一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型及其對客流量預(yù)測

蘇術(shù)鋒，潘坤友

0 引言

交通運輸業(yè)是我國經(jīng)濟發(fā)展重點發(fā)展行業(yè)，而客運又是其中重要的一項業(yè)務(wù)。客運量能及時反映國家經(jīng)濟現(xiàn)狀以及預(yù)測未來國家經(jīng)濟發(fā)展趨勢。因此，本文必須十分重視對客流量問題的研究，找出其發(fā)展規(guī)律，為國家經(jīng)濟發(fā)展提供宏觀決策服務(wù)。

國內(nèi)學(xué)者對客流量問題做了較多的研究。李淑慶等(2006)[1]用遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測了重慶主城區(qū)公交客流量；錢鋒等(2013)[2]用四階段法對宜昌市東山大道BRT線路在6種不同服務(wù)水平下的客流進(jìn)行了預(yù)測；何九冉等(2013)[3]用ARIMA-RBF模型對城市軌道交通客流進(jìn)行預(yù)測；路小娟等(2013)[4]用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對我國1978—2010年鐵路客流量進(jìn)行預(yù)測；涂丹(2007)[5]在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上，構(gòu)造了組合預(yù)測模型，對武漢－北京航線客流量進(jìn)行了預(yù)測。靳召東等(2010)[6]用最小二乘支持向量機對江蘇省2001—2008年各月公路交通客流量進(jìn)行預(yù)測；陳榮等(2014)[7]用SVR-PSO模型對季度性的旅游客流進(jìn)行了預(yù)測。本文重構(gòu)了一個全新的一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型，分析某省2010—2015年客流量并對未來三年客流量進(jìn)行預(yù)測。

1 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型參數(shù)

為了提高GM(1,1)模型預(yù)測精度，就改進(jìn)模型本身缺陷而言，學(xué)術(shù)界研究主要集中在：初始值改進(jìn)，背景值改進(jìn)，邊值與背景值同時改進(jìn)；建模方法改進(jìn)。但這些方法只能對GM(1,1)模型進(jìn)行修改，而不能得到其最優(yōu)解。

王義鬧(1988)[8]就提出從GM(1,1)白化微分方程直接建模方法，但其文中并沒有真正解決從微分方程直接建模問題。此文中所建微分方程本質(zhì)上仍然與GM(1,1)基本形式等價；其方程x?(t)=ce-at+b中的c和b也是在已求得a后才求得。若要得x?(t)=ce-at+b最優(yōu)解，必須同時對其三個系數(shù)a，b，c求偏導(dǎo)才能得到最優(yōu)解。穆勇(2003)[9]構(gòu)造了一個直接建模的GM(1,1)，但不足是其GM(1,1)模型的初始點通過x(1)點。因為理想擬合曲線不一定經(jīng)過x(1)點，所以其構(gòu)造的模型還不是真正意義上的直接建模GM(1,1)模型。

由于對白化微分方程求解，面臨含有指數(shù)函數(shù)的三個未知數(shù)三個非線性方程求解問題。因此，本文使用參數(shù)尋優(yōu)與解析法相結(jié)合，構(gòu)建一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型并求出了最優(yōu)解。

1.1 GM(1,1)模型的a值

定義1（一參數(shù)尋優(yōu)）：估算出一個參數(shù)取值區(qū)間，在這個區(qū)間上，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，尋找最優(yōu)解。

定理 1：若非負(fù)序列 X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n) 滿k=2，3，…，n。

證明：由于序列X(0)滿足準(zhǔn)指數(shù)關(guān)系，則近似得：

由式（1）得：

由式（2）得：

證畢。

由于非負(fù)序列X(0)只滿足準(zhǔn)指數(shù)關(guān)系，故各期的發(fā)展系數(shù)a不相等，則將式（3）改寫成：

1.2 GM(1,1)模型的 c，d 值

定理 2：若x?(1)(k)=ce-a(k-1)+d是 GM(1,1)模型白化方程的通解，則

證明：用最小二乘法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),得：

1.3 GM(1,1)模型的 a，c，d 方程組

由式（4）和式（5）得：

2 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型構(gòu)建

2.1 目標(biāo)函數(shù)

理論上可知，最小一乘法優(yōu)于最小二乘法，故本文將最小一乘法與平均相對百分比（MAPE）相合，構(gòu)造其目標(biāo)函數(shù)。

2.2 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型算法

第一步，計算序列X(0)各期的發(fā)展系數(shù),即a0(k)=算序列X(0)發(fā)展系數(shù)a的區(qū)間，即[amin，amax]，其中：amin=min(a(i))i=1，2， …n-1，amax=max(a(i))i=1，2，…n-1；

第二步，將區(qū)間[amin，amax]分成m份，將每一份值賦給a(i)i=1，2，…m,其中：

第三步，將a(i)代入式（6）計算出c(i)和d(i)；

第四步，將a(i)，c(i)和d(i) 代入式（7）計算適應(yīng)值mape(i)；

第五步，如果本次mape(i)小于當(dāng)前最小mape，則更新mape的值；

第六步，進(jìn)入下一個a(i)，c(i)，d(i)，按第三，第四方法計算，直至i=m結(jié)束；

第七步，得到最小值mape下a，c，d值。

一參數(shù)一維尋優(yōu)算法比較簡便。因為序列發(fā)展系數(shù)a可以在區(qū)間[amin，amax]尋優(yōu)出來，且計算工作量不大。在普通計算機上,讓m=5000，計算機上計算的尋優(yōu)時間約為2～3秒鐘。

2.3 模型檢驗

表1和表2（見下頁）是用平穩(wěn)數(shù)據(jù)和非平穩(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行MAPE值比較，其結(jié)果一參數(shù)尋優(yōu)模型精度最高。表3（見下頁）用純指數(shù)序列進(jìn)行驗證，一參數(shù)尋優(yōu)模型能完全擬合原指數(shù)序列，故此模型具有無偏性。表4（見下頁）是與目前預(yù)測客流量模型進(jìn)行比較，其結(jié)果一參數(shù)尋優(yōu)模型精度也是最高的。

表1 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型平穩(wěn)數(shù)據(jù)的驗算

從表1至表4驗證說明，一參數(shù)尋優(yōu)模型是一個精度較高，適用性廣的模型，可以用于各類預(yù)測問題。

3 應(yīng)用

為了研究客流量發(fā)展規(guī)律，更好地服務(wù)客運服務(wù)業(yè)，本文構(gòu)建了某省客運流量的一參數(shù)尋優(yōu)模型，并對未來三年客流量進(jìn)行預(yù)測，見表5所示。

表2 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的驗算

表3 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型指數(shù)數(shù)據(jù)驗算

表4 一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型與其他客流預(yù)測方法比較[17]（單位：人）

表5 基于一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型下的交通客流預(yù)測[17] （單位：萬人）

表5中2011年數(shù)據(jù)屬于異常數(shù)據(jù)，用2010年與2012年的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。修正后的數(shù)據(jù)，擬合精度更高，更便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

經(jīng)預(yù)測發(fā)現(xiàn)未來客運發(fā)展速度為6.44%。這個預(yù)測值比較準(zhǔn)確，因為國家總體經(jīng)濟發(fā)展速度在7%以上。

4 結(jié)論

本文基于直接建模理念構(gòu)造了一參數(shù)尋優(yōu)GM(1,1)模型。其解法的思路：參數(shù)尋優(yōu)與解析法相結(jié)合，從而得到GM(1,1)模型的MAPE最小值下的參數(shù)值。此模型的解法通過了相應(yīng)的數(shù)據(jù)檢驗以及與其他客流量預(yù)測方法的比較，其結(jié)論是此解法為最優(yōu)。同時此模型用于某省客流量的實際預(yù)測，預(yù)測結(jié)果符合經(jīng)濟增長規(guī)律，從而進(jìn)一步說明此解法的最優(yōu)性。

[1]李淑慶，姜海艷.遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在公交客流量預(yù)測中的應(yīng)用研究[J].交通標(biāo)準(zhǔn)化,2006,(12).

[2]錢鋒,陸鋒等.快速公交客流量預(yù)測研究——以宜昌市東山大道為例[J].工程與建設(shè)，2013,27(2).

[3]何九冉，四兵鋒.ARIMA-RBF模型在城市軌道交通客流預(yù)測中的應(yīng)用[J].山東科學(xué),2013,26(3).

[4]路小娟，馬寶峰等.鐵路客流量預(yù)測分析與研究[J].蘭州交通大學(xué)學(xué)報，2013，32(6).

[5]涂丹.區(qū)域性航空公司航線客流量預(yù)測模型研究[D].武漢：華中科技大學(xué),2007.

[6]靳召東，陳虹等.最小二乘支持向量機在公路交通客流量預(yù)測中的應(yīng)用[J].交通標(biāo)準(zhǔn)化,2010,(5).

[7]陳榮,梁昌勇等.基于季節(jié)SVR-PSO的旅游客流量預(yù)測模型研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2014,34(5).

[8]王義鬧.GM(1,1)的直接建模方法及性質(zhì)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,1988,(1).

[9]穆勇.灰色預(yù)測模型參數(shù)估計的優(yōu)化方法[J].青島大學(xué)學(xué)報，2003,16(3).

[10]鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[11]李祚泳,張明等.基于遺傳算法優(yōu)化的GM(1,1)模型及效果檢驗[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2002,(8).

[12]穆勇.灰色預(yù)測模型參數(shù)估計的優(yōu)化方法[J].青島大學(xué)學(xué)報,2003,16(3).

[13]劉威,崔高鋒.估計GM(1,1)模型參數(shù)的一種新方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009,31(2).

[14]羅黨,劉思峰等.灰色模型GM(1,1)優(yōu)化[J].中國工程科學(xué),2003,5(8).

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[17]張朝元，陳麗.基于PCA改進(jìn)的SOR-LS-SVM旅游流量預(yù)測模型[J].科技通報,2013,29(3).