弱偏振器件Mueller矩陣測量的校準(zhǔn)及應(yīng)用*

彭建國，袁 沭，金振宇

(1. 中國科學(xué)院云南天文臺，云南 昆明 650011；2. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

太陽磁場是主導(dǎo)太陽活動的主要因素[1]，而太陽磁場高分辨圖像是分析太陽活動與磁場變化之間關(guān)系的基本依據(jù)。目前，國內(nèi)外有不少研究機(jī)構(gòu)致力于太陽磁場高分辨觀測的研究。其中，瑞典1 m太陽望遠(yuǎn)鏡(Swedish Solar Telescope, SST)[2]，美國大熊湖觀測站的新太陽望遠(yuǎn)鏡(New Solar Telescope, NST)[3]，德國的GREGOR太陽望遠(yuǎn)鏡[4]都在太陽磁場高分辨成像或者光譜觀測方面取得了優(yōu)秀的成果。在國內(nèi)，國家天文臺懷柔觀測站的太陽磁場望遠(yuǎn)鏡[5]以及云南天文臺的太陽Stokes光譜望遠(yuǎn)鏡[6-7]在太陽磁場的偏振測量方面做出了重要貢獻(xiàn)。云南天文臺的1 m太陽望遠(yuǎn)鏡以其口徑和臺址等優(yōu)勢，有望獲得在太陽活動中磁場的小尺度結(jié)構(gòu)信息[8]。

目前，太陽磁場主要通過觀測磁敏譜線的偏振分裂獲得[9]。然而，太陽望遠(yuǎn)鏡要進(jìn)行磁場觀測，對望遠(yuǎn)鏡及相關(guān)儀器的偏振定標(biāo)必不可少[10-12]。圖1(a)是1 m太陽望遠(yuǎn)鏡的光路示意圖，文[10]已經(jīng)建立相關(guān)模型對望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行偏振定標(biāo)。圖1(b)是1 m 太陽望遠(yuǎn)鏡磁場測量終端示意圖，該終端安裝于圖1(a)中望遠(yuǎn)鏡光路系統(tǒng)的后端，圖1(b)中場鏡位于望遠(yuǎn)鏡焦點F3處。

圖1(a) 1 m太陽望遠(yuǎn)鏡光路示意圖；(b) 磁場測量終端

Fig.1(a) Optical path diagram of NVST; (b) magnetic field measuring equipment

由于文[10]中已經(jīng)對F3前的望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)進(jìn)行了相應(yīng)的偏振定標(biāo)，現(xiàn)在只需要對F3到偏振分析器間的光學(xué)器件進(jìn)行偏振特性的測量，特別是分束鏡的偏振效應(yīng)。

由于分束鏡的偏振效應(yīng)較弱(一般在百分之幾)，對偏振特性(本文中用Mueller矩陣表示)的測量更容易受測量系統(tǒng)精度的影響。本文采用空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)法對雙旋轉(zhuǎn)波片Mueller矩陣測量系統(tǒng)[13-14]的測量結(jié)果進(jìn)行了校準(zhǔn)，提高了系統(tǒng)對Mueller矩陣的測量精度。

1 雙旋轉(zhuǎn)波片測量系統(tǒng)及空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)法

1.1 雙旋轉(zhuǎn)波片Mueller矩陣測量系統(tǒng)的建立

雙旋轉(zhuǎn)波片Mueller矩陣測量系統(tǒng)原理如圖2，圖中PL1和WP1組成偏振發(fā)生器，用于產(chǎn)生已知狀態(tài)的偏振光，WP2和PL2組成偏振分析器，分析經(jīng)過樣品之后偏振光的狀態(tài)。圖中兩個偏振片PL1和PL2的透過軸方向相同且固定不動，測量過程中旋轉(zhuǎn)波片WP1和WP2。Mueller矩陣測量系統(tǒng)從光源到探測器依次是：激光二極管光源，格蘭-湯普森棱鏡PL1，1/4波片WP1，待測樣品，1/4波片WP2，偏振片PL2，濾光片，光功率計。其中，WP1和WP2分別安裝在兩個電控精密轉(zhuǎn)臺上，對波片角度(θ1,θ2)調(diào)節(jié)?？赏ㄟ^軟件控制，實現(xiàn)多組(θ1,θ2)的連續(xù)控制及光強(qiáng)的同步采集。測量系統(tǒng)選取θ1，θ2分別調(diào)節(jié)至(0, 22.5, 45, …, 157.5) 8個位置，一次測量得到64個光強(qiáng)值。其中，θ1，θ2的調(diào)節(jié)位置是依據(jù)Q，U的調(diào)制頻率及響應(yīng)矩陣對角化得到的。

圖2 雙旋轉(zhuǎn)波片測量系統(tǒng)原理圖
Fig.2 Schematic diagram of dual-rotating-retarder Mueller matrix polarimeter

系統(tǒng)選取起偏棱鏡PL1的起偏方向為Q方向，依次將PL2的透過軸及WP1，WP2的快軸對準(zhǔn)至Q方向，并對WP1，WP2的延遲量進(jìn)行擬合[15-16]，得出δ1，δ2分別為87.6°和88.4°。

在建立圖2的測量系統(tǒng)時，選擇激光二極管光源，該光源穩(wěn)定性好，且準(zhǔn)直度高，光斑半徑小?？梢灾苯邮构庠窗l(fā)出的光經(jīng)過偏振發(fā)生器、待測樣品、偏振分析器和濾光片后直接進(jìn)入光功率計，而不需要使用透鏡，這樣既縮短了光路，又避免了透鏡的偏振特性對測量結(jié)果的影響。

1.2 Mueller矩陣的計算過程

測量系統(tǒng)光強(qiáng)與各個光學(xué)元件參數(shù)關(guān)系如下：

I(θ1,δ1,θ2,δ2)=[1,0,0,0]Mpl2Mwp2(θ2,δ2)MsMwp1(θ1,δ1)Mpl1[I0,0,0,0].

(1)

定義Si=Mwp1(θ1i,δ1)Mpl1[I0,0,0,0]，Si表示與θ1i對應(yīng)的定標(biāo)光斯托克斯(Stokes)參量；定義Pj=[1,0,0,0]Mpl2Mwp2(θ2j,δ2)，Pj表示與θ2j對應(yīng)的偏振分析器對光強(qiáng)的調(diào)制矩陣。

由1.1所述的測量過程，測得8 × 8光強(qiáng)矩陣：

I8,8=P8,4MsS4,8，

(2)

其中，S4,8=(S1, …,Si, …,S8)；P8,4=(P1, …,Pj, …,P8)。

通過矩陣運(yùn)算得出方程的最小二乘解，即

Ms= (P8,4P8,4)-1P8,4I8,8S4,8(S4,8S4,8)-1.

(3)

1.3 空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)法

由于空氣是各向同性的，無樣品時進(jìn)行測量根據(jù) (3)式計算的Mueller矩陣應(yīng)該為單位矩陣，而實際測量中相對單位矩陣有偏離。這主要是由于對偏振片和波片參數(shù)測量的偏差以及偏振片和波片自身的不理想因素造成的。

本文不具體分析產(chǎn)生上述問題的原因，而是選擇采用空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)的方法實現(xiàn)對測量誤差的處理和優(yōu)化。下面分析如何使用空氣Mueller矩陣Mc對分束鏡這類偏振效應(yīng)相對較弱的樣品進(jìn)行校準(zhǔn)的過程。

空氣Mueller矩陣測量的結(jié)果Mc可以看作單位矩陣E與一個4 × 4矩陣m0的和， 即Mc=E+m0，m0為一個小量。

由于m0≠0是偏振發(fā)生器和偏振分析器與理想情形偏離造成的，所以針對空氣的測量可以把(2)式展開有

(4)

其中，(E+ Δs)和(E+ Δp)分別表示偏振發(fā)生器和偏振分析器相對理想情形的偏離程度，Δp，Δs為小量。無樣品的測量結(jié)果Mc=(E+ Δp)(E+ Δs)。

=(E+Δp)(E+Δx)(E+Δs)

=[(E+Δx)(E+Δp)-(ΔxΔp-ΔpΔx)](E+Δs)

(5)

(6)

使用空氣Mueller矩陣進(jìn)行校準(zhǔn)后，實驗測量系統(tǒng)的誤差主要來源于公式的近似誤差以及光強(qiáng)不穩(wěn)定性。

2 分束鏡Mueller矩陣的測量

先用調(diào)試好的測量系統(tǒng)進(jìn)行空氣Mueller矩陣的測量，并將測量結(jié)果Mc用于后續(xù)測量的校準(zhǔn)；接著對一塊標(biāo)準(zhǔn)的K9玻璃進(jìn)行入射角從0°到50°的Mueller矩陣測量，比較測量結(jié)果和理論值的差別；然后用測量系統(tǒng)對待測分束鏡樣品進(jìn)行測量；最后對測量系統(tǒng)的誤差進(jìn)行分析。

2.1 無樣品時的空氣Mueller矩陣

按照1.2節(jié)的介紹，將測得的光強(qiáng)矩陣I8,8、波片的延遲量87.6°和88.4°及方位角(0, 22.5, …, 157.5)代入(3)式得出空氣的Mueller矩陣：

測得的空氣Mueller矩陣并不是一個具有實際物理意義的矩陣，而是測量系統(tǒng)不完美程度的表征。該矩陣反映了不進(jìn)行校準(zhǔn)的測量誤差在2%左右，極大地限制了對樣品測量的精度。

在后續(xù)測量中使用空氣矩陣的測量結(jié)果Mc對樣品Mueller矩陣的測量結(jié)果進(jìn)行校準(zhǔn)，以提高測量精度。

2.2 測量平板玻璃Mueller矩陣隨入射角變化的結(jié)果

測量K9平板玻璃在入射角從0°到50°變化時的Mueller矩陣，并比較測量結(jié)果與菲涅爾公式得出結(jié)果的差別，這樣可以從實際測量角度得出Mueller矩陣測量系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。

設(shè)平板玻璃的偏振光P分量和S分量的透過強(qiáng)度比為t，K9玻璃透射光的Mueller矩陣為

(7)

其中，P，S透過強(qiáng)度比t為折射率n和入射角α的函數(shù)。

圖3為K9平板玻璃入射角α從0°到50°變化時的Mueller矩陣，該4 × 4圖與(7)式中4 × 4的Mueller矩陣的各個陣元對應(yīng)。從圖3可以看出，(7)式中的0、1陣元的測量結(jié)果與理論值之間的偏差基本在5 × 10-3以內(nèi)。

圖3 K9平板玻璃Mueller矩陣隨入射角變化
Fig.3 Measured Mueller matrix of K9 glass vary with the incident angle

圖4比較了陣元M12，M21，M33，M44的測量值與理論值，可以看出(7)式中非0、1陣元的最大誤差也在5 × 10-3內(nèi)。

本節(jié)對標(biāo)準(zhǔn)樣品K9玻璃的Mueller矩陣測量結(jié)果與理論值的比較，可得使用空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)后的誤差小于5 × 10-3。

圖4 K9玻璃Mueller矩陣陣元M12，M21，M33，M44的測量值與理論值的比較
Fig.4 Compare the measured value of Mueller matrixM12,M21,M33,M44with the theoretical value

2.3 對分束鏡樣品Mueller矩陣的測量

對兩塊用于1 m太陽望遠(yuǎn)鏡磁場測量的分束鏡進(jìn)行Mueller矩陣測量。一方面可以用準(zhǔn)確測量的分束鏡Mueller矩陣處理1 m太陽望遠(yuǎn)鏡偏振測量的結(jié)果，剔除分束鏡的偏振效應(yīng)造成的起偏和串?dāng)_；另一方面，通過比較不同設(shè)計下的分束鏡的偏振特性，選擇起偏和串?dāng)_相對較小的方案，以避免起偏和串?dāng)_過大對斯托克斯參量Q，U，V信噪比的減弱。

由于分束鏡樣品都進(jìn)行鍍膜，其Mueller矩陣有參數(shù)P，S透過比為t，P，S相位延遲差為δ，分束鏡透射光的Mueller矩陣為

(8)

其中，S方向與斯托克斯參量的Q方向平行。

當(dāng)分束鏡的S方向與測試系統(tǒng)定義的Q方向存在θ夾角時，分束鏡Mueller矩陣為

M(t,δ,θ) =mr(-θ)M(t,δ)mr(θ)

(9)

下面是對1 m太陽望遠(yuǎn)鏡的一塊1∶9的分束鏡A進(jìn)行Mueller矩陣測量的結(jié)果。

對應(yīng)的P，S透過比t=1.156；P，S相位延遲差δ=-7.35°；S方向與測試系統(tǒng)Q軸的夾角θ=-0.64°。

經(jīng)過進(jìn)一步偏振優(yōu)化設(shè)計后的分束鏡B的Mueller矩陣

對應(yīng)的P，S透過比t=1.004；P，S相位延遲差δ=-7.67°；S方向與測試系統(tǒng)Q軸的夾角θ=2.87°。

由于太陽偏振信號Q，U，V相對光強(qiáng)I比較弱，所以在對太陽進(jìn)行偏振測量時首先要盡量避免儀器的起偏效應(yīng)(I→Q，U，V)，其次避免儀器造成的Q，U，V之間的串?dāng)_。比較分束鏡A和B的Mueller矩陣測量結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過偏振優(yōu)化后的分束鏡對起偏效應(yīng)有了很好抑制，將I對Q，U的起偏由原先的7%左右降到0.5%以下。

2.4 測量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差

本文對誤差的處理方式如1.3節(jié)中所述，分析用空氣矩陣Mc進(jìn)行校準(zhǔn)后的誤差。用(5)式求解近似的誤差如下：

ΔMs=(ΔxΔp-ΔpΔx)(E+Δs)Mc-1

=(ΔxΔp-ΔpΔx)(E+Δp)-1，

(10)

其中，Δx為測量樣品的偏振程度，樣品偏振特性越弱，Δx越接近0；Δp為偏振分析器相對理想情形的偏差，偏差越小，Δp越接近0。

由2.1節(jié)Mc的測量結(jié)果可知，當(dāng)Δs=0時，Δp取最大值為

結(jié)合2.2和2.3中測量樣品Δx的最大值可以得出：

ΔMs<(ΔxmaxΔpmax-ΔpmaxΔxmax)(E+Δpmax)-1.

上式近似的最大誤差：

即針對2.2和2.3中的測量樣品，使用(5)式求解的近似誤差ΔMs< 2 × 10-3。

圖5 光強(qiáng)隨時間的穩(wěn)定性 (a) 和光強(qiáng)的隨機(jī)起伏 (b)
Fig.5 The stability of light intensity over time (a) and random fluctuation of light intensity (b)

由(3)式可得，測得Mueller的第(i,j)個陣元可表示為

M(i,j)=k11(i,j)I11+k12(i,j)I12+…+k88(i,j)I88，

(11)

其中，i,j=1,2,3,4；k11(i,j),k12(i,j), …,k88(i,j)根據(jù)P8,4和S4,8計算得到；I11,I12, …,I88為光強(qiáng)矩陣I8,8的各個陣元。

根據(jù)隨機(jī)誤差傳遞公式可得

δM(i,j)2=[k11(i,j)δI11]2+[k12(i,j)δI12]2+ … +[k88(i,j)δI88]2，

(12)

其中，δI11,δI12, …,δI88為光強(qiáng)矩陣I8,8的隨機(jī)誤差。

實驗中對空氣Mueller矩陣MC進(jìn)行20組測量的標(biāo)準(zhǔn)差為

由誤差傳遞計算的結(jié)果及實驗測得結(jié)果可得，隨機(jī)誤差對Mueller矩陣測量結(jié)果的影響小于10-3。

Mueller矩陣系統(tǒng)使用空氣矩陣Mc校準(zhǔn)后，系統(tǒng)誤差ΔM< 2 × 10-3，隨機(jī)誤差δM< 10-3。在2.2節(jié)中，對K9平板玻璃的測量值與理論值的偏差在5 × 10-3以內(nèi)。綜合考慮，本套測量系統(tǒng)用于文中樣品的測量誤差小于5 × 10-3。

由于空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)法用(5)式中的近似，因此，僅適用于對弱偏振器件的Mueller矩陣測量，對起偏和延遲效應(yīng)小于10%的樣品的測量能達(dá)到5 × 10-3以內(nèi)的測量精度。

3 總 結(jié)

本文以測量1 m太陽望遠(yuǎn)鏡分束鏡的Mueller矩陣為出發(fā)點，使用空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)法對Mueller矩陣測量結(jié)果進(jìn)行校準(zhǔn)，將Mueller矩陣測量精度由2%提高到5 × 10-3。比較了標(biāo)準(zhǔn)樣品K9平板玻璃的Mueller矩陣測量結(jié)果與理論值間的差別，并運(yùn)用該測量系統(tǒng)對1 m太陽望遠(yuǎn)鏡偏振測量中的分束鏡進(jìn)行了準(zhǔn)確測量，比較了經(jīng)過偏振優(yōu)化的分束鏡與未經(jīng)過偏振優(yōu)化的分束鏡之間的差別和影響，這對1 m太陽望遠(yuǎn)鏡的偏振測量以及分束鏡方案的優(yōu)化是必不可少的。

使用空氣Mueller矩陣校準(zhǔn)法后，Mueller矩陣測量系統(tǒng)的測量精度初步滿足對弱偏振器件的偏振特性的測量。如果需要進(jìn)行更高精度的測量和定標(biāo)，則需要在測量系統(tǒng)中使用更標(biāo)準(zhǔn)的偏振片和波片，并且提高光源的穩(wěn)定性。

[1] 劉煜, 張洪起, 包曙東. 太陽磁場觀測研究[J]. 天文學(xué)進(jìn)展, 2001, 19(1): 34-44.

Liu Yu, Zhang Hongqi, Bao Shudong. A research on observation of solar magnetic field[J]. Progress in Astronomy, 2001, 19(1): 34-44.

[2] Van Noort M J, Rouppe van der Voort L H M. Stokes imaging polarimetry using image restoration at the Swedish 1-m Solar Telescope[J]. Astronomy & Astrophysics, 2008, 489(1): 429-440.

[3] Cao Wenda, Jing Ju, Ma Jun, et al. Diffraction-limited polarimetry from the Infrared Imaging Magnetograph at Big Bear Solar Observatory[J]. Publications of the Astronomical Society of the Pacific, 2006, 118(844): 838-844.

[4] Lagg A, Solanki S K, Doerr H P, et al. Probing deep photospheric layers of the quiet Sun with high magnetic sensitivity[J]. Astronomy & Astrophysics, 2016, 596: 1-13.

[5] Bai X Y, Deng Y Y, Teng F, et al. Improved magnetogram calibration of Solar Magnetic Field Telescope and its comparison with the Helioseismic and Magnetic Imager[J]. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2014, 445(1): 49-55.

[6] Qu Z Q, Zhang X Y, Chen X K, et al. A solar Stokes spectrum telescope[J]. Solar Physics, 2001, 201(2): 241-251.

[7] 梁紅飛, 蘇同衛(wèi), 趙海娟. 太陽Stokes光譜望遠(yuǎn)鏡的結(jié)構(gòu)及其數(shù)據(jù)處理方法[J]. 天文研究與技術(shù)——國家天文臺臺刊, 2007, 4(3): 249-257.

Liang Hongfei, Su Tongwei, Zhao Haijuan. Structure and data processing of the solar Stokes spectral telescope[J]. Astronomical Research & Technology——Publications of National Astronomical Observatories of China, 2007, 4(3): 249-257.

[8] Liu Zhong, Xun Jun, Gu Bozhong, et al. New vacuum solar telescope and observations with high resolution[J]. Research in Astronomy and Astrophysics, 2014, 14(6): 705-718.

[9] LandiDegl′Innocenti E. Generation and transfer of polarized radiation in the solar atmosphere: physical mechanisms and magnetic-field diagnostic[C]// NASA Conference Publication. 1985: 279-299.

[10]Yuan S. Polarization model for the New Vacuum Solar Telescope[C]// ASP Conference Series.2014.

[11] Skumanich A, Lites B W, Martínez P V, et al. The calibration of the Advanced Stokes Polarimeter[J]. The Astrophysical Journal Supplement, 2009, 110(2): 357-380.

[12] Beck C, Schlichenmaier R, Collados M, et al. A polarization model for the German Vacuum Tower Telescope from in situ and laboratory measurements[J]. Astronomy & Astrophysics, 2005, 443(3): 1047-1053.

[13] Smith M H. Optimizing a dual-rotating-retarder Mueller matrix polarimeter[C]// International Symposium on Optical Science and Technology. 2002.

[14] Ichimoto K, Shinoda K, Yamamoto T, et al. Photopolarimetric measurement system of Mueller matrix with dual rotating waveplates[J]. Publications of the National Astronomical Observatory of Japan, 2006, 9(1-2): 11-19.

[15] 侯俊峰, 王東光, 鄧元勇, 等. 基于最小二乘擬合的波片相位延遲測量[J]. 光學(xué)學(xué)報, 2011, 31(8): 104-109.

Hou Junfeng, Wang Dongguang, Deng Yuanyong, et al. Phase retardation measurement with least square fitting method[J]. Acta Optica Sinica, 2011, 31(8): 104-109.

[16] 侯俊峰. 偏振分析器的高精度偏振定標(biāo)方法研究及其應(yīng)用[D]. 北京：中國科學(xué)院大學(xué), 2013.