高中三角函數(shù)的應(yīng)用問題

李琪

【摘要】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個重要部分，對于學(xué)生而言具有一定難度.本文就最近幾年全國范圍內(nèi)數(shù)學(xué)高考題中，考查三角函數(shù)知識的應(yīng)用題類型進(jìn)行分析，并對這些問題的一些常見解題技巧進(jìn)行闡述，希望能夠為學(xué)生真正掌握三角函數(shù)知識、順利通過高考提供有益的幫助.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；應(yīng)用問題

高考中的三角函數(shù)應(yīng)用題，具有一定的難度，并且對學(xué)生數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力也有很高的要求.所以針對最近幾年全國范圍內(nèi)高考數(shù)學(xué)題中三角函數(shù)應(yīng)用題的出題趨勢進(jìn)行分析，了解這些問題的一些常見解答技巧，對于高考應(yīng)試成績提升，具有十分重大的意義.

一、將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成y=Asin（ωx+φ）的形式

例我國某一沿海港口在每年九月份的潮水都存在以下規(guī)律：相鄰兩次潮水出現(xiàn)的時間間隔為740 min，在低潮期水位深度為2.8 m；高潮期水位深度為8.4 m.如果某次高潮出現(xiàn)的時間為9月3日2：00.若從9月3日0：00進(jìn)行計時，可以使用三角函數(shù)d=Asin（ωt+φ）+kA>0，ω>0，-π2<φ<π2 來對該港口的水深與時間進(jìn)行近似性的描述.基于此，請回答以下三個問題：① 試求出該函數(shù)的表達(dá)式；② 試求出9月5日4：00該港口的水深度；③ 如果一艘輪船的吃水深度為5 m，該港口的運行條例當(dāng)中要求，輪船和海底的最小安全距離為1.5 m，那么在9月3日的12：00—16：00該輪船是否能夠進(jìn)入此港口？（可提供的參考信息：cos4π37≈0.9，cos29π74≈928）.

分析通過題干信息并進(jìn)行閱讀，可知該港口的海潮周期具有規(guī)律性.因此這道問題直接給出實際問題的三角函數(shù)的一次函數(shù)模型，在解答這一問題的過程中，只需要基于所給出的條件，便能夠確定A，ω，φ，k的大小.

解答① 通過題目條件可知：A+k=8.4，-A+k=28，因此A=2.8，k=5.6；又因為周期T=T=1213=2πω，得出ω=6π37，在t=2時，ωt+φ=π2，于是有6π37×2+φ=π2，φ=13π74，由此得出其函數(shù)表達(dá)式為d=2.8sin6π37t+13π74+5.6.

② 將相關(guān)數(shù)字代入d=2.8sin6π37t+13π74+5.6，可得出d=2.8sin6π37×52+13π74+5.6=2.8cos4π37+5.6=2.8×0.9+5.6=8.12.

③ 因為d=2.8sin6π37t+13π74+5.6≥5.6，所以sin6π37t+13π74≥928=cos29π74=sin4π37.

在12sin4π37，sin57π74=sin14π74>sin4π37.所以在9月3日12：00—16：00這艘輪船可以進(jìn)入該港口.

點評在這道問題當(dāng)中，大家首先需要計算出三角函數(shù)的一次函數(shù)模型，并了解到函數(shù)的變化幅度和A之間關(guān)系，也就是A=ymax-ymin2；函數(shù)的周期與ω的值有關(guān)，也就是ω=2πT；函數(shù)的初相與φ有關(guān).

二、將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成分式函數(shù)模型

例某地區(qū)設(shè)立有三家化工企業(yè).從地形圖上進(jìn)行觀察，它們分別位于一個矩形的ABCD的兩個頂點和CD之間的中點P上，已知AB=20 km，BC=10 km，為了能夠讓這三家化工企業(yè)的廢水得到妥善的處理，需要在該矩形的范圍內(nèi)（包括邊界），切合A，B等距的一點O處，構(gòu)建一所污水處理站，同時搭建三條污水排放管道，分別為AO，BO，PO.并將所鋪設(shè)管道的總長度設(shè)為y km.① 若∠BAO=θ，試用y來表示成θ的函數(shù)；② 確定本題中污水廠的最佳建立位置，即讓鋪設(shè)的水管長度最小.

分析實際上，在這道問題當(dāng)中，已經(jīng)設(shè)立好了輔助角，在解答這一問題的過程中，只需要基于輔助角順藤摸瓜進(jìn)行解答即可.

解答基于矩形特征，可知PQ為AB的中垂線，如果∠BAO=θ，于是有OA=AQcosθ=10cosθ.因此OB=10cosθ.又因為OP=10-10tanθ，因此y=OA+OB+OP=10cosθ+10cosθ-10tanθ.

綜上，可以得出需要的函數(shù)關(guān)系式為y=20-10sinθcosθ+100θπ4，此時可使用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行最值的求取.此時P點的位置在AB的中垂線上，在矩形區(qū)域當(dāng)中并且距離AB邊3310 km位置.

點評在這道問題當(dāng)中，可以憑借設(shè)角，基于圖形的基本特征，使用θ角來對問題中各個量之間的關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，構(gòu)建三角函數(shù)的分式函數(shù)模型.在進(jìn)行最值求取時，通常憑借導(dǎo)數(shù)的方法就能夠得出正確答案.這道問題的難點，是很多學(xué)生不能正確使用θ來表示各種數(shù)量之間的關(guān)系，導(dǎo)致遲遲不能夠找到問題的突破口.針對這一問題，學(xué)生必須要建立起應(yīng)有的數(shù)學(xué)意識，對問題進(jìn)行正確的分析.

三、轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞拷铅扰c三角函數(shù)組成的超越模型

例存在一個以∠AOB為圓心角、湖岸OA和OB為半徑的扇形湖面AOB，想要在圓弧AB上取一個不同于A點和B點的C點，使用漁網(wǎng)順著弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB之上）、半徑OC與線段CD（其中CD和OA相互平行），在這個扇形湖面當(dāng)中建立2個養(yǎng)殖區(qū)域，分別設(shè)為養(yǎng)殖區(qū)Ⅰ和養(yǎng)殖區(qū)Ⅱ，如果OA=1 km，∠AOB=60°，∠AOC=θ.試求出需要漁網(wǎng)的長度（也就是弧AC、半徑OC與線段CD長度的總和）的取值范圍.

分析解答這一道問題的關(guān)鍵，我們必須要對問題的含義進(jìn)行了解，這道問題當(dāng)中所需要求出的漁網(wǎng)的長度，實際上就是三段的總長度，因此需要使用θ來對三段的總長度進(jìn)行分別表示，并使用導(dǎo)數(shù)的方法求出取值范圍.

解答所求的漁網(wǎng)長度，實際上就是三段的總長度，分別使用θ來表示弧AC、半徑OC以及線段CD的長度.

可以設(shè)漁網(wǎng)長度為f（θ），因為CD∥OA，∠AOB=60°，∠AOC=θ，可推斷出∠OCD=θ，∠ODC=120°，∠COD=60°，在△OCD中，通過正弦定理可以得出CD=23sinπ3-θ，θ∈0π3.所以f（θ）=θ+1+23sinπ3-θ，因此f（θ）=1-23sinπ3-θ，因為θ0π3，所以π3-θ∈0，π3，令f（θ）=0.可得cosπ3-θ=32，因此π3-θ=30°，θ=30°.

綜上，f（θ）∈2π+6+236，所以需要的取值范圍為2，π+6+236.

點評在針對涉及三角函數(shù)與角度結(jié)合的函數(shù)模型分析時，通?？墒褂脤?dǎo)數(shù)的方式進(jìn)行問題的解答.我們在解答此類三角函數(shù)應(yīng)用題時，往往會因為自身知識掌握的不牢固或者對數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力不足，而無法找到這道問題的突破口.因此，擁有足夠牢固的知識積累和綜合應(yīng)用能力是解答這一問題的關(guān)鍵.

四、結(jié)束語

整體來講，解答在高考背景下的高中三角函數(shù)應(yīng)用題，我們學(xué)生必須要科學(xué)進(jìn)行變量的選擇，并由此構(gòu)建和三角函數(shù)相關(guān)聯(lián)的函數(shù)模型，憑借對三角函數(shù)性質(zhì)的靈活使用，構(gòu)建相關(guān)的不等式.由此使得問題得到有效的解決，從而讓學(xué)生在高考中取得好的成績.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳雨卓.淺析高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)心得[J].教育現(xiàn)代化，2017（2）：253-254.