基于二維插值的引信裝定器用彈道參數(shù)解算方法

，，，

(1.南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210094；2.淮海工業(yè)集團(tuán)有限公司，山西 長(zhǎng)治 046000)

0 引言

定距空炸引信主要用于打擊高機(jī)動(dòng)性和高隱蔽性的有生目標(biāo)，控制彈丸在目標(biāo)的上方或側(cè)面起爆，殺傷隱蔽在工事掩體或建筑物后方的目標(biāo)，在即使無法直接命中情況下也可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的有效殺傷，大大提高彈藥的作戰(zhàn)效能[1]。為彈藥配備可編程的電子時(shí)間引信是實(shí)現(xiàn)彈藥的定距空炸功能的主要方式之一。

對(duì)可編程電子時(shí)間引信進(jìn)行數(shù)據(jù)裝定是實(shí)現(xiàn)彈藥精確空炸的前提。在已有射表的基礎(chǔ)上，可編程電子時(shí)間引信根據(jù)目標(biāo)參數(shù)、氣象參數(shù)等與飛行時(shí)間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)定距空炸功能。由于每發(fā)彈藥的作戰(zhàn)距離、氣象環(huán)境、炮口初速等參數(shù)不定，每發(fā)彈藥需要射表中的數(shù)據(jù)也不盡相同，同時(shí)受電子時(shí)間引信微處理器存儲(chǔ)容量的限制，不可能將整個(gè)射表數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在引信中,并由引信完成繁瑣的插值計(jì)算。為了保證彈藥的首發(fā)命中及電子時(shí)間引信的定距空炸精度，需要在彈丸發(fā)射前對(duì)電子時(shí)間引信進(jìn)行裝定[2]。在引信裝定器中以一定間隔分化嵌入射表數(shù)據(jù)，并配合相應(yīng)的傳感器、測(cè)距機(jī)等設(shè)備使用，在彈丸發(fā)射前由裝定器查表并解算引信需要的數(shù)據(jù)并實(shí)時(shí)裝定給引信。

二維插值在大氣、巖土、圖像、地球物理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[3-8]，尤其是在圖像放縮領(lǐng)域中的應(yīng)用。射表中數(shù)據(jù)主要是距離和海拔的二維參量，即需要兩個(gè)參數(shù)才能確定所需要的變量。本文針對(duì)此問題，提出了基于二維插值算法的引信用裝定器彈道參數(shù)解算方法。

1 二維插值算法

二元函數(shù)插值包括線性插值、Lagrange型二元多項(xiàng)式插值、二元函數(shù)的分片低次插值等[9]。二維插值在工程中有著十分廣泛的應(yīng)用，尤其是在數(shù)字圖像、信號(hào)處理和視頻處理等領(lǐng)域。

1.1 分片線性插值

分片線性插值是二維插值中最簡(jiǎn)單的具有連續(xù)線性的插值方法。假設(shè)已知四個(gè)插值點(diǎn)(即矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖1所示)的函數(shù)值。

圖1中節(jié)點(diǎn)的順序如下：

f1=f(xi,yj) ，

f2=f(xi+1,yj)，

f3=f(xi+1,yj+1)，

f4=f(xi,yj+1)。

在分片線性插值中矩形區(qū)域?qū)⒈环譃閮蓚€(gè)三角形區(qū)域：上三角區(qū)域和下三角區(qū)域。

上三角區(qū)域的劃分條件及插值函數(shù)為：

湖北華貴地處江漢平原，為亞熱帶季風(fēng)氣候，年平均溫度為16.6℃，氣候適宜，日照充足，且境內(nèi)湖泊眾多，被稱為“百湖之市”。另經(jīng)國(guó)家權(quán)威機(jī)構(gòu)測(cè)定，洪湖水質(zhì)達(dá)到有機(jī)種養(yǎng)的水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)，有機(jī)質(zhì)含量高，生產(chǎn)條件得天獨(dú)厚，水產(chǎn)資源極其豐富。洪湖的特色農(nóng)產(chǎn)品以水產(chǎn)品為主，包括魚類以及各類水生蔬菜，藕帶的栽培基本不使用農(nóng)藥，滿足了消費(fèi)者對(duì)健康綠色農(nóng)產(chǎn)品的追求。在地理位置上，洪湖市緊鄰九省通衢的武漢，南靠長(zhǎng)江黃金水道，北連荊州，交通運(yùn)輸便利，并與湖北仙桃、監(jiān)利建成了新農(nóng)村建設(shè)試驗(yàn)區(qū)[3]，集聚產(chǎn)業(yè)優(yōu)勢(shì)和發(fā)展?jié)摿Α?/p>

(1)

(2)

下三角區(qū)域的劃分條件及插值函數(shù)為：

(3)

(4)

上三角區(qū)為圖1中陰影部分1，不包括虛線部分；下三角區(qū)域?yàn)閳D1中空白部分2，包括虛線部分。

分片線性插值應(yīng)用在裝定器的彈道解算中需要先判斷未知量的所在區(qū)域，即判斷未知量位于上三角還是下三角區(qū)域。

1.2 雙線性插值

雙線性插值又稱為雙線性內(nèi)插，是有兩個(gè)變量的插值函數(shù)的線性插值擴(kuò)展，核心思想是在兩個(gè)方向分別進(jìn)行一次線性插值。圖2中節(jié)點(diǎn)的順序同圖1的節(jié)點(diǎn)順序。

雙線性插值是分片的二次曲面構(gòu)成的，其插值函數(shù)的形式為：

fS(x,y)=(ax+b)(cy+d)

(5)

但由于裝定器的彈道解算僅是在每片區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值，不需要得出實(shí)際的函數(shù)形式，僅需要在四個(gè)離散點(diǎn)組成的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解算，為此根據(jù)上述的雙線性插值的思想，得出離散的雙線性插值公式為：

(6)

(7)

(8)

由式(6)、式(7)、式(8)得：

(9)

2 雙線性插值的彈道參數(shù)解算方法

由上述的式(2)、式(4)、式(9)可以得出分片線性插值的結(jié)果僅與三個(gè)節(jié)點(diǎn)有關(guān)，雙線性插值的結(jié)果與四個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)；雙線性插值不必進(jìn)行判斷可以對(duì)節(jié)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；在插值區(qū)域內(nèi)，雙線性插值的結(jié)果更加平滑、連續(xù)。

在實(shí)際的彈道解算中，飛行時(shí)間不僅僅是關(guān)于射程與海拔的函數(shù)，還與氣象、炮口初速等相關(guān)。因此只能根據(jù)射表的數(shù)據(jù)擬合出計(jì)算射表的公式，從而得到插值方法的誤差。

(10)

式(10)中，f′(x,y)為插值函數(shù)，f(x,y)為彈道解算出的關(guān)于飛行時(shí)間的函數(shù)，在實(shí)際求解誤差時(shí)通過Matlab得到擬合函數(shù)f(x,y)。

根據(jù)表1中榴彈的數(shù)據(jù)擬合出飛行時(shí)間函數(shù)。

f(x,y)=0.536 8+0.114 3x-0.001 081y

(11)

擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)R-square=1，誤差平方和SSE=6.409×10-6，根據(jù)擬合結(jié)果可知擬合函數(shù)的可信度較高。

由式(11)可知，飛行時(shí)間與距離、海拔高度成一次函數(shù)關(guān)系。分片線性插值的算法與擬合的函數(shù)相似程度更高，而雙線性插值的算法比擬合的函數(shù)多了二次項(xiàng)，因此雙線性插值的誤差會(huì)比分片線性插值的誤差大一點(diǎn)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證分片線性插值與雙線性插值在裝定器的彈道解算過程中的表現(xiàn)，分別用分片線性插值與雙線性插值對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行插值計(jì)算，并根據(jù)插值計(jì)算的結(jié)果與表2 海拔340 m處的飛行時(shí)間進(jìn)行誤差比較，其中x表示炸點(diǎn)距離，y表示海拔高度。

表1 榴彈的飛行時(shí)間Tab.1 Grenade flight time (單位：s)

表2 海拔340 m的飛行時(shí)間Tab.2 The flight time of 340 meters above sea level

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(350,340)，那么根據(jù)分片線性插值知A點(diǎn)在上三角區(qū)域內(nèi)，由分片線性插值公式和雙線性插值公式得：

fF(350,340)=0.469 078，

fS(350,340)=0.469 31。

由誤差公式(10)，分別對(duì)兩種插值算法進(jìn)行誤差處理：

wF=0.005% ，wS=0.045%。

根據(jù)上述比較可知，雙線性插值比分片線性插值的精度略差。

在僅考慮插值算法對(duì)炸點(diǎn)分布的影響時(shí)，若彈丸初速度為800 m/s，炸點(diǎn)距離為350 m，海拔高度為340 m時(shí)，分片線性插值的炸點(diǎn)的圓概率誤差為0.017 6 m，雙線性插值的圓概率誤差為0.168 m。由此可以看出雙線性插值與分片線性插值的炸點(diǎn)散布相差不大，都可以減小彈丸的空炸炸點(diǎn)散布，但是分片線性插值算法相對(duì)更加復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)。因此在裝定器的彈道解算中優(yōu)先選用雙線性插值的二維插值。

根據(jù)分片線性與雙線性插值的公式可知插值的精度與節(jié)點(diǎn)的密度相關(guān)。相同海拔高度下不同炸點(diǎn)間隔插值比較如圖3，相同炸點(diǎn)距離不同海拔高度間隔插值比較如圖4。

分析圖3、圖4可知，在相同海拔高度下，飛行時(shí)間與炸點(diǎn)距離并不是嚴(yán)格的線性關(guān)系，炸點(diǎn)距離間隔越小，插值結(jié)果精度越高；在相同炸點(diǎn)距離時(shí)，飛行時(shí)間與海拔高度是嚴(yán)格的線性關(guān)系，插值結(jié)果對(duì)海拔高度間隔不敏感。因此在編制飛行時(shí)間射表時(shí)，在裝定器存儲(chǔ)空間允許情況下，炸點(diǎn)距離的間隔應(yīng)該相應(yīng)地減小。而相反地，海拔間隔可適當(dāng)?shù)卦黾右怨?jié)省裝定器的存儲(chǔ)空間。

3 雙線性插值算法驗(yàn)證

雙線性插值在程序中的應(yīng)用其流程圖如圖5。

(12)

式中，q=y-yj，p=x-xi。

分別使用根據(jù)雙線性插值與分片線性插值算法的裝定器進(jìn)行靶場(chǎng)試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3(F表示分片線性插值算法，S表示雙線性插值算法)。

序號(hào)海拔/m目標(biāo)距離/m炸點(diǎn)誤差/mF1110012004.6F2110012007.6S1110012002S211001200-8

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，雙線性插值與分片線性插值算法炸點(diǎn)誤差都控制在10 m以內(nèi)，由前文分析知分片線性插值算法的計(jì)算更復(fù)雜，因此采用雙線性插值算法的裝定器不僅可以滿足解算精度要求，還可以滿足解算時(shí)間要求。

4 結(jié)論

本文提出了基于二維插值的引信裝定器用彈道參數(shù)解算方法。該方法針對(duì)兩種二維插值方法進(jìn)行了比較，得到雙線性插值與分片線性插值的解算精度相差無幾。分片線性插值算法更繁瑣，計(jì)算量更大，而雙線性插值的計(jì)算更為簡(jiǎn)單，更適用于裝定器的彈道解算。在不考慮其他因素的前提下，采用雙線性插值的裝定器彈道解算比采用分片線性插值節(jié)省解算時(shí)間，并滿足炸點(diǎn)精度的要求。雙線性插值的精度與插值節(jié)點(diǎn)的間隔密切相關(guān)。仿真結(jié)果表明，炸點(diǎn)距離間隔對(duì)炸點(diǎn)精度影響較大，海拔高度間隔對(duì)炸點(diǎn)精度影響較小，在存儲(chǔ)容量一定情況下，可以通過減小炸點(diǎn)距離間隔，增大海拔高度間隔來確保炸點(diǎn)精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明雙線性插值算法滿足解算精度和時(shí)間精度要求。

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