數(shù)學(xué)價(jià)值與挑戰(zhàn)性，值得進(jìn)行深入的研究?！睘榱思由顚?duì)歐拉方程的探索，2017年年初，羅天文開展了國家基金項(xiàng)目“可壓縮歐拉方程組弱解的一些研究”。

在羅天文看來，歐拉方程可容許弱解的范圍問題，和弱解的合適函數(shù)空間與可容許條件問題是有關(guān)聯(lián)的，“兩個(gè)問題中，若能成功推進(jìn)一個(gè)，那么勢必會(huì)有助于另一個(gè)的解決。具體來說，我將圍繞可壓縮歐拉方程組滿足分片Holder連續(xù)條件的弱解、歐拉方程弱解的精細(xì)結(jié)構(gòu)、歐拉方程的弱解在附加可容許條件下的唯一性這三大相關(guān)主題進(jìn)行研究?！?/p>

從現(xiàn)在來看，有關(guān)壓縮歐拉方程Holder連續(xù)的弱解的研究，主要集中在其構(gòu)造依賴于的一類特殊的穩(wěn)態(tài)解，即Beltrami流的結(jié)構(gòu)。而對(duì)于可壓縮歐拉流是否存在類比Beltrami流的構(gòu)造，流的可壓縮性將起何種作用，凸積分的構(gòu)造與激波、稀疏波、接觸間斷等有怎樣的相互作用與關(guān)系這些問題，現(xiàn)在都沒有答案。

要突破現(xiàn)在的瓶頸，羅天文認(rèn)為可以從凸積分的技術(shù)角度出發(fā)，找到一族合適的波作為基本的構(gòu)造，使得其相互作用是可控制的，從而得到振幅、頻率與逼近誤差的有效估計(jì)，建立逼近格式，通過迭代收斂到Holder連續(xù)空間中的弱解。而對(duì)可壓縮歐拉方程組弱解結(jié)構(gòu)的研究，羅天文現(xiàn)在暫處于初步階段。“對(duì)凸積分方法構(gòu)造的“wild solution”，我們期望從幾何測度論的角度，建立逼近解迭代序列的估計(jì)，從而得到其幾何、測度等方面的性質(zhì)?！彼P算著說。在高維歐拉方程的弱解方面，羅天文設(shè)計(jì)的方案是先分析滿足更好正則性條件的弱解，如變差有界條件等。“在這之后，我們進(jìn)一步結(jié)合弱解的奇性結(jié)構(gòu)分析，探尋合適的可容許條件，排除非物理解的出現(xiàn)。”羅天文說。

對(duì)于中國，現(xiàn)在是一個(gè)創(chuàng)新的時(shí)代，數(shù)學(xué)是科學(xué)界的無冕之王，是推動(dòng)科學(xué)創(chuàng)新發(fā)展的重要力量，在數(shù)學(xué)的研究道路上，羅天文將會(huì)一直走下去，助力科學(xué)創(chuàng)新更上一階！